直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模

1、系统建模可以分为两种：实验建模和机理建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入 输出关系；机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入 状态关系。 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示。

2、X Xm mI I图图1 1 直直线线一一级级倒倒立立摆摆系系统统b bF FM Ml 我们不妨做以下假设：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置a摆杆与垂直向上方向的夹角X Xm mI I图图1 1 直直线线一一级级倒倒立立摆摆系系统统b bF FM Ml 下面是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车和摆杆相互作用力的水平和垂直的分量。注意：图示方向为矢量正方向。注意：图示方向为矢量正方向。F FM MP PN NX XXb图图2 2 小小车车隔隔离离受受力力图图图图3 3 摆摆杆杆隔隔离离受受力力图图N Nm mg gP

3、 Pl I 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：F FM MP PN NX XXb图图2 2 小小车车隔隔离离受受力力图图NxbFxM 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：NxbFxM )sin(22lxdtdmN图图3 3 摆摆杆杆隔隔离离受受力力图图N Nm mg gP Pl Isincos2 mlmlxmN) 1 . 1 (sincos)(2FmlmlxbxmM 摆杆水平方向的受力进行分析，可以得到下面等式： 即：代入上式中，得到系统的第一个运动方程： 分析摆杆垂直方向所受的合力，可以得到以下方程：)cos(22ldtdmmgPcossin2 mlmlmgP INlP

4、lcossin)2 . 1 (cossin)(2xmlmglmlI 图图3 3 摆摆杆杆隔隔离离受受力力图图N Nm mg gP Pl I即：力矩平衡方程如下： 合并这两个方程，约去P和N，得到系统的第二个运动方程： 假设 很小，即 ，则可以进行近似处理：0,sin, 1cos0用 来代表被控对象的输入力 ，线性化后两个运动方程如下：F) 3 . 1 ()()(2umlxbxmMxmlmglmlI 对方程组(1.3)进行拉普拉斯变换，得到)4 . 1 ()()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssmlXsmglssmlI整理消去X(s)后得到传递函数：(假设

5、初始条件为0)sqbmglsqmglmMsqmlIbssqmlsUs23242)()()()(其中：)()(22mlmlImMq系统状态空间方程为：DuCXyBuAXXuMmlmMImlMmlmMImMmglxMmlmMImlbuMmlmMImlIMmlmMIglmxMmlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()( 方程组(1.3)对 ， 解代数方程，得到解如下： x 整理后得到系统状态空间方程：uMmlmMImlMmlmMImlIxxMmlmMImMmglMmlmMImlbMmlmMIglmMmlmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010 uxxxy0001000001实际系统的模型参数如下：M小车质量m摆杆质量b小车