三升四暑期班 2

1、 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思讲义编写组目 录第一讲 速算与巧算 . 2第二讲 应用题综合（一） .9第三讲 应用题综合（二）.14第四讲 行程问题初步 .19第五讲 奇数与偶数 .24第六讲 计数问题 .29第七讲 体育比赛中的数学 .34第八讲 期中测试 .38第九讲 余数与周期 .40第十讲 简单的抽屉原理 .45第十一讲 巧求周长 .50第十二讲 数字谜 .55第十三讲 趣题巧解 .60第十四讲 逻辑推理 .64第十五讲 期末测试 .68第一讲 速算与巧算亲爱的同学们，你想一见到算式就能张口说出得数吗？你想让自己变得更聪明吗？学了今天

2、的速算技巧后你就可以梦想成真了！还等什么？来吧，一起出发！你还记得吗？1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变.2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变.3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变， 即a×b=b×a,其中a，b为任意数.4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c).习 能

3、凑整的数，一般找能凑整的数看个位就可以了。2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222221. 计算：378+26+609分析：原式=（378+22）+（600+9）+（26-22）=400+600+9+4=1013.拓展 计算：1998+198+18分析：原式=（2000-2）+（200-2）+（20-2） =2220-6 =2214.2. 计算：1000-90-80-20-10分析：原式 =1000-（90802010）=1000-200=8

4、00.3. 计算：1）63×11 ； 2） 852×11分析：在这个数的首尾之间添上相邻两数依次相加的和（和满10要进1）. 即“两边一拉，中间相加”.1）63×11=693 （其中9是6+3），2）852×11=9372（7=5+2 3=5+8末尾 9=8+1）.4. 计算 ：15×15 ；25×25 ；35×35分析：建议教师先介绍个位数字为5的数的平方速算规律：首数加1的和乘以首数，尾数相乘，两积连起来即为所求的积.15×15=225 ；25×25=625 ；35×35=1225暑假精讲1

5、. 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变.在连除时，可以交换除数的位置，商不变，即a÷b÷c=a÷c÷b2. 乘除法混合运算的性质（1）在乘除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同数字前面的运算符号一起交换位置，例如a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a(2)在乘除混合运算中，去掉括号的规则以及去括号的情形 a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c a÷(b÷c)=

6、a÷b×c(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即 (a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c).在乘除运算中，要做到既正确又迅速，首先要熟练地掌握乘除的各种运算定律，性质和运算中积商的变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件，选用合理，灵活的计算方法，下面我们通过一些例题介绍一些运算的速算和巧算的方法.【例1】 计算：456×2×125×25×5×4×8分析：解题关键是观察题目可以发

7、现25×4得100，125×8得1000，将它们分别合并便可达到速算原式=456×（2×5）×（25×4）×（125×8）=456×10×100×1000=456000000.巩固 计算：19×25×64×125分析：原式=（25×4）×（125×8）×（19×2） = 100×1000×38 =3800000.【例2】 计算：5÷(7÷11) ÷(11&#

8、247;15) ÷(15÷21) 分析：原式=5÷7×11÷11×15÷15×21=5×（11÷11）×（15÷15）×（21÷7）=5×3=15.前铺 计算：5400÷25÷4分析：根据除法性质知一个数分别除以两个数，等于除以这两个数的积.原式=5400÷（25×4）=5400÷100=54.【例3】 计算：333333÷37÷3-3625÷125+125×

9、;50分析：运用a÷b÷c=a÷(b×c) .原式=333333÷（37×3）-29+6250=333333÷111+（6250-29）=3003+6221=9224.【例4】 53×46+71×54+82×54分析：可以把53，199拆分.原式=（54-1）×46+71×54+82×54=54×46+71×54+82×54-46=54×（46+71+82）-46=54×199-46=54×（200-1）-

10、46=54×200=54-46=10800-100=10700.【例5】 （873×477-198）÷（476×874+199）分析：观察到873与874，476与477的关系，可以考虑把整数进行拆分.原式=873×（476+1）-198 ÷476×（873+1）+199=873×476+873-198 ÷476×873+476+199=873×476+675 ÷476×873+675=1.【例6】 1111111111×9999999999分析：原式=1

11、111111111×（10000000000-1）=11111111110000000000-1111111111=11111111108888888889.【例7】 99999×26+33333×24分析：原式=99999×26+33333×3×8=99999×26+99999×8=99999×（26+8）=（100000-1）×34=3399966.【例8】 计算：1+1×2×2+l×2×3×3+l×2×3×4&

12、#215;4+l×2×3×4×5×5分析：原式=1×(2-1)+l×2×(3-1)+1×2×3×(4-1)+1×2×3×4×(5-1)+l×2×3×4×5×(6-1)=l×2-1+l×2×3-1×2+l×2×3×4-1×2×3+l×2×3×4×5-1×2

13、15;3×4+l×2×3×4×5×6-l×2×3×4×5=l×2×3×4×5×6-l=720-l=719【例9】 计算：2006+2005-2004-2003+2002+2001-2000-1999+1998+5-4-3+2+1分析：（法1）我们观察可以发现，题目中每4个数一组可以相互抵消，将这些数先分组，简化计算.原式=2006+（2005-2004-2003+2002）+（2001-2000-1999+1998）+（5-4-3+2）+1=20

14、06+0+0+0+1=2007.（法2）根据符号规律，可以4个数一组.原式=（2006+2005-2004-2003）+（6+5-4-3）+2+1=4×（2004÷4）+3=2007.拓展 计算：1992-1-2+3+4-5-6+7+8-1989-1990+1991分析：原式=（1992+1991-1990-1989）+（4+3-2-1） =4×（1992÷4） =1992.【例10】 计算：（11×10×9××3×2×1）÷（22×24×25×27）分析

15、：原式= （11×2÷22）×（10×5÷25）×（9×6÷27）×（8×3÷24）×7×4 =2×2×7×4=112.【例11】 计算：9×17+91÷17-5×17+45÷17分析：前铺分配律的逆运算是个难点，建议教师先从简单题讲清楚再讲本题.计算1： 36×19+64×19=（36+64）×19=1900.计算2： 36×19+64×144=

16、36×19+64×（19+125）=（36+64）×19+64×125=1900+8×8×125=1900+8000=9900.例题原式=9×17-5×17+91÷17+45÷17=（9-5）×17+（91+45）÷17=4×17+136÷17=68+8=76.【例12】 计算：765×213÷27+765×327÷27分析：原式=765×（213+327）÷27=765×540

17、7;27=765×20=15300.【例13】 计算：（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7分析：前铺建议教师先讲解拆数法：123456=1×100000+2×10000+3×1000+4×100+5×10+6×1，234561=2×100000+3×10000+4×1000+5×100+6×10+1×1，或者观察竖式发现：每个数位上的和=（1+2+3+4+5+6）×相应的数量单位.讲清楚拆数这

18、个问题，题目就迎刃而解了.原式=（1+2+3+4+5+6）×(100000+10000+1000+100+10+1) ÷7=21×111111÷7=3×111111=333333.【例14】 计算：12121212÷3030303 分析：前铺建议教师先给学生讲清楚周期性数字的规律.如123123=123×1001，123123123=123×1001001，分析：原式 =12×1010101÷（3×1010101）=（12÷3）×（1010101÷1010

19、101）=4×1=4.拓展 计算：（4545+5353）÷4949分析：原式=（45×101+53×101）÷（49×101） =（45+53）×101÷49÷101 =（45+53）÷49 =2.【例15】 2004×200320032003-2003×200420042004分析：原式=2004×2003×100010001-2003×2004×100010001=0.附加内容【附1】 计算：99999×22222+333

20、33×33334分析：原式=99999×22222+33333×（33333+1）=99999×22222+99999×11111+33333=99999×33333+33333=33333×（99999+1）=33333×100000=3333300000.【附2】 计算：888×125÷（1000÷73）+999×73分析：原式=8×125×111÷（1000÷73）+999×73=1000×111÷1

21、000×73+999×73=73×（111+999）=1110×（70+3）=77700+3330=81030.大显身手1. 25×17×32×125分析：原式=（25×4）×17×（8×125）=1700000 .2. 1）57×99 ；2） 17×999分析：1）原式= 5643 ；2）原式=16983. 3. 15000÷125÷15分析：原式=15000÷15÷125=1000÷125=8.4. 56000&

22、#247;（14000÷16）分析：原式= 64. 数学迷宫仔细看看图中有几只猴子？第二讲 应用题综合（一）春季班同学们已经学习了平均数的应用题，其中包括以两组数的平均数和它们的总平均数间的关系为内容的问题求解时应恰当选取基准数并注意权重暑假我们学习的平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数.解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数.首先，让我们先回顾一下吧！你还记得吗？1. 小强为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数

23、学竞赛训练题.星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道.那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？分析：综合列式为4×7-(3×313)6(道).2. 小明家先后买了两批小猪，养到今年10月.第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克.小明家养的猪平均多重？分析：两批猪的总重量为66×342×5408(千克).两批猪的头数为358(头)，故平均每头猪重408÷851(千克).3. 中强期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分.问：英语得了多少分？分析：英语比平均成绩高的这4分，是

24、“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为(92904)÷293(分)，由此可求出英语成绩.综合列式为(92924)÷2497(分).4. 有5个数的平均数是26，如果把其中的一个数改为18，则平均数变成22，未改动前的这个数是多少？分析：5个数的平均数从26变成22，平均每个数减少了4，一共减少了4×5=20，说明原来那个数减少20变为18，所以原来的数是38.暑假精讲【例1】 学而思三升四竞赛班50人考试，全班平均分为85分，其中有40的人及格，及格人的平均分是93分，那么不及格人的平均分是多少分？ 分析：不及格人的平均分是（85×50-93&#

25、215;40）÷（50-40）=53（分）【例2】 某一幢居民楼里原有3户安装空调，后来又增加一户.这4台空调全部打开时就会烧断保险丝，因此最多同时使用3台空调.这样，在24小时内平均每户最多可使用空调几小时？分析：平均每户最多可用空调24×3÷4=18（小时）.【例3】 一个房间里有9个人，平均年龄是25岁；另一个房间里有11个人，平均年龄是45岁两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是几岁？分析：（25×9+45×11）÷（9+11）=36（岁）.【例4】 某校有100名学生参加第四届小学“祖冲之杯”数学竞赛，平均分数是63分，其中

26、参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？ 分析：参赛女同学人数为：100×(63-60) ÷(70-60)=30(人)，所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40（人）.下面我们要学习一类新的应用题盈亏问题. 盈亏问题就是把一定数量的物品分给若干对象，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求被分配的物品数与分配的对象数.解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额(盈数+亏数)，由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差.需要注意的是，两种分配方案的结果会出现一盈一亏、两盈、两亏等情况，所以我们要

27、灵活把握.【例5】 六一儿童节到了，李老师给同学们准备了一些漂亮的贴画作礼物，如果每人分3张就会多出29张，如果每人分5张则少19张，那么李老师给几个学生发礼物呢？ 分析：学生的人数：(29+19)÷(5-3)=24(个).【例6】 杨老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？分析：买5本多3元，买7本少1.8元.盈亏总额为31.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7-52（本）书，因此每本书4.8÷2=2.4（元），顾老师共带钱2.4×5315（元）.【例7】 学校组织四年级师生去参观清华、北大，原计

28、划租用45个座位的客车，但这样有5人没座，如果租用同样数量的55个座位的客车，则正好多出1辆车.那么，原计划租用45座客车几辆？分析：租55个座位的客车，正好多出1辆车，也就是少了一车的人，即55人，所以，原计划租用的客车数量(55+5)÷(55-45)=6(辆).【例8】 兰兰参加暑假的英语夏令营，老师为她们安排住宿，如果每个房间住5人，则多出18人，如果每个房间住7人，则有2个房间空着.那么，参加英语夏令营的同学有几人？分析：房间数量：(18+7×2)÷(75)=16(个)，参加夏令营的人数：16×5+18=98(人).【例9】 海尔兄弟约好在动物园

29、门口见面，弟弟从家去动物园，如果每分钟走30米，就要迟到5分钟，如果每分钟走40米，可以提前2分钟到动物园，那么，海尔兄弟家到动物园的距离是几米？分析：迟到5分钟相当于少走了：30×5=150(米)，提前2分钟到相当于多走了：40 ×2=80(米)，所以，如果不迟到也不早到，弟弟走的时间为：(150+80)÷(40-30)= 23(分钟)，家到学校的距离为：30×(23+5)=840(米).【例10】 早晨陈奶奶去超市买菜，如果她买6千克鱼肉则还差10元如果买8千克猪肉则还剩2元已知每千克鱼肉比猪肉贵5元那么陈奶奶带了多少钱?分析：由于每千克鱼肉比猪肉贵

30、5元，6千克鱼肉应该比6千克猪肉贵：6×5=30(元)，这时，买6千克猪肉应该剩下：3010=20(元)，所以，每千克猪肉的价钱为：(202)÷(86)=9(元)，陈奶奶所带钱数：8×9+2=74(元).【例11】 百货商店委托搬运站运送100只花瓶双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元问：搬运过程中共打破了几只花瓶?分析：假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1×100=100(元)实际上只得到92元，少得100-92=8(元)搬运站每打破一只花瓶要损失1+1=2(

31、元)因此共打破花瓶8÷2=4(只)附加内容【附1】 100名学生参加数学竞赛，平均分数是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？分析：参赛女同学人数为：100×(63-60) ÷(70-60)=30(人)所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40（人）【附2】 学而思竞赛班举行歌唱比赛，五位评委打分计分时，先去掉一个最高分和一个最低分，在算出平均分作为该选手的最后得分下面是嘟嘟同学的得分：79，83，86，81，（第五个分数被盖上了），最后得分82请你算算第五位评委打多少分？ 分析：如果第五位评委的分数是

32、最高分获最低分，那么另一个去掉的分数就是79或86，剩下的3个分数的平均分不等于82，不合题意.所以第五位评委的分数是没有被去掉的，去掉的是79和86，第五位评委的分数是82×3-（83+81）=82（分）.【附3】 乐乐从家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟问：乐乐家离学校有多远? 分析：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有50×8=400(米)；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则

33、到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走(50+10)×5=300(米)所以盈亏总额，即总的路程相差400+300=700(米)两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为700-10=70(分)，也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟所以乐乐家到学校的距离为50×(2+70+8)=4000(米)【附4】 四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分

34、完时还剩5支铅笔那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔? 分析：如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(65)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×610=80(支)大显身手1. 暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录如果他在暑假的最后一天游670米，则平均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米；如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多少米？分析：（778-67

35、0）÷（498-495）=108÷3=36（天），说明小强一共游了36天.要想平均游500米的话，他最后一天应该游670+36×（500-495）=670+180=850米.2. 甲班51人，乙班49人，某次考试2个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均分比甲班高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？分析：甲、乙2班总分为81×（51+49）=8100（分），由于乙班平均分比甲班高7 分，如果甲班每人提高7分，那么2班平均分即为乙班现在的平均分（8100+7×51）÷（51+49）=84.57（分）.3. 用绳子量一口井的深度，把绳子折两

36、折来量，多50厘米；折三折来量，还差30厘米，求绳长和井深各是多少？ 分析：根据题意，（50×2+30×3）÷（3-2）=190（厘米）.（190+50）×2=480（厘米）或（190-30）×30=480（厘米）.4. 王老师带班里的学生去颐和园春游，他们租了一些船在昆明湖上划船，如果增加1条船，正好每条船坐4人，如果减少1条船，正好每条船坐6人，那么，他们总共有几人去了颐和园？分析：这道题也可以理解为：原来每条船坐4人正好，后来减少了2条船，每条船坐6人所以，租的船的数量为：6×(1+1)÷(64)=6(条)，去颐和园的

37、总人数为：6×4=24(人).成长故事永远看得起自己有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，但几个小时过去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着 最后，这位农夫决定放弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来，不过无论如何，这口井还是得填起来于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了，以免除它的痛苦 农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中当这头驴子了解到自己的处境时，刚开始哭得很凄惨但出人意料的是，一会儿之后这头驴子就安静下来了农夫好奇地探头往井底一看，出现在眼前的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部时，驴子的反应令人称奇它

38、将泥土抖落在一旁，然后站到铲进的泥土堆上面！ 就这样，驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去很快地，这只驴子便得意地上升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！第三讲 应用题综合（二）年龄问题和还原问题春季班都学习过基础的知识：年龄问题的解题要点是分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系.关键抓住“年龄差”不变.应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式解决；还原问题我们学习了用倒推法解单、多个变量的还原问题.今天我们再提高和拓展一下.来吧，我们出发！你还记得吗？1. 小明今年8岁，他与爸爸、妈妈年龄的和是81岁，多少年后他们的平均年龄是34岁？这时，小明是

39、多少岁？分析：三人的平均年龄是34岁时，三人的年龄和为：34×3=102（岁），经过的时间是：（102-81）÷3=7（年），这时小明的岁数：8+7=15（岁）2. 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？分析：今年爸爸与儿子的年龄差为“4820=28”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，他们的年龄差是儿子年龄的4倍，所以儿子的年龄是：（4820）÷（51）7（岁），由20713（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍

40、3. 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物第一天运出总数的一半少12克第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克问蚂蚁家原有食物多少克?分析：（倒推法）教师可画线段图帮助学生理解如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是43-12=3l(克)；这样，第一天运出后剩下的重31×2=62(克)那么，一半的重量是6212=50(克)，原有食物50×2=100(克) 即 (43-12)×2-12×2=100(克).4. 小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123正确的答案是多少? 分

41、析：（倒推法）把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去所以正确的和是123+50- 4=169即：123+(80-30)- (9-5)=169.暑假精讲【例1】 父亲15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄当父亲的年龄是儿子的4倍时，父亲多少岁?分析：父亲比儿子大15+12=27岁儿子是27÷(41)=9岁父亲是9×4=36岁【例2】 姐姐对妹妹说：“当我是你今年的岁数时，你才6岁”妹妹对姐姐说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将2l岁”求姐姐和妹妹今年各几岁?分析：姐姐和

42、妹妹的年龄差为(216)÷3=5(岁)妹妹今年的年龄为6+5=11(岁)姐姐今年的年龄为11+5=16(岁)【例3】 小明一家有4人：爷爷、爸爸、妈妈和小明爷爷比爸爸大26岁，妈妈比小明也大26岁已知这家人今年的年龄之和为126岁，而5年前的年龄之和为107岁，那么小明与他爷爷的年龄之差是几岁？分析：5年来，小明家的年龄之和增加了126-107=19岁这家现有4口人，而19<4×5，这说明小明还不满5岁，他今年只有19-3×5=4岁于是今年妈妈4+26=30岁，爷爷和爸爸的年龄之和为126-4-30=92岁又爷爷比爸爸大26岁，因此今年爷爷(92+26)&#

43、247;2=59岁，他比小明大59-4=55岁【例4】 达达1999年上二年级，如果把他出生年份的前两位与后两位看成两个两位数，已知第二个两位数比第一个两位数大73，求达达1999年的年龄分析：根据已知条件知，达达的出生年份的前两位数组成的两位数是19，那么，他出生年份的后两位数组成的两位数为19+73=92，因此，达达是1992年出生的由此可知，1999年时达达的年龄是7岁.【例5】 甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是64岁，甲21岁，乙17岁甲18岁时，丙的年龄是丁的3倍丁现在的年龄是多少岁?分析：（法1）当甲18岁时，乙的年龄为173=14(岁)丁现在的年龄为(641814)÷(

44、1+3)=32÷4=8(岁)（法2）甲18岁是3年前，所以4人总年龄是64-3×4=52（岁），所以丙丁年龄和为52-18-14=20（岁），丁就是20÷（1+3）=5（岁），现在的年龄是5+3=8（岁）.【例6】 一个箱子里放着乒乓球一个小朋友往外拿乒乓球，拿的规则是：每次总是拿出箱中所有乒乓球的一半然后再放回去1个按此规则拿了597次之后，箱子里还剩2个乒乓球箱子里原有乒乓球多少个？分析：前一次的一半是2-1=1（个），依次倒推，原有2个.【例7】 新天地广场运进一批新款式彩色电视机，第一天售出总数的一半多10台，第二天售出剩下的一半多20台，还剩95台这批新

45、款彩电有多少台?分析：根据题意可画出线段示意图进行倒推还原由示意图可知：95台加上20台正好是剩下的一半，所以用(95+20)×2=剩下的台数；剩下的台数加上10台，正好是总数的一半，于是可求出这批彩电的台数(95+20)×2+10×2=480（台）. 【例8】 村姑卖蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二十个蛋这篮鸡蛋有多少个?从上面线段图可以看出：最后剩下20个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的2个，就是再余下的一半，由此可求出再余下的是：(20+2)×2=44(个)44个再加上第

46、二次卖出余下的一半以外的2个就是余下的一半，因此可求出余下的是：(44+2)×2=92(个)92个再加上第一次卖出一篮的一半以外的2个就是全篮的一半，因此可求出全篮鸡蛋的个数是(92+2)×2=188(个)【例9】 A，B，C三位小朋友都有若干本图书，如果A将自己的书给B，C，使B，C的书各增加一倍i然后B又将现有的图书给A，C，使A，C现有的图书各增加一倍；最后C再将自己已有的图书给A，B，使A，B的图书各增加一倍，这时三人的图书都是240本A，B，C三位小朋友原来各有图书多少本?ABC第一次390210120第二次60420240第三次12012048024024024

47、0分析：如图：【例10】 三人存款不等，只知如果甲给乙40元，乙又给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这时三人都有240元三人原来各有存款多少元？分析：甲原有：240-20+40=260（元）；乙原有：240-70+30-40=160（元）；丙原有：240+20+70-30=300（元）.附加内容【附1】 林林1999年上四年级，他出生年份的各位数字之和是最大的一位数的3倍，问他1999年几岁？分析：他出生于1989年，1999年时他10岁.【附2】 有代号为A，B，C，D的四位小朋友共有课外读物200本为了广泛阅读，A给B 13本；B给C 18本；C给D 16本；D给A2本，这时四个人的

48、本数相等他们原来各有多少本课外读物?分析：根据已知条件知道，四个小朋友共有课外读物200本，经过互相交换之后这200本的总数没有变化，当四个人的本数相等时，每个人的本数是200÷4=50(本)，用倒推的解题方法，可从“50本”人手，把收进的减去，把给出的加上，就可得到各人原有读物的本数：A原有读物本数：50+132=61(本)；B原有读物本数：50+1813=55(本)；C原有读物本数：50+1618=48(本)；D原有读物本数：50+216=36(本)大显身手1. 小樱今年16岁，小桃今年11岁，几年后，小樱和小桃的年龄之和是45岁?分析：小樱和小桃今年年龄和为16+11=27(岁

49、)小樱和小桃经过4527=18(年) 两人的年龄之和是45岁时 这时，小樱和小红每人经过的年数都为：18÷2=9(年) 2. 已知明明今年2岁，爸爸今年28岁，那么请问11年后爸爸的年龄是小明的年龄的多少倍?分析：(28+11)÷(2+11)=39÷13=3（倍）3. 小龟问老龟：“老爷爷，您今年多少岁?”老龟说：“把我的年龄加上20，再缩小2倍之后减去15，再扩大3倍，正好是105岁你能算出我今年多少岁吗?”分析：（法1）根据题意，从最后一个条件105岁开始倒推：最后的数扩大3倍是105岁，如果没扩大3倍，应该是105÷3=35(岁)；这个35岁是减去

50、15得到的，如果没减去15，应该是35+15=50(岁)；这个50岁是缩小2倍后得到的，如果没有缩小2倍，应该是50×2=100(岁)；这个100岁是老龟的年龄加上20后得到的，那么老龟的年龄应该是80岁（法2）设老龟今年x岁依题意有(x+20)÷215×3=105解得x=804. 小红、小芳、小明三人分苹果，小红得的比总数的一半多1个，小芳得的比剩下的一半多1个，小明得8个问原来共有苹果多少个?分析：小明得8个是因为小芳得到剩下的一半多1个，如果小芳只得了剩下的一半，那么小明应得8+1=9(个)，也就是得了剩下的另一半，这样也就说明了小芳得了10个，因此可以算出

51、小红取去后剩下的是9×2=18（个）.根据同样的道理，如果小红得的是总数的一半，那么剩下的应该有18+1=19(个).那么苹果总数应该是19×2=38(个)即(8+1)×2+1×2=38(个).成长故事老鹰和火鸡有一群火鸡看着老鹰张著翅膀自由自在地在天上翱翔，十分的羡慕于是和老鹰的头头商量是否能够派一个教练来教他们飞行的方法，老鹰头头爽快的答应下来 老鹰教练很有耐心地教导火鸡张开翅膀学飞行：翅膀张开，用力地拍！火鸡们在老鹰教练的大力指导下拼命地张着翅膀、用力地拍，它们好高兴自己会飞了，虽然飞得不是很高，但是它们已经会飞了！ 太阳西下，该是下课回家的时候了

52、，老鹰教练对它们说：你们今天好棒！你们都飞得很好，你们可以飞了！太阳下山了，我也要回家了！结果呢？老鹰是飞着回家，火鸡仍然是走路回家第四讲 行程问题初步在春季班时我们已经学习了简单的行程问题相遇问题的基本类型（两人单次直线相遇），同学们，你们还记得做行程问题的基本工具是什么吗？没错，就是画“线段图”.今天我们将学习更加复杂的相遇问题.先来回顾一下相遇问题的基础知识吧！ 你还记得吗？1. 孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米小时猪八戒的速度是150千米小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距

53、离是多少千米？分析：建议教师画线段图我们可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：(200+150)×2=700(千米)，又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：700+500=1200(千米)2. 甲乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离分析：这题不同的是两车不“同时”（法1 ）求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来48×（15）288（千米），5O×525O（千米），28825O538（千米）（

54、法2 ）还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程（485O）×549O（千米），49O48538（千米）3. 甲乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？分析：240÷（240÷4+240÷6）2.4（小时）4. 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车分别往南和往北驶去，南辕先生出发2小时后北辙先生才出发，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?分析：

55、两人虽然不是相对而行，但是题目要求的仍是路程和50×2+（50+60）×5=650（千米）暑假精讲【例1】 两地相距3200米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行78米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？分析：（法1）3200-（82+78）×15 ÷（82+78）=5(分钟）； （法2） 3200 ÷（82+78）-15=5(分钟）【例2】 李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点3千米问全程长多少千米?分析：根据题意，画个草图，能帮助我们找出数

56、量关系依题意作行程草图如下： 李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了3×2=6(千米)由已知李明每小时比王亮多走1816=2(千米)，那么多少小时李明比王亮多行6千米呢?需要6÷2=3(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求出了相遇时李明比王亮多行的路程3×2=6(千米)，李明比王亮每小时多行的路程18-16=2(千米)，两人相遇时间6÷2=3(小时)，全程(18+16)×3=102(千米).【例3】 甲乙两人同时从两地相向而行甲每小时行5千米，乙每小时行4千米两人相遇时乙比甲少行3千米两

57、地相距多少千米？ 分析：两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距(5+4)×3=27千米.【例4】 两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟?分析：甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时间乙到达目标时所用时间：900÷100=9(分钟)甲9分钟走的路程：80×9=720(米)甲距目标还有：900720=180(米)

58、相遇时间：180÷7(100+80)=1(分钟)，共用时间：9+1=10(分钟).简便解：画图可知两人总共走了2个全程，所以总全程为1800，所以时间为1800÷(80+100)=10分钟【例5】 一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地相背而行甲每分钟走66米，乙每分钟走59米经过几分钟才能相遇?分析：500÷（66+59）=500÷125=4分钟.【例6】 甲乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千米甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达B、A两地后， 立即按原路原速返回两车从开始到第二次

59、相遇共用6小时求A、B两地的距离分析：甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个AB间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到B、A两地后，又共同行完一个AB间的路程当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个AB间的路程因此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行3个AB间的路程甲、乙速度和42+45=87(千米)，3个AB间路程87×6=522(千米)，A、B相距522÷3=174(千米).【例7】 阿呆和阿瓜同时从距离20千米的两地相向而行，阿呆每小时走6千米，阿瓜每小时走4千米. 阿瓜带着一只小狗，狗每小时走10千米这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候，它就掉头朝阿瓜这边走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米?分析：要求狗走的路程，由于狗在两人之间要跑多少个来回，每一次所用的时间是多少，这些量无法确知，所以不可能把每次狗与两人相遇走的路程分别求出再相加仔细分析整个过程，抓住其中不变的关系：不论狗在两人之间跑了多少个来回，狗走的路程所用的总时间等于两人相遇所用的时间所以，只要求出两人相遇所用的时间，就可以求出狗所走的路程这样，问题就转化为求志强与