函数的单调性与极值81362PPT课件

1、复 习导数的几何意义函数的单调性与图形的关系 1 2a 1 2yoxbbayoxy = f(x)y = g(x)K切= f (x0)f (x)0f (x) 0，则函数f(x)单调增加；（2）若f (x) 0，则函数f(x)单调减少；xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA第2页/共25页0, 二、应用举例例1 确定函数f(x)=exx 1的单调区间.解函数的定义域是 (,+)由于f (x)=ex1令f (x)=0得驻点 x=0 x=0将定义域分成两个部分区间：(,0)和(0,+)在区间(,0) 内，f (x)函数单调减少；在区间(0,+)内，f (x)函数单

2、调增加.第3页/共25页使 f (x)=0的点x0称为函数f(x)的驻点。确定函数f(x)的单调区间，其解题程序是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f (x)，确定函数的驻点和导数不存在的点，这些点将函数的定义域分成若干个部分区间；（3）在各个部分区间内判别f (x)的符号，从而确定f(x)在相应区间内的单调增减性.第4页/共25页例2 讨论函数f(x)= 的单调区间.32x解函数的定义域是 (,+)由于332)(xxf该函数没有驻点，但当x=0时，导数f (x)不存在。x =0将定义域分成两个部分区间：(,0)和(0,+)0, 在区间(,0) 内，f (x)函数单调减少；在区间(0,+)

3、 内，f (x)函数单调增加.0, yxo32xy 第5页/共25页yxo说明说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,),(,32xxy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 第6页/共25页列表分析xf (x)f(x)( 1)( 1, 2 )(2,+)2+00+1例3 确定函数f(x)= 的单调区间.3129223xxx解函数的定义域是 (,+)由于12186)(2xxxf)2)(1(6xx令f (x)=0得驻点 x1=1, x2=2x1=1和x2=2将定义域(,+)分成三个

4、部分区间：函数f(x)单调增加区间是 (,1)和(2,+)单调减少区间是 (1,2).12xoy12第7页/共25页练习求函数263423xxxy的单调区间。 第8页/共25页补充例题：证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)0()()1ln( fxfxx).1ln(xx 即即第9页/共25页一、极值的概念y= f (x) yx o a bx1x2x3 x4 f (x3) f

5、(x1) f (x4)f (x2)xx3.2 函数的极值第10页/共25页定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大值点极大值点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小值点极小值点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf 函数的极大值与极小值统称为函数的极值函数的极值 。函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点函数的极值点。第11页/共25页注意: :2)2) 极值可能出现在驻点和不可导点。极值

6、可能出现在驻点和不可导点。（导数为（导数为0或不存在的点）或不存在的点）1)1) 函数的极值是函数的局部性质。函数的极值是函数的局部性质。 （极大值未必大于极小值，极小值未必（极大值未必大于极小值，极小值未必小于极大值）小于极大值）31292)(23xxxxf例如例如 1x为极大点 , 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小点 , 12xoy123x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点第12页/共25页 若函数f(x)在点x0处有极值，且f (x0)存在，则必有f (x0)=0。定理2（极值存在的必要条件）二、极值的判定函数极值点特征：对

7、于可导函数由定理函数极值点特征：对于可导函数由定理 2 2 知，可导函数知，可导函数)(xf的极值点必是的极值点必是)(xf的驻点反过来的驻点反过来, ,驻点却不一定驻点却不一定 是是)(xf的极值点如的极值点如0 x是函数是函数3)(xxf的驻点，但的驻点，但不是其极值点对于连续函数不是其极值点对于连续函数, ,它的极值点还可能是它的极值点还可能是使导数不存在的点使导数不存在的点, ,称这种点为尖点 例如称这种点为尖点 例如, ,xxf)(，但但0 x处导数不存在处导数不存在, ,但是，但是，0 x是它的极小值点是它的极小值点 第13页/共25页 若函数f(x)在点x0的某邻域(x0 , x

8、0+ )内连续并且可导，（但f (x0)可以不存在），则定理3（判别极值的第一充分条件）(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值. . (2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. . (3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf 符号相同符号相同, ,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值. . 第14页/共25页xyoxyo0

9、x0 x (是极值点情形)xyoxyo0 x0 x (非极值点情形)如图所示：第15页/共25页求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根方程求驻点和不可导点，即 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值第16页/共25页xf (x)f(x)( 0)(0 ,1)(1,+)1+00+无极值极大值0由表可知例1 求函数f(x)= 的极值.432132xx 解函数f(x)的连续区间是 (,+)由于3222)(xxxf)1 (22xx令f (x)=0得驻点 x1=0, x2=1x1=

10、0和x2=1将区间(,+)分成三个部分区间：( 0)(0 ,1)(1,+)列表判别极值.61)1 (是极大值f第17页/共25页xf (x)f(x)列表( 0 )(0 1 )(1,+)+不存在+极大值极小值010例2 求函数f(x)= 的极值.3223xx 解函数f(x)的连续区间是 (,+)由于311)(xxf331xx 令f (x)=0得驻点 x=1又当x=0时，函数f(x)的导数不存在x=0和x=1将区间(,+)分成三个部分区间：( 0)(0 ,1)(1,+)f(0)=0是极大值，.21) 1 (是极小值f第18页/共25页练习32x1.求函数 y = (x1) 的极值。.593)(23

11、的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2.第19页/共25页1.求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判别x)(xf )(xf0520031)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x31)52(f第20页/共25页解解963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 0010)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2.-22第21页/共25页小 结1.函数单调性的确定方法（1）确定函数的定义域；（2）求导数f (x)，确定函数的驻点和导数不存在的点，这些点将函数的定义域分成若干个部分区间；（3）在各个部分区间内判别f (x)的符号，从而确定f(x)在相应区间内的单调增减性.第22页/