集合与映射课件

1、集合与映射 第一章 2 映映 射射1 集集 合合第一章机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与映射3 函函 数数集合与映射元素 a 属于集合 S , 记作元素 a 不属于集合 S , 记作1 集合集合1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 1.1.1 具有某种特定性质的具体或抽象的对象的总体称为集合。组成集合的对象称为元素元素。通常用大写字母如 A, B, S, T,表示集合 ,记作 . aS( 或aS) .aS机动 目录 上页 下页 返回 结束 不含任何元素的集合称为空集空集 ,而用小写字母如 a,b,x,y,表示集合的元素。集合与映射集合的表示方法集合的表示方法：(1) 枚举法：按某种方

2、式列出集合中的全体元素 .例例: 正整数集合1,2,3, ,Nn自然数集,2,1,0Nnn(2) 描述法： Sx x 所具有的特征P例例: 整数集合 ZxNx或Nx有理数集QqpZ,N ,qp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数正实数集,0 Rx xRx且特殊集合210 x xRx 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与映射)(aa ),(Uxa ),xbabxa ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx点的 邻域邻域a ),(xaaxa xaxax0其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :, ),(aa

3、右右 邻域邻域 :. ),(aa开区间( , ) a bxaxb半开区间闭区间 , a bxaxb数学分析中常用数学分析中常用的实数集的实数集集合与映射则称A是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义1.1.1.1.2.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如 ,ZNQZRQ显然有下列关系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA , ,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 N若A 是 B 的一个子集，但存在一个元素 xB但 xA,则称 A 是 B 的一个真子集。集合与映

4、射AcABB定义定义1.1.3 给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:补集)(ABBABcA其中例如：有理数关于实数集的补集是无理数集CA BAB容易知道，集合补与差满足如下关系ABABBABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 Bx或集合与映射 2 . 结合律结合律 3. 集合运算的性质集合运算的性质()()ABDABD()()ABDABD1 1 .交换率交换率()()()ABDABAD(),CCCABAB 4 . 对偶律对偶律 ( De Morgan公式公式 )()CCCABAB,ABBAABBA机动 目录 上页 下页 返回 结

5、束 3 .分配率分配率()()()ABDABAD集合与映射4. 有限集与无限集有限集与无限集若集合S由有限个元素组成，则称集合S为有限集，不是有限集的集合称为无限集。2-3 +2=0Sxxx例如例如 N、Z、Q、R都是无限集。是有限集。如果无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列换句话说，这个集合可表示为则称其为可列集。 显然无限集并非一定是可列集。12,na aa但容易证明：每个无限集必包含可列集。机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与映射证证 设S是一个无限集，先取a1S,由于S是无限集,必存在a2S, a1a2,再由S是无限集,必存在a3S, a3a1, a3a2,这个过程可以无限进

6、行下去，于是得到一个可列集为12,nTa aa机动 目录 上页 下页 返回 结束 TS且。集合与映射例例1.1.2 整数集是可列集整数集是可列集解：因为整数集可以按规律0，1，-1，2，-2，n,-n, (1,2,3,)nAn 排成一列，因而是可列集。设个集合An都是可列集，则它们的并集是无穷可数个集合，其中每一一定是可列集。即有下面的定理。121|,nnnnAAAAxnNxA存在使定理1.1.1 可列个可列集之并必是可列集。机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与映射证明见P7。( ,1,nnnAn nnZRA令证由定理1.1.1,只需证明(0,1中的有理数集是可列集即可.区间(0,1中的

7、有理数可唯一表示为既约分数q/p,其中pN+, qN+,qp, q，p互质。我们按以下方式排列这些有理数。见P8.定理1.1.1 可列个可列集之并必是可列集。机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1.1.2 有理数集Q是可列集。作业：作业：p10 2(2),5集合与映射5 .笛卡尔笛卡尔( Descartes )乘积乘积集合 的集合称为集合A与集合B的Descartes 乘积乘积集合。 设A与B是两个集合，在集合A中任取一个元素x，ABBA记为AB, 即 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集机动 目录 上页 下页 返回 结束 在集合B中任取一个元素y，组成一个有序对 (

8、x,y)。把这样的有序对 (x,y)作为新的元素，它们全体组成集合与映射2、 映射与函数映射与函数1. 映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例1. 集合与映射引例引例2.xxysinRxRy引例引例3.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点xysinxy oxy1x2xxxysin机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与映射定义定义1.2.1 设 X , Y 是两个非空

9、集合, 若存在一个对应规则 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作:( )fXY xyf x元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像 , 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像（也称为原像）逆像（也称为原像）.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 ，记为，记为Df=X;Y 的子集)(XfXxxf)(称为 f 的 值域值域 ,记为Rf 。注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy集合与映射对映射YXf:若

10、()ff XRY, 则称 f 为满射满射; XYf)(Xf若,2121xxXxx有 )()(21xfxf则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. XY)(Xff机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与映射例例1.三角形)(三角形集合海伦公式bcaS面积),0(例例2. 如图所示,Sxyoxey x),0 x对应阴影部分的面积),0S则在数集),0自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3. 如图所示,xyo),(yxrcosrx sinry 2R),(yxf)2,0),0),(r:f则有(满射满射) (满射满射)机动 目录 上页 下页 返回

11、结束 集合与映射X (数集 或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)机动 目录 上页 下页 返回 结束 f f 称为X 上的泛函X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 名称. 例如, 集合与映射2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1) 逆映射的定义 定义定义1.2.2 若映射:( )f Xf X为单射, 则存在一新映射1:(),ff XX使习惯上 ,( ) ,yf xxX的逆映射记成1( ) ,()yfxxf X例如, 映射, 0,(,2xxy其逆映射为,xy),0 x()f XXf1f1() ,

12、( ),yf Xfyx 其中,)(yxf称此映射1f为 f 的逆映射 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与映射(2) 复合映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 1Xfg手电筒XX2X2X引例. 复合映射 集合与映射定义1.2.3 xXg( )()ug xg X1uXf)(ufy 则当1()g XX由上述映射链可定义由 X 到 Y 的复, )(xgfy ( ),.fg xxX设有映射链记作1()Yf X合映射 ,时,或1(X )Yf)(ufy )(xgf1XXx)(xgu gfgf ()g X机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 1()g XX不可少.以上定义

13、也可推广到多个映射的情形.集合与映射下述两恒等映射。 要注意，映射要注意，映射f和和g的复合是由顺序的，这就是说，的复合是由顺序的，这就是说，机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别地，若将f与它的逆映射f -1进行复合，则得到11( ),( ),fffyyyRff xxxX 讲也是不同的。f g有意义并不意味g f也一定有意义。即使都有意义即Rg Df 与Rf Dg都满足，复合映射f g与g f一般来集合与映射定义域3 函数函数1. 函数的概念函数的概念 定义定义1.3.1. 设数集RX ,则称映射:RfX 为定义在D 上的函数 ,记为( ) ,()fyf xxXD f ( X ) 称函数的

14、值域 函数图形函数图形: ),(yxC xX, )(xfy xy(,)Xababxy()Xf X机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量集合与映射xXf()( ),yf Xy yf x xX(对应规则)(值域)(定义域)例如, 反正弦主值xxfyarcsin)( 1 , 1 ,X 22(),f X 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法: 解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域xyoxy xxf)(又如, 绝对值函数0,xx0,xx定义域RX 值 域()0 ,)f X 机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与映射例例4. 已知函数 1,110,2)

15、(xxxxxfy求 )(21f及, )(1tf解解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t时0t函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 (0 ,)D 值 域 ()0 ,)f D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与映射当两个函数不仅函数关系相同，而且定义域也相同，于是它们的值域 也必然相同，它们表示相同的函数，例如例如sin( )sin( )xxf xxxx与g否则就表示不同的函数。至于此时自变量与因变量采用什么符号，那倒是无关紧要的。 sin ,(,)yx x 因为定义域不同sin ,(,)uv v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以表示的函数也是不同的。而而与表示

16、同一个函数。集合与映射在函数的解析表示法中，函数的分段表示、隐式表示( )x和参数表示在数学分析中是最常用的。函数的分段表示函数的分段表示( )x设A,B是两个互不相交的实数集合，( )( )( )xxAf xxxB机动 目录 上页 下页 返回 结束 分别定义在集合A,B上的函数，则如例如例4与是定义在集合AB的函数。是函数的隐式表示函数的隐式表示是指通过方程F(x,y)=0来确定变量y是x之间的函数关系的方式。如天体力学中著名的Kepler方程。集合与映射函数的参数表示函数的参数表示在表示变量x与y的函数关系时，我们常常需要引入第三个变量（例如参数t），通过建立t与x、t与y之间的函数关系，

17、间接地确定x与y之间的函数关系，即( ), , ( ),xtta byt机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如：上半园的方程例如：上半园的方程摆线方程摆线方程sin ,0,)1 cos ,xtttyt cos ,0, sin ,xRttyRt集合与映射2. 函数的几种特性函数的几种特性设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 有界性有界性若存在两个常数m和M,( ),mf xM使函数f(x)满足 , Ix,0M使,)(Mxf则称 )(xf其中其中: m是它的下界，M是它的上界。 在 I 上有界。 若函数f (x)有界，即意味着f 即有上界，又有下界; 说某函数是否有界，一定要指明其所在

18、的区间。 当一个函数有界时，它的上下界不是唯一的；有 则称f (x)为 I 上的有界函数。 有界函数的另一种定义： 注意：, Ix集合与映射如函数f (x)=1/x在1,+)上是有界函数，而在(0,1)上却是无界函数，因此不能简单说f (x)是有界函数。 直线 y=M与y=-M为边界的带形区域之间。比较函数f (x)在I上有界和无界的定义，不难发现两个函数有界的几何意义是:f (x)在区间I上图像位于两 都存在x0I，使得|f (x0)|M。设f (x)为定义在 I 上的函数，若对任意大的正数M0， 无界函数的定义 互为逆命题的定义，有如下的对偶叙述方法。机动 目录 上页 下页 返回 结束 集

19、合与映射 函数的性质定义函数f(x)在I上有上界 MR, xI, 都有f (x)M函数f(x)在I上无上界 MR, x0I, 都有f (x0)M函数f(x)在I上有下界 mR, xI, 都有f (x)m函数f(x)在I上无下界 mR, x0I, 都有f (x0)M逆命题定义的主要差别在于：把存在逆命题定义的主要差别在于：把存在 与任意与任意 互换。互换。把x换成 x0，|f(x)|m)换成|f(x0)|M(0，那么xR，有即有1()0 xD xrx当 为有理数当 为无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以 r 为D(x)周期。然而，正有理数没有最小数，所以狄利克雷函数是没有最小正周期的周

20、期函数。同样 f (x)=C 也是周期函数，且任何大于0的正实数都是它的周期，故它也不存在最小正周期。()( ),D xrD x集合与映射那么什么样的周期函数一定有最小正周期呢？一般地，有如下的定理：两个周期函数的和或积不一定是周期函数与( )sinf xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 是周期函数但 F(x) = f (x)+ g (x) 却不是周期函数。可用反证法证明如下： 例如: 定理： 设f 是异于常数的周期函数,且 f 连续,则 f 有 最小正周期。( )sin,g xexxR集合与映射假设F(x)是以k (k0)为周期的周期函数,则xR，有sin()sinsin()sin,xk

21、xexkeex 即sin()sin()sinsin,xkexkexex令x=(-k )/2 , 得(*)0=cos(e/2)sin(ke/2) cos(/2)sin( /2)cos(/2)sin(/2),xkkexkeke 所以,sin(ke/2)=0,因而ke必是2的整数倍,设ke=2m,mN，在(*)式中再令x=(-ke)/2e，再得Cos (/2e)sin(k/2)=0所以sin(k/2)=0，因而k必是2的整数倍，设k=2n,nN，故e=2m/ 2n=m/n,这与e是无理数矛盾！集合与映射例7 设f为定义在R上以h为周期的函数,a为实数。证明：若f在a,a+h上有界，则f在R上有界。证

22、：由条件f在a,a+h上有界，故M0， 对于xa , a+h, 有|f(x)|M。因为f 以h为周期，所以xR , 满足xR, mZ, 使得x=mh+x1, 其中 x1a , a+h, | f(x) |=| f(mh+x1) |=| f(x1) |M即 f 在R上有界。证毕集合与映射3. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射, 则存在逆映射DDff)(:1习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在

23、xfy且也单调递增 性质: 集合与映射2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ,),(,xeyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数集合与映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 若f是(-a,a) 上的奇函数，并且有反函数f -1，则 f -1(x)也是奇函数。证: 因对任意x(-a,a), 有f (f -1(-x)= -x, 于是 x= - f( f -1(-x)=f (-f -1(-x) 即对

24、任意x(-a,a)有 f -1(x) =f -1(f (- f -1(- x) )= - f -1(-x)所以所以f -1是奇函数。是奇函数。集合与映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9 设f: RR严增, f -1是其反函数,x1是f(x)+x=a的根,解: 因f(x1)+x1=a， f -1f是恒等映射知， f -1f(x1)=x1 f(x1)+f -1f(x1)=a x2是f -1(x)+x=a的根,试求x1+x2的值。 此即表明，f(x1)是方程f -1(x)+x=a的根。 但由于f严增，可知f -1+x也严增,所以方程f -1(x)+x=a 有根必唯一.故f(x1)=x2,因而

25、 x1+x2=x1+f(x1)=a。集合与映射例10 若 f -1是f 的反函数,y=f -1(-x)是y = f(-x)的反函数,解: 令g(x)= -x, 则y=f -1(-x)就是f -1与g(x)的复合函数，即 f -1(-x)=f -1(g(x)=(f -1g)(x) 试证f (x)是奇函数。 同理， f(-x)=f(g(x)=(f g)(x)。 按题设条件，f -1g与f g互为反函数，因此 f g=(f -1g)-1,=g-1f 即对任意x(-a,a)有 f(-x) =f g(x)=(g-1f)(x) = g-1(f(x)=-f(x)所以所以f是奇函数。是奇函数。集合与映射(2)

26、 复合函数 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 1)(DDg不可少. 例如例如, 函数链 :,arcsinuy ,122xu函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数 .可定义复合集合与映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk时),

27、2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv集合与映射4. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 又如,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.例如 , 双曲函数与反双曲函数是初等函数 .集合与映射1( )( ( )( ) |( )( )|),2M xf xg xf xg x例11. 设 f 和 g 都是D上的初等函数。定义 (1) 试问M(x)和m(x)是否都为初等函数？而( )max

28、( ), ( ),( )min ( ), ( )M xf x g xm xf x g xxD2|()fgfg是初等函数。提示: (1)1( )( ( )( ) |( )( )|),2m xf xg xf xg x (2) 若f和g是增函数,证明M(x)和m(x)也是增函数。集合与映射 (2) 设x1 , x2D, x1 0,1当 x = 0,0当 x 0)上的任意函数f都可以表示成奇函数与偶函数之和的形式。分析分析:假设f可以表示成奇函数与偶函数之和的形式，根据条件把这两个函数“找出来”。( )( )( ), f xF xG xxa a ()( ),()( )FxF x GxG x 故)(xf

29、可以表示成奇函数与偶函数之和的形式。 令()( )( )fxF xG x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中于是（1）（2）联立式(1)与(2)，解得11( ) ( )(),( ) ( )()22F xf xfxG xf xfx集合与映射 在上述在上述证明中,F(x)和G(x)这两个函数是通过分析找出来的，而不是在证明时直接“拿”出来的，这种构造性的证明思路在数学分析中是常见的。它是解决初学者“为什么你能想得到，而我却想不到”的这种疑问的很好的解题方法。若( )( )2 () ()22xyxyf xf yff证明留给大家做练习。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上题的结论可用来判断一

30、类函数的奇偶性，其原理为设 f 可表成奇、偶函数之和的形式f(x)=F(x)+G(x),然后再用题目给定的条件证明其中的F(x)=0或G(x)=0。例 对x,yR, f (x+y)=f (x)+f (y), 证明f(x)为R上的奇函数。，则 f (x)是偶函数。集合与映射 5 . 设函数f为-a, a(a0)上的奇(偶)函数，证明若f在0, a上单增，则f在-a, 0上单增（减）。解：解：任取 x1, x2-a,0， x1 - x2，于是21()()f xf x 这就说明 f 在-a, 0上单调增加。 证毕集合与映射 6 . 若若函数( )/f xx在(0,+)上单调增加，则f(x1)+f(x

31、2) f(x1+x2)解解:( )( )/ ,g xf xx类似可求证：机动 目录 上页 下页 返回 结束 121122112212( )()( )()()()f xf xx g xx g xx g xxx g xx设由题设知g(x)在(0,+)上单调增加于是对x1,x2(0,+),且x11时，f (x)0, 证明 f 在R+上是增函数。集合与映射 7 . 设函数),(, )(xxfy的图形与,ax 均对称, 求证)(xfy 是周期函数.)(baby证证: 由 )(xaf)(xf的对称性知),(xaf )(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)(axaf)2(xaf)2(bxabf)2(b

32、xabf)(2abxf故)(xf是周期函数 , 周期为)(2abT机动 目录 上页 下页 返回 结束 集合与映射 8. 求函数244( )sinsincosf xxxx的周期。解解:311cos2(1 cos4 )224xx222221 cos2( )(sincos)2sincos2xf xxxxx5/4的周期为任意大于零的实数,cos2x的周期为,Cos4x的周期为/2，它们的最小公倍数为，故f(x)的周期为。( )1cos3sin23xxf x 类似可求函数的周期。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 511cos2cos4424xx集合与映射 数学分析中的几个重要不等式数学分析中的几个重

33、要不等式1.| |ababab证：机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角不等式对任意实数a和b, 都有|a baba b 所以222222|2|2|2|aa bbaabbaa bb开方后就得到上述不等式。因为对任意实数a和b, 都有集合与映射证：当n=1或h=0时，不等号显然成立(且等号均成立)21(1)11 (1)(1)(1)(1)nnhhhhh 121()()nnnnnabab bbaa2. 伯努利(Bernoulli)不等式设h -1, nN+, 则成立(1)1nhnh 其中等号仅在h=0时成立。当n1和h 0时，将(1+h)n-1作因式分解，得到 若h0, (1)式方括号内的每一项都大于或等于1,因此就有当-1h0时，(1)式方括号内的每一项都小于或等于1(1)1nhnh 而方括号中表达式之和小于n,由于h