几个数学模型的再认识PPT课件

1、1. 1. 椅子放稳模型椅子放稳模型 这个问题来自日常生活中一件普通的事实：把椅子往这个问题来自日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。用要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。用数学模型证明为什么能放稳。先假设数学模型证明为什么能放稳。先假设 1 1、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形正方形( (椅子的四脚连线也可能为矩形，梯形等。为了从椅子的四脚连线也可能为矩形，梯形等。为了从最简单的

2、研究起，我们就设其为正方形。最简单的研究起，我们就设其为正方形。);); 2 2、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面( (椅椅子是不能在台阶上放稳的。子是不能在台阶上放稳的。);); 3 3、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地时着地( (如果地面在小地方中凹凸太厉害，以至于比椅腿如果地面在小地方中凹凸太厉害，以至于比椅腿的长度更大时，椅子也不能放稳。的长度更大时，椅子也不能放稳。) )。第1页/共29页 移动椅子有三种方法：旋转；平移动椅子有三种方法：旋转；平移；平移加旋转。其中旋转要设移

3、；平移加旋转。其中旋转要设1 1个变量；平移要个变量；平移要2 2个；平移加旋转个；平移加旋转要要3 3个。为了方便起见一般采用旋个。为了方便起见一般采用旋转法。转法。 由于由于“假设假设1”1”设椅子的四脚连设椅子的四脚连线为正方形，所以我们可以利用正线为正方形，所以我们可以利用正方形的对称性建立平面直角坐标系方形的对称性建立平面直角坐标系. .xBADCO正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转DC B A 用用 表示旋转表示旋转, ,此时此时A、C 两脚与地两脚与地面距离之和面距离之和记为记为f( )，B、D 两脚与地两脚与地面距离之和面距离之和记为记为g( ).如果开始如果开始旋转时旋转

4、时A两脚两脚不着地，则不着地，则f(0) 0 ，g(0)=0。 第2页/共29页此时问题已经转化为这么一个数学模型：已知： f( ) , g( )是是连续函数（由假连续函数（由假设设2） ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0。求证：存在存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0。 证明：将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。由互换。由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0。 令令h( )= f( )g( ), 由由 f, g的连续性知的连续性知 h为为0, /2上的上的连续函数连续

5、函数, 而且而且h(0)0和和h( /2)0。 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在0 0 /2, 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) 。 因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0。问题：四脚成长方形或四脚共圆时，模型还适用吗？四脚成长方形或四脚共圆时，模型还适用吗？第3页/共29页 因为因为四脚成长方形或四脚共圆时，四脚成长方形或四脚共圆时，将椅子将椅子旋转旋转900，对角线对角线AC和和BD不能互换。但不能说不适用！注意到正不能互换。但不能说不适用！注意到正方方形是中心对称图形，长方形是轴对称图形，因此对于四脚形是中

6、心对称图形，长方形是轴对称图形，因此对于四脚成长方形情形，注意到成长方形情形，注意到椅子椅子旋转旋转1800时时对对边边AB和和CD能互能互换，只要换，只要把把A、 B 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和记为记为f( )， C 、D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和记为记为g( )就可以了就可以了,因为把证明过程中因为把证明过程中的的/2 改为改为就可以了就可以了.显然改进的模型适用四脚成正方形显然改进的模型适用四脚成正方形情形情形, 由于一般四边形无对称性，从证明的角度看四脚成由于一般四边形无对称性，从证明的角度看四脚成长方形包括长方形包括正方形情形的模型似乎不适用于四脚共圆！正方形情

7、形的模型似乎不适用于四脚共圆！ 四脚与地面距离四脚与地面距离有有4个函数，两对角线分别组合解决个函数，两对角线分别组合解决四脚成正方形四脚成正方形；对边分别组合解决；对边分别组合解决四脚成长方形。四脚成长方形。有没有有没有其它组合？可以其它组合？可以A脚与地面距离脚与地面距离为为f( ）， B、C、D 三三脚脚与地面距离之和与地面距离之和为为g( ) 。把证明过程中的把证明过程中的/2 或或改为改为（ 0 2 ）就可以了就可以了!这时这时模型适用四脚共圆！当然适用模型适用四脚共圆！当然适用四脚成四脚成长方形包括长方形包括正方形情形。正方形情形。第4页/共29页 进一步地，进一步地，四脚共圆的模

8、型就是通用模型？分析证明四脚共圆的模型就是通用模型？分析证明过程可知这样的证明也适用于过程可知这样的证明也适用于四脚成四脚成正正方形或长方形，即方形或长方形，即不需不需将椅子将椅子旋转旋转900或将或将椅子椅子旋转旋转1800证明证明！ 因此一般模型这样建立：对于四脚与地面距离因此一般模型这样建立：对于四脚与地面距离有有4个个函数，函数，A脚或另外最多两个脚与地面距离脚或另外最多两个脚与地面距离之和为为f( ）， 其其它它脚与地面距离之和脚与地面距离之和为为g( ) 。椅子椅子旋转旋转，在区间在区间 0， 上应用介值定理不难证明上应用介值定理不难证明。这表明我们对这表明我们对四脚成四脚成正方形

9、或正方形或长长方形的模型适用于其它情形。方形的模型适用于其它情形。 再认识一：对建立模型过程或模型求解过程分析，对建立模型过程或模型求解过程分析，找出建模关键而形成通用模型。找出建模关键而形成通用模型。第5页/共29页2. 2. 存贮模型存贮模型 存贮模型是存贮模型是存贮论的基本内容存贮论的基本内容, ,而存贮论是运筹而存贮论是运筹学的一个重要分支学的一个重要分支, ,在生产领域有广泛应用在生产领域有广泛应用. . 初等存贮模型分不允许缺货的存贮模型、允许缺初等存贮模型分不允许缺货的存贮模型、允许缺货的存贮模型。这里先介绍不允许缺货的存贮模型。货的存贮模型。这里先介绍不允许缺货的存贮模型。一、

10、不允许缺货的存贮模型一、不允许缺货的存贮模型问问 题题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产，不允许缺货。间内产，不允许缺货。第6页/共29页模模 型型 假假 设设1. 1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2. 2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, , 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. 3. T 天生产一次（周期）

11、天生产一次（周期）, , 每次生产每次生产Q 件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；4. 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。离散问题连续化处理离散问题连续化处理!建建 模模 目目 的的 设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。第7页/共29页模模 型型 建建 立立贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t),显然是以显然是以T为周期的函数为周期的函数.t=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以

12、以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.0tqTQrrTQ 由周期性可知要计算总费用只要计算一个周期的总费由周期性可知要计算总费用只要计算一个周期的总费用用. .由于准备费为常数由于准备费为常数, ,下面的重点是要计算贮存费下面的重点是要计算贮存费. .注意注意到到q q( (t t) )是变化的是变化的, ,故计算贮存费需用元素法故计算贮存费需用元素法( (定积分定积分).).以以t为积分变量为积分变量,0,T为积分区间为积分区间,在积分区间取微分区间在积分区间取微分区间t,t+dt,则贮存费微分为则贮存费微分为第8页/共29页dc=c2 q(t)dt一个周期的贮存费为一个周期的贮存费

13、为AcdttqcT202)(0tqTQrA=QT/2一个周期的总费用为一个周期的总费用为TQccC2212221rTcc 每天总费用平均值（目标函数）为每天总费用平均值（目标函数）为2)(21rTcTcTCTC第9页/共29页于是所求模型为于是所求模型为2)(min21rTcTcTC模型求解模型求解0dTdC212rccT 212crcrTQ 模型求解结果在经济学中称为模型求解结果在经济学中称为经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式），公式），应用于订货、供应、存贮情形应用于订货、供应、存贮情形第10页/共29页二、问题：每天总费用的平均值最小为什么要二、问题：每天总费用的平均值最小为什

14、么要周期地等产量生产？周期地等产量生产？思考问题思考问题1生产的周期性生产的周期性 日需求日需求100100件，准备费件，准备费50005000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1 1元。元。考虑考虑2020天的生产。天的生产。 1010天生产一次天生产一次，每次，每次10001000件，贮存费件，贮存费900+800+900+800+100 =4500+100 =4500元，准备费元，准备费50005000元。总计元。总计1900019000元。元。每天费用950元 先先9 9天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产900900件，贮存费件，贮存费800+700+800+700+100 =

15、3600+100 =3600元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计86008600元。元。 再再1111天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产11001100件，贮存费件，贮存费1000+900+1000+900+100 =5500+100 =5500元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计1050010500元。总计元。总计1910019100元。元。平均每天费用955元第11页/共29页 先先9 9天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产10001000件，贮存费件，贮存费900+800+900+800+100 =4500+100 =4500元，准备费元，准备费

16、50005000元，小计元，小计95009500元。元。 再再1111天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产10001000件，贮存件，贮存费费1000+900+1000+900+100 =5500+100 =5500元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计1050010500元。总计元。总计2000020000元。元。平均每天费用1000元周期性地生产会使平均每天费用减少。周期性地生产会使平均每天费用减少。第12页/共29页思考问题思考问题2生产的等量性生产的等量性 日需求日需求100100件，准备费件，准备费50005000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1 1元。元。考

17、虑考虑2020天的生产。天的生产。 1010天生产一次天生产一次，每次，每次10001000件，贮存费件，贮存费900 + 800 900 + 800 + +100 =4500+100 =4500元，准备费元，准备费50005000元。总计元。总计1900019000元。元。每天费用950元 先先1010天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产11001100件，贮存费件，贮存费1000 1000 +900+900+200 =5400+200 =5400元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计1040010400元。元。 再再1010天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产9009

18、00件，贮存费件，贮存费900 + 800 900 + 800 + +100 =4500+100 =4500元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计95009500元。总计元。总计1990019900元元。平均每天费用995元第13页/共29页 先先1111天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产11001100件，贮存费件，贮存费1000+900+1000+900+200+100 =5500+200+100 =5500元，准备费元，准备费50005000元，小元，小计计1050010500元。元。 再再9 9天生产一次天生产一次，这次生产，这次生产900900件，贮存件，贮存费费

19、800+700+800+700+100 =3600+100 =3600元，准备费元，准备费50005000元，小计元，小计95009500元。总计元。总计1910019100元。元。平均每天费用955元 等量地生产会使平均每天费用减少。由此可见，等量地生产会使平均每天费用减少。由此可见，必必须周期地等量生产！须周期地等量生产！因此有模型因此有模型 在一段时间在一段时间nT天内需分天内需分n次生产数量为次生产数量为nQ的产品的产品,时时间间隔依次为间间隔依次为T1、T2、Tn，相应的各次生产数量依次，相应的各次生产数量依次为为Q1、Q2、Qn.若每天需求量若每天需求量 r，每次订货费，每次订货费

20、 c1,每天每天每件贮存费每件贮存费 c2，则，则第14页/共29页 niQTnirTQnQQnTTQrTtsrTQrTTcncnTCiiijjjnjjnjjniijjjii, 2 , 1, 0, 0, 1, 2 , 1, 0)(,.211min1111121求解结果为求解结果为niQQTTii, 2 , 1, 认识二：对问题仔细分析，找出模型缺陷而完善模型。对问题仔细分析，找出模型缺陷而完善模型。第15页/共29页 某地区有某地区有n（n2）个商品粮生产基地）个商品粮生产基地,各基地的各基地的粮食数量分别为粮食数量分别为m1、m2、mn (单位：吨），每吨单位：吨），每吨粮食一距离单位运费为

21、粮食一距离单位运费为c,为使各基地到仓库的总运费为使各基地到仓库的总运费最小最小,问仓库如何选址问仓库如何选址?问问 题题3.3.仓库选址仓库选址模模 型型 假假 设设 1. 1.各商品粮生产基地的粮食集中于一处；各商品粮生产基地的粮食集中于一处；2.2.各各商品粮生产基地及仓库看作点；商品粮生产基地及仓库看作点；3.3.各商品粮生产基地与仓库之间道路按直线段考虑。各商品粮生产基地与仓库之间道路按直线段考虑。第16页/共29页模模 型型 建建 立立 建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系xOy，各商品粮生产基地的，各商品粮生产基地的坐标坐标分别为（分别为（xi,yi),i=1,2, ,n;仓库的

22、坐标为仓库的坐标为（x, ,y),则各商品粮则各商品粮生产基地到仓库的总运费为生产基地到仓库的总运费为 niiiiyyxxcmyxf122)()(),(于是模型为于是模型为)1()()(),(min122, niiiiyxyyxxcmyxf第17页/共29页模型求解模型求解0),(, 0),( yyxfxyxf由由有有)2(0)()()(0)()()(122122 niiiiiniiiiiyyxxyymyyxxxxm第18页/共29页 对一般对一般n求解方程组（求解方程组（2）有一定困难！但）有一定困难！但n=2时比时比较容易求得仓库坐标较容易求得仓库坐标)3(212211*212211* m

23、mymymymmxmxmx 自然推测对一般的自然推测对一般的n，方程组（，方程组（2）的求解结果为）的求解结果为)4(11*11* niiiniiniiiniimymymxmx第19页/共29页 容易验证（容易验证（4）满足方程组（）满足方程组（2）。下面考察（）。下面考察（4）式）式 这一结果可以这一结果可以解释解释为为)4(11*11* niiiniiniiiniimymymxmx 平面平面n个具有质量个具有质量mi的质点的质点（xi,yi),i=1,2, ,n的质心的质心坐标就为坐标就为（x*, ,y*)。第20页/共29页 再认识三：分析模型结果，寻找更为简单的模分析模型结果，寻找更为

24、简单的模型或其它建模方法。型或其它建模方法。 由此可以如下建立模型：由此可以如下建立模型： 把把n个分别拥有粮食个分别拥有粮食mi吨的商品粮生产基地吨的商品粮生产基地类比为类比为n个具有质量具有质量mi的质点的质点（xi,yi),i=1,2, ,n，则总运费最小则总运费最小的仓库位置就是这的仓库位置就是这n个质点的质心个质点的质心（x*, ,y*)。 这是一种建立数学模型的方法：类比法。这是一种建立数学模型的方法：类比法。第21页/共29页4.4.蛛网模型蛛网模型问问 题题供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定价格下降减少产量增加产量价

25、格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡第22页/共29页模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的的交点交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy第23页/共29页xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离

26、x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP 第24页/共29页应用应用 核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。，核军备竞赛不断升级。 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。系列的核裁军协议。 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，在什么情况下