用点差法解圆锥曲线问题

1、用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1, y1) > B(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差， 得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子， 可以大大 减少运算量。我们称这种代点作差的方法为"点差法”。一、以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆 二乙=1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在

2、直线164的方程。解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1) > B(x2, y2)丁 M (2,1)为 AB 的中点 二 Xt +x2 =4丫勺 + y2 = 22 2 2 2幕又A、B两点在椭圆上，则 x1 4y1 =16， x2 - 4y2 =16两式相减得(x,2 _x22) 4(y_ y22) =0于是(xX2)(洛 -X2)4( %y2)(y1-y2) =0y1 - y?洛 X241X1 X24(y1 - y2)4 2211即kAB，故所求直线的方程为 y -1(x - 2)，即x 2y 4 =0 。222例2、已知双曲线x2 -匚=1，经过点M (1 1)能否作一条直线l

3、，使丨与双曲线交于A、B，2且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线丨，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1 , y1) > B(x2, y2)则 Xt + x2 =2yt + y2 = 2第1页共4页第#页共4页2X1y12=1，X2 12第#页共4页2222两式相减，得1(Xi - X2)( X1 X2)( yi - y2)( y! - y?) = 02,'r k ABXi故直线 AB : y _1 = 2(x

4、_1)"y _1 =2(x _1)由2 y2消去y，得2x? 4x+3=0X =1、 22= ( 一4)-423 - _8 ： 0这说明直线AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线 I。 评述：本题如果忽视对判别式的考察， 将得出错误的结果， 请务必小心。由此题可看到中点 弦问题中判断点的 M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点 M平分的弦一 般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点 M平分的弦可能不存在。二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹2 2例3、已知椭圆 =1的一条弦的斜率为 3，它与直线x =丄的交点恰为这条弦的中点 75252

5、M，求点M的坐标。、亠、 、 1解：设弦端点 P( x1 , y1) > Q( x2, y2)，弦 PQ 的中点 M ( x0, y0)，贝U x02X1 x 2 2 xo 1 , y 1 y 2 y o2222yX1xyX2,=1 ,=175257525又两式相减得 25(y y2)(y1 - y2) 75(X1 X2)(x -x?) =0即 2 y° ( y1 -y2) 3任一x：) = 0y1 - y2 _3X1 - X22y。k"y2=3X132y 0，即y。第3页共4页2222第#页共4页2222.点M的坐标为(丄，-丄)。2 22 23的弦中点的轨迹方程。

6、例4、已知椭圆 =1,求它的斜率为7525解：设弦端点P(x1 , y1) > Q(x2, y2)，弦PQ的中点M (x, y)，则第#页共4页2222第#页共4页2222x1 x2 = 2x ,y1 y2 =2y第#页共4页2222第#页共4页2222H=1 ,7525工.17525第5页共4页2222第#页共4页2222两式相减得25（yt亠y2）（ 丫勺y2）亠75 *亠x2）（人x2） = 0即 y(yi -丫2) 3x(Xi_X2)=0,即3xXik丿Xi_y2 =3-x2rx由y2.75二 02 ，得 -=i25兰空）P( 2 25爲 532点 M在椭圆内.它的斜率为3的弦中

7、点的轨迹方程为x y = 0(2第#页共4页2222第#页共4页2222求与中点弦有关的圆锥曲线的方程=3x 一2截得的弦的中点的例5、已知中心在原点，一焦点为F （0, . 50 ）的椭圆被直线l : y1横坐标为一，求椭圆的方程。22 2解：设椭圆的方程为 N 二 -1，则a2 -b2 =50a b设弦端点 P( Xi , yi)、Q( x2, y2)，弦 PQ 的中点 M ( Xo, yo)，则iiX。y°3 X0-2一 -XiX2 2 X0 i ,y iy2 二 2y0 二i222222又yi+2Xi2i ,y22X22i2abab两式相减得 b2 (yi ' y2)

8、( y y2) a2 (xi x2)( Xt - x2) = 0即一匕气丫勺一 y2） - a2（xi第#页共4页2222第#页共4页2222yi -y?Xi _X22 a2 b27 =3b联立解得2a 75 ,2b =25第#页共4页22222 2所求椭圆的方程是 =1''7525四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题2 2例6、已知椭圆 乙=1，试确定的m取值范围，使得对于直线 y =4x m，椭圆上总43有不同的两点关于该直线对称。解：设Px-yJ，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线 y=4x+m的对称两点，P(x,y)为弦P P2的中点，贝U 3x4y12=12， 3x22 - 4y22 =12两式相减得，3(x/ -x/) 4( y _y2?) =0即 3(X1 X2)(X! X2)4(/ y2)( % - y2)= 0& X2 =2x , % y2 =2y ,一丄Xi x 24二y =3x 这就是弦PP2中点P轨迹方程。它与直线y =4x m的交点必须在椭圆内y =3x联立/y =4x +mJ-m=-3m3则必须满足y2 ：3 - 一 x2,4即(3m)2 : 3 m 2，解得 一 一1341321