实验误差与数据处理

1、内容内容:一、实验误差与数据处理的基础知识一、实验误差与数据处理的基础知识二、课程安排二、课程安排2021/2/112实验误差与数据处理实验误差与数据处理n第一节 测量及其有效数字n第二节 实验误差与不确定度n第三节 不确定度的评定n第四节 实验数据处理的基本方法2021/2/113第一节第一节 测量及其有效数字测量及其有效数字一、测量与单位一、测量与单位n测量的单位采用国际单位（测量的单位采用国际单位（SI）制）制。n测量的量值用有效数字表示。测量的量值用有效数字表示。实验误差与数据处理实验误差与数据处理测量测量:待测量与一标准量进行比较待测量与一标准量进行比较,其倍数为该量的其倍数为该量的

2、量值量值,该标准量即为测量的该标准量即为测量的单位单位 。 2021/2/114第一节第一节 测量及其有效数字测量及其有效数字二、有效数字二、有效数字1. 定义定义:由测量得到的由测量得到的数位可靠数字数位可靠数字和和最后一位可疑最后一位可疑数字数字统称为有效数字统称为有效数字n有效数字的有效数字的位数位数应应从左边第一个不为零的数字算起。从左边第一个不为零的数字算起。如如 2.0020有有5位有效数字位有效数字, 0.00021有两位有效数字有两位有效数字。n有效数字的位数愈多有效数字的位数愈多,测量的精确度愈高测量的精确度愈高实验误差与数据处理实验误差与数据处理用米尺测得用米尺测得:4.2

3、3cm 估读值估读值可疑数字可疑数字2021/2/115二、有效数字二、有效数字实验误差与数据处理实验误差与数据处理有效数字有效数字2. 注意注意:1. 定义：由测量得到的定义：由测量得到的数位可靠数字数位可靠数字和和最后一位可疑最后一位可疑数字数字统称为有效数字统称为有效数字n有效数字的有效数字的位数位数应应从左边第一个不为零的数字算起。从左边第一个不为零的数字算起。如如 2.0020有有5位有效数字，位有效数字， 0.00021有两位有效数字有两位有效数字。n有效数字的位数愈多，测量的精确度愈高有效数字的位数愈多，测量的精确度愈高n最小刻度以下的估读位最小刻度以下的估读位 （1）仪器读数有

4、效位数的确定仪器读数有效位数的确定2021/2/116二、有效数字二、有效数字实验误差与数据处理实验误差与数据处理有效数字有效数字2. 注意注意:（1）仪器读数有效位数的确定仪器读数有效位数的确定n最小刻度以下的估读位最小刻度以下的估读位 0 1 2 3 4 5 cm3.63 (cm), 0.0363 (m)n游标最小读数属于估读游标最小读数属于估读,最小刻度值所在最小刻度值所在位位 0 1 2 3 4 5 cm2.19 (cm), 0.0219 (m)（2）有效位数的舍入规则有效位数的舍入规则 12.405 12.40,1.535 1.54 特别注意特别注意: 2021/2/117二、有效数

5、字二、有效数字实验误差与数据处理实验误差与数据处理有效数字有效数字2. 注意：注意：（1）仪器读数有效位数的确定仪器读数有效位数的确定n最小刻度以下的估读位最小刻度以下的估读位 0 1 2 3 4 5 cm3.63 (cm), 0.0363 (m)n游标不估读，最小刻度值所在位游标不估读，最小刻度值所在位 0 1 2 3 4 5 cm2.19 (cm), 0.0219 (m)（2）有效位数的舍入规则有效位数的舍入规则 12.405 12.40,1.535 1.54 特别注意特别注意: 2021/2/118二、有效数字二、有效数字实验误差与数据处理实验误差与数据处理有效数字有效数字0 1 2 3

6、 4 5 cm2.19 (cm), 0.0219 (m)（2）有效位数的舍入规则有效位数的舍入规则 12.405 12.40，1.535 1.54 特别注意：特别注意： 运算规则运算规则:3. 有效数字的运算有效数字的运算2021/2/119实验误差与数据处理实验误差与数据处理有效数字有效数字运算规则运算规则:n可靠数字与可靠数字运算可靠数字与可靠数字运算,结果仍为可靠结果仍为可靠数字数字;n可靠数字与可疑数字或可疑数字与可疑可靠数字与可疑数字或可疑数字与可疑数字进行运算数字进行运算,结果为可疑数字结果为可疑数字;n为避免舍、入误差的积累，建议中间结为避免舍、入误差的积累，建议中间结果应多保留

7、果应多保留1位可疑数字。位可疑数字。二、有效数字二、有效数字3. 有效数字的运算有效数字的运算了了解解基本运算规律基本运算规律 （1）加减法）加减法97.6.231034838.626.3.9222264.27有效数字相加减时有效数字相加减时,所得结果中所得结果中可疑数字的位置与所有参与运算的各可疑数字的位置与所有参与运算的各个个上述计算结果分别为上述计算结果分别为103.6 ,22.3。 掌握掌握实验误差与数据处理实验误差与数据处理有效数字有效数字（2）乘除）乘除法法 有效数字相乘（或相除）有效数字相乘（或相除）,结果的有结果的有效位数与参与运算的各有效数字中效位数与参与运算的各有效数字中,

8、上式结果取上式结果取22 （本法（本法与实际有一定偏差）。与实际有一定偏差）。 1 3. 6 1. 68 1 6 1 3 6 2 1. 7 6 2 3. 6 6. 12 3 6 1 4 1 6 1 4 3.9 6 掌握掌握实验误差与数据处理实验误差与数据处理有效数字有效数字（3）函数运算函数运算:乘方、开方、三角函数、自然对数等函数的有效位数乘方、开方、三角函数、自然对数等函数的有效位数与自变量的有效位数相同。与自变量的有效位数相同。（角度为（角度为60进制进制,206应视为应视为2006,有四位有效数字）有四位有效数字）（4）混合运算混合运算:按各步骤对应的运算方法逐步进行。按各步骤对应的运

9、算方法逐步进行。 掌握掌握实验误差与数据处理实验误差与数据处理有效数字有效数字72(11.3 -10.5 ) 271571.30.827=15571.3=212021/2/1113第一节第一节 测量及其有效数字测量及其有效数字三、测量的分类三、测量的分类实验误差与数据处理实验误差与数据处理测量可分为测量可分为:直接测量直接测量用仪器能直接得到测量结果的测量用仪器能直接得到测量结果的测量间接测量间接测量通过函数关系得到测量结果的测量通过函数关系得到测量结果的测量如用米尺测长度如用米尺测长度,用秒表测时间就是直接测量。用秒表测时间就是直接测量。而用单摆法测量重力加速度时而用单摆法测量重力加速度时,

10、通过测长度、时间得通过测长度、时间得为间接测量为间接测量224LgT2021/2/1114第二节 实验误差与不确定度一、实验误差（测量误差）的概念一、实验误差（测量误差）的概念1.测量总是伴随着误差测量总是伴随着误差实验误差与数据处理实验误差与数据处理实验误差是实验结果与被测量的真值之间的差值实验误差是实验结果与被测量的真值之间的差值.任何测量都受环境条件、实验的方法、仪器的精度、实任何测量都受环境条件、实验的方法、仪器的精度、实验者的素质等因素的限制验者的素质等因素的限制,使测量不可能无限精确。使测量不可能无限精确。用用螺旋测微计螺旋测微计测测量小球直径三次量小球直径三次:3.160mm3.

11、163mm3.159mmRAVK用用伏安法伏安法测量电阻测量电阻电流表内阻影响结果电流表内阻影响结果例如例如:2021/2/1115一、实验误差的概念一、实验误差的概念2.实验（测量）误差分类实验（测量）误差分类说明说明:1.比较测量准确度时比较测量准确度时,不仅看绝对误差不仅看绝对误差,更重要的是更重要的是相对误差。相对误差。2.在实验中在实验中, x0是测量的目标是测量的目标, x0和这两项误差难以和这两项误差难以获得。为更科学地描述实验结果获得。为更科学地描述实验结果,我们将采用不我们将采用不确定度反映误差。确定度反映误差。（有一定可靠程度的真值范围）（有一定可靠程度的真值范围）绝对误差

12、绝对误差相对误差相对误差0100%xrE =x0=-xx x第二节 实验误差与不确定度实验误差实验误差与数据处理与数据处理x测量值测量值 x0真值真值2021/2/1116一、实验误差的概念一、实验误差的概念二、实验误差分析二、实验误差分析实验误差产生的原因主要有以下几个方面实验误差产生的原因主要有以下几个方面:1.测量仪器测量仪器2.测量方法测量方法3.实验者实验者4.测量环境测量环境第二节 实验误差与不确定度实验误差实验误差与数据处理与数据处理2021/2/1117一、实验误差的概念一、实验误差的概念二、实验误差分析二、实验误差分析任何的实验结果都存在一定的不确定性任何的实验结果都存在一定

13、的不确定性,为表征测量结为表征测量结果的不确定程度果的不确定程度,引入不确定度的概念。引入不确定度的概念。1.不确定度不确定度不确定度是表征被测量真值在某个量值范围的一个评定不确定度是表征被测量真值在某个量值范围的一个评定不确定度的估计值用不确定度的估计值用“标准偏差标准偏差”表示表示,记为记为u,则则测量结果测量结果xu三、不确定度三、不确定度表明被测量的真值包含在表明被测量的真值包含在 (x+ +u, x- -u ) 范围内的概率为范围内的概率为0.683第二节 实验误差与不确定度实验误差实验误差与数据处理与数据处理2021/2/1118相对不确定度相对不确定度100%ruU =x2.置信

14、概率（略）置信概率（略）测量结果测量结果xu表明被测量的真值包含在表明被测量的真值包含在 (x+ +u, x- -u ) 范围内的概率为范围内的概率为0.6831.不确定度不确定度不确定度是表征被测量真值在某个量值范围的一个评定不确定度是表征被测量真值在某个量值范围的一个评定不确定度的估计值用不确定度的估计值用“标准偏差标准偏差”表示，记为表示，记为u，则，则即测量值的可信程度即测量值的可信程度,相应地相应地(x+ +u, x- -u ) 为置信区间。为置信区间。第二节 实验误差与不确定度实验误差实验误差与数据处理与数据处理2021/2/1119测量结果测量结果xu相对不确定度相对不确定度10

15、0%ruU =x2.置信概率（略）置信概率（略）即测量值的可信程度即测量值的可信程度,相应地相应地(x+ +u, x- -u ) 为置信区间。为置信区间。用标准不确定度表示测量结果时用标准不确定度表示测量结果时,其置信概率为其置信概率为0.683。若取其它的置信概率若取其它的置信概率,则必须用扩展不确定度则必须用扩展不确定度 。（略）。（略）第二节 实验误差与不确定度实验误差实验误差与数据处理与数据处理约定约定:实验结果用标准不确定度表示实验结果用标准不确定度表示,2021/2/1120测量结果的不确定度一般包含若干个分量测量结果的不确定度一般包含若干个分量,按其数值评按其数值评定方法定方法,

16、这些分量可归为两类这些分量可归为两类:（1）A类评定不确定度类评定不确定度 由测量列的统计分析评定由测量列的统计分析评定的不确定度的不确定度,也称为统计不确定度也称为统计不确定度uA。（2）B类评定不确定度类评定不确定度 由非统计分析评定的不确由非统计分析评定的不确定度定度,也称为非统计不确定度也称为非统计不确定度uB。测量结果的总不确定度测量结果的总不确定度（本学期不用）（本学期不用）22ABuuu 实验误差实验误差与数据处理与数据处理第二节 实验误差与不确定度3. 不确定度的两类分量不确定度的两类分量2021/2/1121第三节 不确定度的评定实验误差与数据处理实验误差与数据处理一、一、直

17、接测量直接测量的不确定度估算的不确定度估算算术平均值算术平均值niinxnxxxnx1211)(1是测量结果的是测量结果的最佳估计值。最佳估计值。1A类不确定度类不确定度uA的估算的估算是各测量值的算术平均值的标准偏差是各测量值的算术平均值的标准偏差,用用uA表示表示211( )()(1)nAiiuxxxn nP11式式1-72021/2/1122第三节 不确定度的评定1A类不确定度类不确定度uA的估算的估算是各测量值的算术平均值的标准偏差，用是各测量值的算术平均值的标准偏差，用uA表示表示211( )()(1)nAiiuxxxn n实验误差与实验误差与数据处理数据处理2B类不确定度类不确定度

18、uB的估算的估算注注2：式中：式中 是考虑大部分仪器是考虑大部分仪器不确定度的概率分布为均匀分布不确定度的概率分布为均匀分布 3本学期对本学期对B类不确定度的评定采用简化处理方法类不确定度的评定采用简化处理方法:应用仪器应用仪器的极限误差来估算的极限误差来估算,即即( )3Bux仪注注1 1: : 仪仪的确定见第二章中的确定见第二章中“常用仪器的仪器误差常用仪器的仪器误差”（P25）P11式式1-7P11式式1-82021/2/1123第三节 不确定度的评定实验误差与实验误差与数据处理数据处理2B类不确定度类不确定度uB的估算的估算本学期对本学期对B类不确定度的评定采用简化处理方法类不确定度的

19、评定采用简化处理方法:应用应用仪器仪器的极限误差的极限误差来估算来估算,即即( )3Bux仪3单次测量的不确定度估算单次测量的不确定度估算 单次测量的不确定度只能由单次测量的不确定度只能由B类评定的若干分量来合成。此外类评定的若干分量来合成。此外,还要考还要考虑由估读引起的不确定度分量。虑由估读引起的不确定度分量。简化处理简化处理:应用应用仪器的极限误差仪器的极限误差来估算来估算注注2：式中：式中 是考虑大部分仪器是考虑大部分仪器不确定度的概率分布为均匀分布不确定度的概率分布为均匀分布 3注注1 1: : 仪仪的确定见第二章中的确定见第二章中“常用仪器的仪器误差常用仪器的仪器误差”（P29）P

20、11式式1-82021/2/1124第三节 不确定度的评定实验误差与实验误差与数据处理数据处理4标准不确定度的合成（略标准不确定度的合成（略 本学期不用）本学期不用）直接测量的不确定度估算小结直接测量的不确定度估算小结:1A类不确定度类不确定度uA211( )()(1)nAiiuxxxn n2B类不确定度类不确定度uB的估算的估算( )3Bux仪简化处理简化处理多次测量多次测量单次测量单次测量实验误差与数据处理实验误差与数据处理不确定度的评定不确定度的评定 二、间接测量的不确定度估算二、间接测量的不确定度估算间接测量间接测量: 先直接测出与待测量相关的物理量先直接测出与待测量相关的物理量,然后

21、然后 由待由待测量与这些相关量之间的数学关系得出测量结果的测量。测量与这些相关量之间的数学关系得出测量结果的测量。 设设直接测量直接测量量量为为 x1,x2,，xn，被测量被测量 y 与直接测与直接测量量（相关量）之间的关系为量量（相关量）之间的关系为 y = f (x1，x2，xn)zyxV如长方体体积如长方体体积V: 显然显然, x、y、z 为为直接测量量直接测量量, V 由计算得到为由计算得到为间接测间接测量量量量。2021/2/112612( . )nyfxxx， ， ，n 间接测量量间接测量量 y 的平均值的平均值各各直接测量量进行多次测量直接测量量进行多次测量,得到各自平均值、不确

22、定度得到各自平均值、不确定度1122 () () ()nnxu xxu xxu x，、，、，实验误差与数据处理实验误差与数据处理不确定度的评定不确定度的评定n 间接测量量间接测量量 y 的不确定度的不确定度用用计算计算有两种形式有两种形式y = f (x1,x2,，xn)2222221212( )()().()nnfffu yuxuxuxxxx不确定度传递公式（不确定度传递公式（P12 1-13 1-14）例：函数例：函数 的不确定度传递关系的不确定度传递关系21232y x xx 222222211233( )()()()()(4)()u yxuxxuxxux1yx实验误差与数据处理实验误差

23、与数据处理不确定度的评定不确定度的评定解解:2yx2x3yx1x34x所以所以y = f (x1,x2,，xn).)(ryyuUP12 式式1-13=传递公式的传递公式的形式形式例：函数例：函数 的不确定度传递关系的不确定度传递关系212KLLL（ ）实验误差与数据处理实验误差与数据处理不确定度的评定不确定度的评定解（略）解（略）y = f (x1,x2,，xn)2222221212( )lnlnln=( )()()rnnu yfffUuxuxuxyxxxP12 式式1-142222122221()( )()( )=ruLLuuKuLUKL - LL（）.)(yUyur=实验误差与数据处理实验

24、误差与数据处理不确定度的评定不确定度的评定不确定度传递公式的不确定度传递公式的形式形式2222221212( )()().()nnfffu yuxuxuxxxx2222221212( )lnlnln=( )( )( )rnnu yfffUu xu xu xyxxx只用一个即可得出另一个只用一个即可得出另一个适用于适用于加减加减关关系的函数式系的函数式适用于适用于乘除乘除关关系的函数式系的函数式说明说明:（1）根据函数关系类型选择）根据函数关系类型选择（2）查表（查表（P.12表表1-1) )可可得常用函数的不确定度传递关系得常用函数的不确定度传递关系实验误差与数据处理实验误差与数据处理不确定度

25、的评定不确定度的评定 三、测量结果的最终表述三、测量结果的最终表述( )xxu x( )100%ru xUx（1）不确定度的第一位数字为不确定度的第一位数字为1或或2时取两位时取两位,其余可取一位其余可取一位或两位或两位,相对不确定度一律取二位。相对不确定度一律取二位。其测量值与不确定度按下列规范表述其测量值与不确定度按下列规范表述:（2）不确定度的尾数截去时不确定度的尾数截去时,对其尾数一律对其尾数一律“只进不舍只进不舍”,如，如，算得不确定度为算得不确定度为0.02432，截取两位尾数后为，截取两位尾数后为0.025。（3） 的末位与的末位与u(x) 末位取齐，尾数按末位取齐，尾数按“4舍

26、舍6入入5凑偶凑偶” 取舍。取舍。x0.03226.235( )0.0320.0012226.235rxu xU26.240.04()0.12%rxU单位例例直接测量结果的数据处理直接测量结果的数据处理举例举例例例1 用天平称一物体的质量用天平称一物体的质量m进行了进行了5次次,数据如下数据如下:测量次数测量次数12345mi（g）187.92187.24187.55187.19187.31偏偏 差差0.48-0.200.11-0.15-0.13数据处理数据处理:算术平均值算术平均值:5=11=187.44 (g)5iimmA类不确定度类不确定度:2A11()() =0.124(g)(1)ni

27、iummmn n相对不确定度相对不确定度:-30.124=0.6615 10187.44rU 直接测量结果的数据处理直接测量结果的数据处理举例举例例例1 用天平称一物体的质量用天平称一物体的质量m进行了进行了5次次,数据如下数据如下:测量次数测量次数12345mi（g）187.92187.24187.55187.19187.31偏偏 差差0.48-0.200.11-0.15-0.13数据处理数据处理:算术平均值算术平均值:5=11=187.44 (g)5iimmA类不确定度类不确定度:2A11()() =0.124(g)(1)niiummmn n测量结果测量结果:=187.440.13 (g)

28、m=0.066%rU相对不确定度相对不确定度:-30.124=0.6615 10187.44rU 间接测量结果的数据处理间接测量结果的数据处理举例举例例例2 用流体静力称衡法测量固体的密度用流体静力称衡法测量固体的密度测量次数测量次数12345m1（g）27.1027.1227.0727.0627.05m2（g）17.0517.1017.0117.1117.08数据处理数据处理:一、计算各直测量的算术平均值和标准差一、计算各直测量的算术平均值和标准差11=27.086 (g) ()=0.02 (g)m u m1012m=m -m其中其中 0=1.000103kg/m3,实验数据如下实验数据如下

29、:22=17.070 (g) ()=0.02 (g)m u m二、计算结果的平均值二、计算结果的平均值331012=2.704 10 (kg/m )m=m -m间测量结果的数据处理间测量结果的数据处理举例举例三、导出不确定度传递关系三、导出不确定度传递关系1012lnln+ln-ln()=mm -m求微分求微分,得传递系数得传递系数:21112112ln11=-=-mmmm mm m m（）1012m=m -m数据处理数据处理:一、计算各直测量的算术平均值和标准差一、计算各直测量的算术平均值和标准差11=27.086 (g) ()=0.02 (g)m u m22=17.070 (g) ()=0

30、.02 (g)m u m二、计算结果的平均值二、计算结果的平均值331012=2.704 10 (kg/m )m=m -m间测量结果的数据处理间测量结果的数据处理举例举例三、导出不确定度传递关系三、导出不确定度传递关系1012lnln+ln-ln()=mm -m求微分求微分,得传递系数得传递系数:21112112ln11=-=-mmmm mm m m（）212ln1=-mm m0ln=0由传递公式得由传递公式得2222221212( )lnlnln()()()nnu yfffuxuxuxyxxx1012m=m -m间测量结果的数据处理间测量结果的数据处理举例举例21112112ln11=-=-

31、mmmm mm m m（）212ln1=-mm m0ln=0由传递公式得由传递公式得2222221212( )lnlnln()()()nnu yfffuxuxuxyxxx222221211212( )1()()()muumumm mmmm间测量结果的数据处理间测量结果的数据处理举例举例代入数据代入数据,得相对不确定度得相对不确定度( )=0.0024ruU及及33( )=0.0065 10 (kg/m )ruU四、正确表示结果四、正确表示结果 （ ） 33=2.710 10 (kg/m )=0.24%rU33=(2.7100.007) 10 (kg/m )222221211212( )1()(

32、)()muumumm mmmm实验误差与数据处理实验误差与数据处理不确定度的估算不确定度的估算四、实验数据处理的一般程序四、实验数据处理的一般程序测量、记录数据测量、记录数据1111niixxn2A11111()()(1)niiuxxxn n2A2 () xux，12 y = f xx （ ，）22221212( )( )( ) .ffu yu xu xxx正确表示结果正确表示结果直接测量直接测量多次测量多次测量单次测量或单次测量或uA(x)较较小小3=仪估算估算uB(x)规范规范形式形式各个各个x , u(x)下周开始按课表做分组实验下周开始按课表做分组实验p 实验顺序采用循环方式实验顺序采

33、用循环方式实验室循环顺序图实验室循环顺序图n各大组做二周实验后转到下一个实验室各大组做二周实验后转到下一个实验室,具体安排见课表具体安排见课表n每组按学号均分为每组按学号均分为a、b小组小组,a组做第组做第1个实验，个实验，b组做第组做第2个个实验，第二周轮换。实验，第二周轮换。1室室1102室室1084室室4163室室2105室室4202021/2/1141实 验 内容实验室位置（理化楼）实验实验15 15 万用表的使用万用表的使用 (a)物理实验室（物理实验室（4）（416416四层西）四层西）实验实验16-1 16-1 惠斯通电桥的原理与使用惠斯通电桥的原理与使用实验实验10 10 用落

34、球法测定液体的黏滞系数用落球法测定液体的黏滞系数物理实验室（物理实验室（5）（420420四层西）四层西）实验实验11-1 11-1 拉脱法测定水的液体表面张力拉脱法测定水的液体表面张力实验实验20 20 示波器的使用（练习）示波器的使用（练习）物理实验室（物理实验室（1）（110110一层东）一层东）实验实验20 20 示波器的使用（测量）示波器的使用（测量）实验实验24 24 光的等厚干涉现象与应用光的等厚干涉现象与应用 物理实验室（物理实验室（2）（108108一层东）一层东）实验实验27 27 用旋光仪测定有机溶液的浓度用旋光仪测定有机溶液的浓度 实验实验22-1 用分光计测量棱镜的折射率用分光计测量棱镜的折射率 实验实验25 光栅及其光栅及其应用应用 物理实验室（物理实验室（3）（210210二层东）二层东）通通 知知各班学习委员各班学习委员:1、周、周6下午下午4点到理化楼点到理化楼110（物理实验室（物