抛物线压轴题答案.doc

1、综合题答案1.如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、 y轴于A、 B 两点（ OA OB）且OA、 OB 的长分别是一元二次方程的两个根，点C 在 x 轴负半轴上，且AB：AC=1：2（ 1）求 A、 C两点的坐标；（ 2）若点 M 从 C点出发，以每秒1 个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设 ABM 的面积为S，点 M 的运动时间为 t，写出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（ 3）点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 A、 B、 P、 Q 为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由1 答案：2.如图，

2、二次函数 y=ax2+x+c 的图象与 x 轴交于点 A、 B 两点，且 A 点坐标为（ -2， 0），与 y 轴交于点 C（0 ，3）（ 1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B 的坐标为 _；（ 3）在 x 轴是否存在一点P，使 ACP是等腰三角形若存在，求出满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由；（ 4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大若存在，请求出Q 点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由解答 ：解：（ 1） y=ax2 +x+c 的图象经过A（ -2，0）， C（ 0， 3）， c=3， a=- ，所求解析式为：y=-x2+x+3；（

3、 2）（ 6， 0）；（ 3）在 RtAOC中， AO=2，OC=3，AC=，当 P111，0）；A=AC 时（ P在 x 轴的负半轴） ， P （ -2-当 P2A=AC 时（ P2 在 x 轴的正半轴） ， P2（-2， 0）；当 P33在 x 轴的正半轴）， P3（ 2， 0）；C=AC时（ P当 P444在 x 轴的正半轴），C=PA 时（P在 Rt P4OC 中，设 P4O=x，则（ x+2） 2=x2+32解得： x=，P4（，0）；（ 4）解：如图，设Q 点坐标为（ x， y），因为点Q 在 y=- x2+x+3 上，即： Q 点坐标为（ x， - x2+x+3），连接 OQ，

4、S四边形 ABQC=S AOC+S OQC+S OBQ=3+x+3（ - x2+x+3）=- x2+ x+12， a 0， S 四边形 ABQC最大值 =， Q 点坐标为（ 3，）。3.如图（ 1），抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，）图（ 2）、图（ 3）为解答备用图（ 1），点A 的坐标为，点B 的坐标为；（ 2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC 的面积；（ 3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 4）在抛物线上求点Q，使 BCQ是以BC为直角边的直角三角形解答 ：解：（ 1

5、），A（-1， 0），B（3，0）（ 2）如图（ 1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结 OM则 AOC的面积 =， MOC 的面积 =， MOB 的面积 =6， 四边形 ABMC 的面积=AOC 的面积 +MOC 的面积 + MOB 的面积 =9说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和（ 3）如图（ 2），设 D（m，），连结 OD则 0m3，0且 AOC的面积 =， DOC的面积 =， DOB的面积 =-（）， 四边形 ABDC的面积 =AOC的面积 +DOC的面积 + DOB的面积= 存在点 D，使四边形ABDC的面

6、积最大为（ 4）有两种情况：如图（ 3），过点 B 作 BQ1 BC，交抛物线于点Q1、交 y 轴于点 E，连接 Q1C CBO=45°， EBO=45°， BO=OE=3 点 E 的坐标为（ 0， 3） 直线 BE的解析式为由解得 点 Q1 的坐标为（ -2，5）如图 14（4），过点 C 作 CFCB，交抛物线于点Q2、交 x 轴于点 F，连接 BQ2 CBO=45°， CFB=45°，OF=OC=3 点 F 的坐标为（ -3，0） 直线 CF的解析式为由解得点 Q2的坐标为（ 1， -4）综上，在抛物线上存在点 Q1212是以 BC为直角边的直角三

7、角形（-2，5）、 Q（1， -4），使 BCQ、 BCQ说明：如图 14（ 4），点 Q2 即抛物线顶点M ，直接证明 BCM 为直角三角形4.如图 1，在 ABC中， AB=BC， P 为 AB 边上一点，连接 CP，以 PA、 PC为邻边作 APCD， AC与 PD相交于点 E，已知 ABC= AEP=（ 0° 90°）（ 1）求证： EAP= EPA；（ 2） APCD是否为矩形请说明理由；（ 3）如图 2， F 为 BC中点，连接 FP，将 AEP绕点 E顺时针旋转适当的角度，得到 MEN（点 M、 N 分别是 MEN 的两边与 BA、 FP延长线的交点） 猜想线

8、段 EM 与 EN 之间的数量关系，并证明你的结论考点 ：旋转的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定。专题 ：证明题；探究型。分析：（ 1）根据 AB=BC可证 CAB= ACB，则在 ABC与 AEP中，有两个角对应相等，根据三角形内角和定理，即可证得；（ 2）由（ 1）知 EPA= EAP，则 AC=DP，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求证；（ 3）可以证明 EAM EPN，从而得到 EM=EN解答 ：（ 1）证明：在ABC 和 AEP中， ABC= AEP， BAC= EAP， ACB= APE，在 ABC中， AB=BC， ACB= BAC， E

9、PA= EAP（ 2）解： APCD是矩形理由如下：四边形 APCD是平行四边形， AC=2EA， PD=2EP，由（ 1）知 EPA=EAP， EA=EP，则 AC=PD， APCD是矩形（ 3）解： EM=EN证明： EA=EP， EPA=90°， EAM=180° EPA=180°（ 90°）=90°+ ，由（ 2）知 CPB=90°，F 是 BC 的中点， FP=FB， FPB= ABC=， EPN= EPA+ APN= EPA+ FPB=90°+=90°+， EAM= EPN， AEP绕点 E 顺时针旋转

10、适当的角度，得到MEN， AEP= MEN， AEP AEN= MEN AEN，即 MEA= NEP，在 EAM 和 EPN 中， EAM EPN（ AAS）， EM=EN点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质，以及矩形的判定方法，在旋转中找到题目中存在的相等的线段以及相等的角是解决本题的关键5.提出问题： 如图 ，在正方形 ABCD中，点 P，F 分别在边 BC、AB 上，若 AP DF 于点 H，则 AP=DF类比探究：（ 1）如图 ，在正方形 ABCD中，点 P、F、 G 分别在边 BC、 AB、 AD 上，若 GP DF 于点 H，探究线段 GP 与 DF 的数量关系，并说明理由；（

11、2）如图 ，在正方形 ABCD中，点 P、 F、G 分别在边 BC、 AB、AD 上， GP DF 于点 H，将线段 PG绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PE，连结 EF，若四边形 DFEP为菱形，探究 DG 和 PC的数量关系，并说明理由【分析】（ 1）如答图1，过点 A 作 AM DF 交 BC于点 M 通过证明 BAM ADF 得到其对应边相等：AM=DF，则又由平行四边形的性质推知AM=GP，则GP=DF；（ 2）如答图2，过点 P 作FNAD 与点N根据菱形的性质、等腰三角形的“三线合一 ”的性质推知DG=2DN，然后结合矩形 DNPC的性质得到：DG=2PC【解答】

12、解：（ 1） GP=DF理由如下：如答图 1，过点 A 作 AM DF 交 BC于点 M四边形ABCD是正方形， AD=AB， B90°， BAM= ADF，在 BAM 与 ADF 中， BAM ADF（ASA）， AM=DF又四边形AMPG 为平行四边形， AM=GP，即 GP=DF；（ 2） DG=2PC理由如下：如答图 2，过点 P 作 FN AD 与点 N若四边形DFEP为菱形，则DP=DF， DP=DF， DP=GP，即 DG=2DN四边形 DNPC为矩形， PC=DN， DG=2PC6.如图，抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3， 0)两点，（

13、 1）求该抛物线的解析式；（ 2）设（ 1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 QAC 的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（ 3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 PBC的面积最大，若存在，求出点 P 的坐标及 PBC的面积最大值 .若没有，请说明理由 .1bb2解答 ： (1) 将 A(1， 0)， B( 3， 0)代 yx2 bx c 中得c 093bc0c3抛物线解析式为：yx22x 3(2)存在。 理由如下：由题知A、 B 两点关于抛物线的对称轴x1对称直线 BC 与 x1 的交点即为 Q 点， 此时 AQ

14、C周长最小 yx22x3 C 的坐标为： (0，3)直线 BC解析式为： y x 3Q 点坐标即为x1的解yx3x1 Q( 1， 2)y 2（ 3）答：存在。理由如下：设 P 点 (x， x22x3)( 3x 0) S BPCS四边形 BPCOS BOCS四边形 BPCO9 若 S四边形 BPCO 有最大值，2则 S BPC 就最大， S四边形 BPCO SRt BPES直角梯形 PEOC1BE PE1 OE(PE OC)22 1(x 3)( x22x3)1(x)(x22x3 3)3( x3)2927222228当 x3时， S四边形 BPCO最大值 927S BPC最大 9279272282

15、828当 x3时， x22x 315点 P坐标为 (3，15)2424yPyCCQBABAOxE Ox(2)(3)7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2 2mx+m2 9（ 1）求证：无论 m 为何值，该抛物线与 x 轴总有两个交点；（ 2）该抛物线与 x 轴交于 A， B 两点，点 A 在点 B 的左侧，且 OA OB，与 y 轴的交点坐标为（ 0， 5），求此抛物线的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下，抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 N，若点 M 是线段 AN 上的任意一点，过点M 作直线 MC x 轴，交抛物线于点C，记点 C 关于抛物线对称轴的对称点为D，点 P 是线

16、段 MC 上一点，且满足MP= MC，连结 CD， PD，作 PE PD 交 x 轴于点 E，问是否存在这样的点E，使得 PE=PD若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由解答 ：解：（ 1）令 y=0，则 x2 2mx+m2 9=0， =（ 2m）2 4m 2+360，无论 m 为何值时方程x2 2mx+m2 9=0 总有两个不相等的实数根，抛物线y=x2 2mx+m 2 9 的开口向上，顶点在x 轴的下方，该抛物线与x 轴总有两个交点（ 2）抛物线 y=x2 2mx+m2 9 与 y 轴交点坐标为（ 0， 5）， 5=m2 9解得： m=±2当 m= 2，y=0 时， x

17、2+4x5=0 解得： x1= 5， x2=1，抛物线 y=x2 2mx+m 2 9 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧，且 OAOB）， m= 2 不符合题意，舍去m=2抛物线的解析式为y=x2 4x5；（ 3）如图 2，假设 E 点存在， MC EM， CD MC， EMP= PCD=90° MEP+ MPE=90° PE PD， EPD=90°， MPE+ DPC=90°。 MEP= CPD在 EMP 和 PCD中，21 题答图， EPM PDC（ AAS） PM=DC， EM=PC设 C（ x0， y0），则 D（ 4 x0，

18、 y0），P（x0，y0） 2x0 4= y0点 C 在抛物线y=x2 4x 5 上； y0 x02 4x05 2x0 4=（ x02 4x0 5）解得： x01=1，x02=11（舍去）， P（ 1， 2） PC=6 ME=PC=6 E（ 7，0）8. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直线 y=x+3交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A、 B 两点的抛物线y=-x2 +bx+c交 x 轴于另一点 C，点 D 是抛物线的顶点（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一点， （不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，交

19、直线 AB 于点 F，作 PG AB于点 G求出 PFG的周长最大值；（ 3）在抛物线 y=ax2 +bx+c上是否存在除点 D 以外的点 M ，使得 ABM 与 ABD 的面积相等若存在，请求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解答 ：（ 1）直线 AB： yx3 与坐标轴交于A（ -3,0）、 B（ 0,3）代入抛物线解析式yx2bxc中09 3bc b23cc3抛物线解析式为：yx 22x 34 分（ 2）由题意可知 PFG是等腰直角三角形，设 P（ m, m 22m3) F ( m, m 3) PFm 22m 3 m 3m 23mPFG周长为： -m232 (m23m)m=(21

20、)(m3 ) 29(21)42 PFG周长的最大值为：9（ 21）8分4（ 3）点 M 有三个位置，如图所示的M1、 M 2、 M3，都能使 ABM 的面积等于 ABD 的面积 .此时 DM1 AB， M3M2 AB，且与 AB距离相等 D（ -1，4），则 E（ -1,2）、则 N（ -1,0） yx3 中， k=1直线 DM 1解析式为： y x 5直线 M 3M 2解析式为：y x19 分 x5x 22x3 或 x 1x 22 x 3 x 11, x 22, x 3317, x 431722 M1(2,3) 、 10分M 2 (3171172,2) 11分M 3 (317 ,117 )1

21、2分229 ABC 是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B、 C 重合）， ADE 是以AD 为边的等边三角形，过点E 作 BC 的平行线，分别交射线（ 1）如图（ a）所示，当点D 在线段 BC 上时AB、AC 于点F、G，连接BE 求证： AEB ADC ；探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形并说明理由；（ 2）如图（ b）所示，当点D 在 BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立（ 3）在（ 2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形并说明理由AAEFGBDCBDC图（ a）解答 （ 1）证明： ABC 和 ADE 都是等边三角形

22、，FGEAE AD，ABAC， EADBAC60°·1 分图（ b）A又EABEADBAD ，DACBACBAD ，EABDAC ， AEB ADC ·3 分法一：由得 AEB ADC ，EFGABEC60°C又BACC60°BD，ABEBAC ，图（ a） EBGC·5 分第25题图又 EGBC，四边形 BCGE 是平行四边形·6 分法二：证出 AEG ADB ，得EG ABBC ·5 分由得 AEB ADC 得 BE CG四边形 BCGE 是平行四边形·6 分（ 2）都成立·8 分（ 3）当

23、 CD CB（ BD2CD 或CD1BD或或或ADC）时，四边形BCGE2CAD 30°BAD90°30°是菱形·9分A理由：法一：由得 AEB ADC ， BECD·10分又 CDCB ，BCD BECB ·11分由得四边形 BCGE 是平行四边形，FEG四边形 BCGE 是菱形·12分图（ b）法二：由得 AEB ADC ，第 25题图 BECD ·9 分又四边形 BCGE 是菱形， BECB·11 分 CDCB ·12 分法三：四边形BCGE 是平行四边形， BECG，EG BC ，FBE

24、BAC 60°， FABC 60°·9分FFBE 60°， BEF 是等边三角形·10分又 ABBC ，四边形 BCGE 是菱形， AB BE BF， AE FG·11 分 EAG 30°， EAD 60°， CAD 30°10如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 y=x2+2x 与 x 轴相交于 O、 B，顶点为 A，连接 OA（ 1）求点 A 的坐标和 AOB 的度数；（ 2）若将抛物线 y= x2+2x 向右平移 4 个单位， 再向下平移2 个单位， 得到抛物线 m，其顶点为点 C连接

25、 OC和 AC，把 AOC沿 OA 翻折得到四边形ACOC试判断其形状，并说明理由；（ 3）在（ 2）的情况下，判断点C是否在抛物线y= x2+2x 上，请说明理由；（ 4）若点 P 为 x 轴上的一个动点，试探究在抛物线m 上是否存在点Q，使以点 O、 P、 C、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，且 OC为该四边形的一条边若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解答 ：（ 1）由 y= x2 +2x 得， y= （ x2）2 2，抛物线的顶点A 的坐标为（ 2， 2），令 x2+2x=0，解得 x1=0，x2 = 4，点 B 的坐标为（ 4， 0），过点 A 作 AD x 轴，垂

26、足为 D， ADO=90°，点 A 的坐标为（ 2， 2），点 D 的坐标为（ 2，0）， OD=AD=2， AOB=45°；（ 2）四边形 ACOC为菱形由题意可知抛物线m 的二次项系数为，且过顶点 C 的坐标是（ 2， 4），抛物线的解析式为：y= （x2）2 4，即 y= x22x 2，过点 C 作 CE x 轴，垂足为 E；过点 A 作 AF CE，垂足为 F，与 y 轴交与点 H， OE=2， CE=4， AF=4，CF=CE EF=2，OC=2，同理， AC=2， OC=AC，由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC，故四边形 ACOC为菱形（ 3）如图

27、1，点 C不在抛物线 y= x2+2x 上理由如下：过点 C作 CG x 轴，垂足为 G， OC和 OC关于 OA 对称， AOB= AOH=45°， COH= COG， CE OH， OCE=COG，又 CEO=CGO=90°， OC=OC， CEO CGO， OG=4，CG=2，点 C的坐标为（ 4， 2），把 x=4 代入抛物线 y= x2 +2x 得 y=0，点 C不在抛物线 y= x2 +2x 上；（ 4）存在符合条件的点Q点 P 为 x 轴上的一个动点，点Q 在抛物线 m 上，设 Q（a，（a2）2 4）， OC为该四边形的一条边， OP为对角线，=0，解得 x

28、1=6， x2=4， P（ 6，4）或（ 2，4）（舍去），点 Q 的坐标为（ 6， 4）11如图 1，在 OAB 中， OAB=90°， AOB=30°以 OB 为边，在 OAB 外作等边 OBC， D 是 OB 的中点，连接 AD 并且延长交OC于 E（ 1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（ 2）如图 2，将图 1 中的四边形 ABCO折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 FG，试探究线段 OG 与 AB 的数量关系并说明理由【解答】（ 1）证明： RtOAB 中， D 为 OB 的中点， DO=DA（直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）， EAO= AOB=

29、30°， OBC为等边三角形， COB=60°，又 AOB=30°， EOA=90°， AEO=180° EOA EAO=180° 90° 30°=60°， AEO= C， BC AE， BAO= COA=90°， CO AB，四边形ABCE是平行四边形；（ 2）解：在 Rt ABO 中， OAB=90°， AOB=30°， BO=2AB， OA=AB，设 OG=x，由折叠可得： AG=GC=2AB x，在 Rt OAG 中， OG2+OA2=AG2，x2+（ AB） 2=（ 2AB x） 2，解得： x= AB，即 OG= AB12.在菱形ABCD中，ABC=60°， E 是