交通工程学 第八章 道路交通流理论

1、第八章第八章 道路交通流理论道路交通流理论主要内容主要内容o交通流特性交通流特性o概率统计模型概率统计模型o排队论模型排队论模型o跟驰模型跟驰模型o流体模拟理论流体模拟理论概述概述o交通流是交通需求的实现结果，是交通需求在有限的时间与空间上的聚集现象；o交通流理论是研究在一定环境下交通流随时间和空间变化规律的模型和方法体系；o由于涉及人、车、路、环境之间的相互关系，交通流的形成过程非常复杂 。概述概述o物理学家Kerner、Helbing、Nakayama、Bando等;o交通科学家、数学家和经济学家。如，Herman（美国科学院院士）、Allsop（英国皇家工程院院士）、Newell（美国科

2、学院院士）、Vickrey（诺贝尔经济学奖获得者）、Arnott（美国著名经济学家）等;Who在研究交通流？概述概述o微观方法处理车辆相互作用下的个体行为，包括跟驰模型和元胞自动机模型(Cellular Automata, CA)等o宏观方法视交通流为大量车辆构成的可压缩连续流体介质，研究许多车辆的集体平均行为，比如LWR模型(Lighthill-Whitham-Richards )o介于中间的基于概率描述的气动理论模型（gas-kinetic-based model）交通模型概述概述o概率统计模型o排队论模型o跟驰模型o流体模拟理论教材中的主要模型8.1 交通流特性8.1.1 交通设施交通设

3、施 p 交通设施的种类 交通设施从广义上被分为连续流设施与间断流设施两大类。 连续流主要存在于设置了连续流设施的高速公路及一些限制出入口的路段。 间断流设施是指那些由于外部设备而导致了交通流周期性中断的设置。如交通信号灯。8.1.2 连续流特征连续流特征 p 总体特征 交通量Q、行车速度 、车流密度K是表征交通流特性的三个基本参数 此三参数之间的基本关系为：式中：Q平均流量(辆/h)； 空间平均车速(km/h); K平均车流密度(辆/km)。 sVKVQssVLNKVLt KVVLNVLNtNQ8.1.2 连续流特征连续流特征 8.1.2 连续流特征连续流特征8.1.2 连续流特征连续流特征p

4、 特征变量(1) 极大流量Qm，就是QV曲线上的峰值。 (2) 临界速度Vm，即流量达到极大时的速度。(3) 最佳密度Km，即流量达到极大时的密量。(4) 阻塞密度Kj，车流密集到车辆无法移动(V=0)时的密度。 (5) 畅行速度Vf，车流密度趋于零，车辆可以畅行无阻时的平均速度。8.1.2 连续流特征连续流特征p 数学描述（1）速度与密度关系 格林希尔茨(Greenshields)提出了速度-密度线性关系模型： 当交通密度很大时，可以采用格林柏(Grenberg)提出的对数模型： 式中：Vm最大交通量时的速度。)1 (jfKKVVKKVVjmln8.1.2 连续流特征连续流特征p 数学描述

5、格林希尔茨(Greenshields)提出了速度-密度线性关系模型：(K1,V1)(K2,V2)1 (jfKKVV8.1.2 连续流特征连续流特征p 数学描述（1）速度与密度关系 当交通密度很小时，可采用安德五德(Underwood)提出的指数模型： 式中：Km最大交通量时的密度。mKKfeVV8.1.2 连续流特征连续流特征p 数学描述（2）流量与密度关系)1 (jfKKKVQ8.1.2 连续流特征连续流特征p 数学描述（3）流量与速度关系)1 (fjVVKK)(2fjVVVKQ8.1.2 连续流特征连续流特征p 数学描述 综上所述，按格林希尔茨的速度密度模型、流量密度模型、速度流量模型可以

6、看出：Qm、Vm和Km是划分交通是否拥挤的重要特征值。 当QQm、KKm、VVm时，则交通属于拥挤； 当QQm、KKm、VVm时，则交通属于不拥挤。8.1.2 连续流特征连续流特征p 例题1、已知某公路的畅行车速Vf为80km/h，阻塞密度Kj为100辆/km，速度密度关系为线性关系，试求：（1）此路段上期望得到的最大流量为多少？（2）此时对应的车速为多少？解：（1）因为速度密度关系为线性关系，所以：2jmKK2fmVV hVKVKQfjmmm/2000210028022辆（3）此时对应的车速即为Vm：hkmVVfm/4028028.1.2 连续流特征连续流特征p 例题2、设车流的速度密度的关

7、系为V=88-1.6K，如限制车流的实际流量不大于最大流量的0.8倍，求速度的最低值和密度的最高值。（假定车流的密度K最佳车流密度Km）8.1.2 连续流特征连续流特征p 例题（1）由题意可知：当K=0时，V=Vf=88km/h, 当V=0时，K=Kj=55辆/km。 则：Vm=44Km/h,Km=27.5辆/km,Qm=VmKm=1210辆/h。（2）由Q=VK和V=88-1.6K，有Q=88K-1.6K2 。 当Q=0.8Qm时，解得：K15.2，39.8。 又由题意可知，所求密度小于Km，故为KA。（3）故当密度为KA=15.2辆/km，其速度为： VA=88-1.6KA =88-1.6

8、15.2 =63.68km/h 即 KA=15.2辆/km，VA=63.68km/h为所求密度最高值与速度最低值。8.1.2 连续流特征连续流特征p 例题8.1.2 连续流特征连续流特征p 连续交通流的拥挤分析 交通拥挤的类型 周期性的拥挤 非周期性的拥挤 瓶颈处的交通流8.1.2 连续流特征连续流特征p 连续交通流的拥挤分析8.1.2 连续流特征连续流特征p 连续交通流的拥挤分析 交通密度分析8.2 概率统计模型8.2.1 概述概述【概率统计】：研究自然界中随机现象统计规律的数学方法，叫做概率统计，又称数理统计方法。 概率统计手段提供了概率统计手段提供了用有限的数据预测交通用有限的数据预测交

9、通流的某些具体特性流的某些具体特性的有效手段。的有效手段。8.2.1 概述概述两种描述方法离散性分布连续性分布泊松分布二项分布负二项分布负指数分布移位负指数分布韦布尔分布爱尔朗分布8.2.2 离散型分布离散型分布 在一定的时间间隔内到达的车辆数，或一定距离内分布的车辆数是随机变数，所得数列可以用离散型分布描述。常用的分布有： 泊松分布 二项分布 负二项分布8.2.2 离散型分布离散型分布p 泊松分布 基本公式式中：P(k)在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率； 单位时间间隔的平均到达率(辆/s或人/s)； t每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)； e自然对数的底，取值为2.71828。,

10、 2 , 1 , 0,!)()(kketkPtk8.2.2 离散型分布离散型分布p 泊松分布 计算内容若令 m=t为计算间隔t内平均到达的车辆（人）数，则：, 2 , 1 , 0,!)()(kkemkPmk8.2.2 离散型分布离散型分布p 泊松分布 计算内容10!)(kimiiemkPkimiiemkP0!)(kimiiemkPkP0!1)(1)(10!1)(1)(kimiiemkPkP到达数小于k辆车(人)的概率：到达数小于等于k的概率： 到达数大于k的概率：到达数大于等于k的概率：8.2.2 离散型分布离散型分布p 泊松分布 计算内容yximiiemykxP!)(到达数至少是x但不超过y

11、的概率： 参数m的计算Nfkffkmgjjjgjjgjjj111总计间隔数观测的总车辆数8.2.2 离散型分布离散型分布p 泊松分布 递推公式meP)0()(1) 1(kPkmkP8.2.2 离散型分布离散型分布p 泊松分布 适用范围泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。在实际事例中，当一个随机事件，以固定的平均频率m(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。车流密度不大，车辆间相互影响微弱，其他外界干扰因素基本不存在。8.2.2 离散型分布离散型分布p 泊松分布 例题：设60辆汽车随机分布在4km长的道路上，服从泊松

12、分布，求任意400m路段上有4辆及4辆以上汽车的概率。解：依题意，t=400m，=60/4000辆/m，则：0025. 0! 06)0(60eP辆6 tm0149. 0106) 1 (0PP0446. 0116)2(1PP0892. 0126) 3(2PP不足4辆车的概率：4辆及4辆以上的概率：1512. 0)4(140iiPP8488. 0)4(1)4(PP8.2.2 离散型分布离散型分布p 练习 例题：设80辆汽车随机分布在8km长的道路上，服从泊松分布，求任意1km路段上有5辆及5辆以上汽车的概率。)!( !knknCknnkntntCkPknkkn, 2 , 1 , 0,)1 ()()

13、(8.2.2 离散型分布离散型分布p 二项分布 基本公式式中：P(k)在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率； 单位时间间隔的平均到达率(辆/s或人/s)； t每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)； n正整数。8.2.2 离散型分布离散型分布p 二项分布 计算内容若令 P=t/n，则二项分布为：nkppCkPknkkn, 2 , 1 , 0,)1 ()(式中：0p1，n、p称为分布参数。8.2.2 离散型分布离散型分布p 二项分布 计算内容到达数小于k辆车(人)的概率：到达数大于k的概率：inikiinppCkP1)(10inikiinppCkP11)(08.2.2 离散型分布离散型分布p

14、 二项分布 递推公式)(11) 1(1)0(kPppkknkPpPn8.2.2 离散型分布离散型分布p 二项分布 运用条件 车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项分布拟合较好。 应用举例 例题4-48.2.2 离散型分布离散型分布p 负二项分布 基本公式式中：（1）p、为负二项布参数。 （2）0p1，为正整数。 , 2 , 1 , 0,)1 ()(11kppCkPkk8.2.2 离散型分布离散型分布p 负二项分布 计算内容到达数大于K的概率：kiikppCkP011)1 (1)(8.2.2 离散型分布离散型分布p 负二项分布 递推公式) 1()1 (1)()0(kPpkkkPpP8.2.2

15、 离散型分布离散型分布p 负二项分布 运用条件 当到达的车流波动性很大或以一定的计算间隔观测到达的车辆数(人数)其间隔长度一直延续到高峰期间与非高峰期间两个时段时，所得数据可能具有较大的方差。 8.2.3 连续型分布连续型分布 描述事件之间时间间隔的分布称为连续型分布。连续型分布常用来描述车头时距、穿越空档、速度等交通流特性参数的分布特征。常用的分布有： 负指数分布 移位负指数分布 韦布尔分布 爱尔朗分布8.2.3 连续型分布连续型分布p 负指数分布 基本公式 若车辆到达符合泊松分布，则车头时距就是负指数分布。计数间隔t内没有车辆到达(k=0)的概率为： P(0)=e-t 在具体的时间间隔t内

16、，如无车辆到达，则上次车到达和下次车到达之间，车头时距至少有t秒，换句话说，P(0)也是车头时距等于或大于t秒的概率：P(ht)=e-t 8.2.3 连续型分布连续型分布p 负指数分布 基本公式车头时距小于t的概率则为： P(ht)=1-e-t 若Q表示每小时的交通量，则=Q/3600(辆/s)，前式可以写成： P(ht)=e-Qt/3600 Qt/3600是到达车辆数的概率分布的平均值。若令M为负指数分布的均值，则应有： M=3600/Q=1/8.2.3 连续型分布连续型分布p 负指数分布 基本公式也可用概率密度函数来计算。负指数分布的概率密度函数为：tethPdtdthPdtdtP)(1

17、)()(ttttedtedttpthP)()(ttttedtedttpthP001)()(8.2.3 连续型分布连续型分布p 负指数分布 适用条件负指数分布适用于车辆到达是随机的、有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的情况。通常认为当每小时每车道的不间断车流量等于或小于500辆，用负指数分布描述车头时距是符合实际的。 8.2.3 连续型分布连续型分布p 移位负指数分布 基本公式 分布函数 概率密度函数tethPt,)()(tethPt,1)()(ttetft, 0,)()( tt,1为平均车头时距。 8.2.3 连续型分布连续型分布p 移位负指数分布 基本公式 分布分均值和方差21,1

18、DM8.2.3 连续型分布连续型分布p 移位负指数分布 适用条件 移位负指数分布适用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。 8.2.3 连续型分布连续型分布 为了克服移位负指数分布的局限性，可采用更通用的连续型分布，如：p 韦布尔(Weibull)分布；p 爱尔朗(Erlang)分布；p 皮尔逊型分布；p 对数正态分布；p 复合指数分布。 8.3 排队论模型8.3.1 基本概念基本概念p 排队论随机服务系统理论，是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列（即排队）的现象以及合理协调“需求”和“服务”关系的一种数学理论。o排队单指等待服务的顾客(车辆或行人)，

19、不包括正在被服务的顾客o排队系统既包括等待服务的顾客，又包括正在被服务的顾客 8.3.1 基本概念基本概念o排队系统组成部分 输入过程：指各种类型的顾客按怎样的规律到来定长输入、泊松输入、爱尔朗输入 排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务 损失制 、等待制 、混合制 服务方式：指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时间 定长分布服务、负指数分布服务、爱尔朗分布服务 8.3.1 基本概念基本概念o排队系统的主要数量指标 等待时间从顾客到达时起至开始接受服务时为止的这段时间忙期服务台连续繁忙的时期，关系到服务台的工作强度队长 有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供

20、的服务水平的一种衡量 8.3.2 M/M/1系统系统o顾客平均到达率，服从泊松分布o平均服务率，服从负指数分布o 队长允许无穷，顾客来源无穷，先到先服务的原则。 8.3.2 M/M/1系统系统o服务强度，= / 如果1，并且时间充分，每个状态都按一定的非零概率反复出现。 当1时，任何状态都是不稳定的，而排队长度将会变得越来越长。 因此，要保持稳定状态即排队能够消散的条件是1。8.3.2 M/M/1系统系统o 主要计算指标在系统中没有顾客的概率在系统中没有顾客的概率 在系统中有在系统中有n n个顾客的概率个顾客的概率系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数系统中顾客数的方差系统中顾客数的方差1n2)

21、1 (0)1P( )(1)nP n8.3.2 M/M/1系统系统o 主要计算指标平均排队长度平均排队长度 nnq1211wq非零平均排队长度非零平均排队长度 这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把没有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。8.3.2 M/M/1系统系统o 主要计算指标排队系统中的平均消耗时间排队系统中的平均消耗时间排队中的平均等待时间排队中的平均等待时间 指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与

22、平均服务时间之差。nd11)(dw8.3.2 M/M/1系统系统o 例题 某收费公路入口处有一收费亭，汽车进入公路必须经某收费公路入口处有一收费亭，汽车进入公路必须经过收费亭进行交费，收费亭收费时间符合负指数分布，平过收费亭进行交费，收费亭收费时间符合负指数分布，平均每辆汽车收费时间为均每辆汽车收费时间为7.2s，汽车到达率为，汽车到达率为400辆辆/h，并符，并符合泊松分布。合泊松分布。 试求：试求：（1）排队系统中的平均车辆数排队系统中的平均车辆数 （2）平均排队长度）平均排队长度 （3）非零平均排队长度）非零平均排队长度 （4）排队系统中的平均消耗时间）排队系统中的平均消耗时间 （5）排

23、队中的平均等待时间。）排队中的平均等待时间。8.3.2 M/M/1系统系统解：这是一个M/M/1系统:h/400辆hs/500/2 . 71辆辆系统是稳定的。, 18 . 0500400（1）系统中的平均车辆数：辆48 . 018 . 01n（2）平均排队长度：辆2 . 38 . 04nq8.3.2 M/M/1系统系统（3）非零平均排队长度：辆58 . 01111wq（4）系统中平均消耗时间：辆辆/36/4004shnd（5）排队中平均等待时间：辆/8 .282 . 7361sdw8.3.2 M/M/1系统系统o 练习 某收费公路入口处有一收费亭，汽车进入公路必须经某收费公路入口处有一收费亭，

24、汽车进入公路必须经过收费亭进行交费，收费亭收费时间符合负指数分布，平过收费亭进行交费，收费亭收费时间符合负指数分布，平均每辆汽车收费时间为均每辆汽车收费时间为4s，汽车到达率为，汽车到达率为540辆辆/h，并符合，并符合泊松分布。泊松分布。 试求：试求：（1）排队系统中的平均车辆数排队系统中的平均车辆数 （2）平均排队长度）平均排队长度 （3）非零平均排队长度）非零平均排队长度 （4）排队系统中的平均消耗时间）排队系统中的平均消耗时间 （5）排队中的平均等待时间。）排队中的平均等待时间。8.4 跟驰模型8.4.1 概述概述p 1950年鲁契尔的研究和1953年派普斯的研究，跟驰理论的解析方法才

25、告定型。而赫尔曼和罗瑟瑞于1960年在美国通用汽车公司动力实验室进行的研究为跟驰理论作了进一步的扩充。p 跟驰理论： 是运用动力学方法，研究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态的一种理论。跟驰理论只研究非自由行驶状态下车队的特性。8.4.2 车辆跟驰特征分析车辆跟驰特征分析p 在道路上行驶的一队高密度汽车，车头间距不大，车队中任意一辆车的车速都受前车速度的制约，驾驶员只能按前车所提供的信息采用相应的车速，这种状态称为非自由行驶状态。p 非自由行驶状态特征 制约性 延迟性 传递性8.4.3 线性跟驰模型线性跟驰模型o 第n+1号车在t+T时刻的速度可用下式表示：式中：反应

26、灵敏度系数(1/s)； L在阻塞情况下的车头间距； 在t时刻，第n号车（引导车）的位置； 在t时刻，第n+1号车（跟随车）的位置。 LtXtXTtXnnn11 tXn tXn 18.4.3 线性跟驰模型线性跟驰模型o 第n+1号车在t+T时刻的加速度可用下式表示： tXtXTtXnnn11 o 可理解为：反应(t+T)=灵敏度刺激(t) T1.0-2.2s8.4.3 线性模型的稳定性线性模型的稳定性o 局部稳定(Local Stability) 指前后两车之间的变化反应。如：两车车距的摆动o 渐近稳定(Asymptotic Stability)是引导车向后面各车传播速度变化如：如振幅扩大或逐渐衰弱8.5 流体模拟理论8.5.1 概述概述p 流体模拟理论是运用流体力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续性方程，把车车流密度的变化流密度的变化比拟成水波的起伏，抽象为车流波。p 假定条件：车流中单个车辆的行驶状态与它前面的车辆完全一致。p 宏观的模型8.5.1 概述概述物理特性物理特性流体力学系统流体力学系统交通流系统交通流系统连续体连续体单向不可压缩的流体单向不可压缩的流体单向不可压缩的车流单向不可压缩的车流离散元素离散元素流体分子流体分子车辆车辆变量变量质