第二章3-单自由度系统强迫振动

1、 单自由度系统的强迫振动强迫振动：系统在持续的外界激励作用下 产生的振动非周期激励简谐激励周期激励外界激励)()(sin)( 0tfTtftFtf强迫振动的形式v本章讨论单自由度线性系统在周期激扰（激励或扰动）作用下的强迫振动，通常称为振动系统对周期激扰的响应。周期激扰可以是作用于振动系统的周期扰力，也可以是振动系统支座的周期运动。 Mmexc2k2k O t 2sinMxcxkxmetmxc2k2kc x y k x yytmO正弦激励法的作用v对于实际的振动系统的参数测量，实际上通常加一系列的正弦信号，通过测量系统的响应，来获得振动系统的参数，即所谓正弦激励法，例如正弦扫频等。 讨论简谐输

2、入意义v这种情形比较简单，而所得的结论却有很重要的工程应用 ；v任意的周期激扰，都可以通过Fourier级数，分解成若干个正弦型激扰的和 v利用线性系统的叠加性，可得到全响应。例子v如右图所示，物体沿垂直方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，铅直向下为x轴正向，建立如图所示的坐标系。受力情况如图，其扰动力为： O0lsxxmkk x()Ft变量说明v扰力：v称为扰力的力幅 ，为常值v扰力的频率 ，简称扰频，为常值 0F0cosFFt系统运动微分方程v由牛顿第二定律：v 整理v这就是无阻尼振动系统在简谐扰力作用下的运动微分方程。 0cosmxkxFt 0cosmxkxFt定义辅助变量v

3、令：v表示在静力条件下，系统受到一个大小为 的力作用时的位移。nkm0FAk0F方程和通解的标准形式v这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成：22cosnnxxAt12xxx齐次解v 代表齐次微分方程 的解，简称齐次解，由前面的单自由度无阻尼自由振动可得： 1x20nxx112cossincos()nnnxBtBtBt特解v 代表方程 的一个特解，v由激扰力的形式可知方程的特解可以表示成v为： 2x22cosnnxxAt2cosxXt积分常数的确定v将 代入微分方程，可得：v并令： ，称为频率比，可得： 2cosxXt222coscosnnXtAtn222211

4、nnAXA微分方程的通解122cossincos1nnAxBtBtt齐次解积分常数的确定v对通解求导可得122122cossincos1sincossin1nnnnnnAxBtBttAxBtBtt 应用初始条件v由初始条件，时，初始位移和初始速度分别为：00,x x 102012020211nnABxAxBxBxB通解表达形式v将得到的 代入方程的通解表达式：v方程解可以写成： 12,B B0022cossincos11nnnAxAxxttt002cossincoscos1nnnnxAxxtttt解的讨论v从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有

5、v频率 ， 表示系统在简谐激励下的强迫振v动，与激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关， v 表示激扰力引起的自由振动 n2cos1At2cos1nAt对扰力引起自由振动的讨论v令初始条件： ，微分方程的解简化为：v可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个简谐振动之和已经不再是简谐振动。 000,0 xx2coscos1nAxtt频率比对振幅的影响v对于周期扰动作用下的运动，我们关心的主v要是强迫振动， 为激扰力引起的强迫振动，v在 时 ，强迫振动的振幅随着的增大无限增大，直到 时，即激扰力的频率和系统的固有频率相等的时候，理论上的振幅趋于无穷大，

6、这种现象称为共振。 2cos1At11频率比对振幅的影响v在 时，我们将 v写成 ，从而保证振幅为正值。v从中可以看出，质量 的位移与扰力正好反向，振幅随着 的增大而无限减小。 12cos1At2cos1Atm放大率 v在静力作用下，系统的静挠度为 ，可见：v 体现了扰力的动力作用，这个量的v绝对值记为放大率： A211211放大率-频率比曲线v放大率和频率比之间的关系，即为 v 曲线 123123n 的意义v 曲线只表示振动系统稳态运动的情形，亦即激扰固定在某一频率时，系统振幅达到定值后的情形。 共振的讨论v在共振时，系统的振幅将达到无穷大，事实上，这是不可能的，首先，系统存在阻尼，在下节大

7、家将会看到，微小的阻尼就会限制振幅的无限增大。另一方面，在振幅无限增大的过程中，线性弹簧的假设也不再成立。共振时微分方程的特解v在 的时候，方程的特解也不再为v而应该表示为如下形式：， n2cosxXt2cosnxBtt特解的导数2cossinnnnxBtBtt222sincosnnnnxBtBtt 222222sincoscos2sin2sincoscossinnnnnnnnnnnnnxxBtBttBttBtBtt 积分常数的确定v代入微分方程： ，v从而：22cosnnnxxAt22sincoscossincosnnnnnBttAtcos022cos2cos2nnnnnAtABt， 共振特

8、解的讨论v方程的特解可以写成：v可见，共振的时候，强迫振动的振幅随着时间的增大而按比例的增大。对于许多机器，在正常运转时，其扰频都远远超过系统的固有频率，所以在启动和停止的过程中，都要通过共振区，由于共振的振幅随时间线性增大，只要缩短通过共振区的时间，就可以顺利通过共振区。 2cos2nnAxtt阻尼强迫振动 v实际的振动系统都是有阻尼的，下面来讨论有粘性阻尼的系统，在简谐扰力作用下的强迫振动。 运动简图和坐标建立v如右图所示，物体沿水平方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正向，建立如图所示的坐标系。受力情况如图，其扰动力为： v其中 称为扰力的力幅，为常值；v 为扰

9、力的频率，简称扰频，也为常值。0cosFFt0FkxcxckxmmxO0cosFt建立微分方程v根据牛顿第二定律：v令：v方程变形为： 0cosmxFtkxcxnkm，0FAk，22cnckmm，22cnccccmkm 222cosnnnxxxAt解的组成v这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成 ：v其中 ，代表齐次微分方程 的解，简称齐次解，v 为 的一个特解，又称稳态解 12xxx1x220nnxxx2x222cosnnnxxxAt齐次解的讨论v当 时，由前面的单自由度阻尼自由振动可得：v其中： ，称为衰减振动的圆频率。v并且： 1112cossincos(

10、)nnttdddxeBtBtBet21dn22000ndxxBx，1000tanndxxx特解的讨论v由于激励为简谐的，根据微分方程的理论，上述微分方程有如下形式的特解： v将 ， ，v代入 可得：2cosxXt2cosxXt 2sinxXt 22cosxXt 222cosnnnxxxAt22212AX122tan1系统的全响应v其中：222coscos()12ntdAtxBet220001000tanndndxxBxxxx， 22212122tan1AX解的讨论v右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；第二项是特解，代表与扰力同频率的简谐运动。 v自由振动，在运动开始后很短的时间内迅速消失，

11、通常可以不加考虑。强迫振动却不因阻尼而衰减，它的振幅与相角也与运动的初始条件无关 。复频率分析的原理v一个物体的振动可以看作一个旋转矢量的投影。而一个矢量可以用一个复数来表示，对一个复数取实部和虚部就相当于将一个矢量在实轴和虚轴上投影。用复数描述矢量，复数的模相当于矢量的长度，而辐角相当于矢量的方向。 复频率微分方程和稳态解v复频率微分方程：v稳态解 是常数 v代入微分方程可得：222j tnnnzzzAejtzZeZ2222212jnnnAAZejj 频响函数 &放大因子 v定义：v为系统的复频率响应函数，简称频响函数，v它的模 ：v称为系统的放大因子 21()12H jj2221(

12、)12H j放大因子的物理意义v 为放大因子v表示系统稳态振幅与静位移之比， v同时 是稳态振动时，弹簧力v与激振力幅值之比 ()ZH jA00()skZFH jkAF系统的实际响应v简谐激励下系统的响应就是方程v的响应在实轴上的投影222j tnnnzzzAe ReRe()() cosjtxzA H jeA H jt频响函数曲线v系统的复频率响应函数可以描述激励频率对系统稳态响应的影响，它的模体现了激励频率对响应幅值的影响，01234500.511.522.533.544.55=1=0.5=0.375=0.25=0.15=0.1|H(j)| =/n 辐角响应曲线v辐角体现了激励频率对响应相位

13、的影响。012345-2-1.5-1-0.500.511.52阻尼比对幅频特性的影响v从上图中可以看出，当 时，放大因子没有峰值，这时，整个频率比范围内，都有： 。v把 称为小阻尼情况。只有在小阻尼情况下，放大因子 才在 的时候有峰值，而且 。 12()1H j12()H j0max()1H j幅频和相频特性的几个特殊点v在 这几个特殊点， 和 分别为： 0,n()H j 1(0)1,( )0,()2nHHH 0,2n 惯性力，弹性力和阻尼力关系 v系统稳态振动时，惯性力，弹性力和阻尼力都是与激励同频的简谐量，由达朗伯原理，其关系为：0cos0 + + + =0mxcxkxFt 惯性力阻尼力弹

14、性力扰力惯性力，弹性力和阻尼力的表示v惯性力：v阻尼力：v弹性力：220() cos=() cosmFmxmA H jtFH jt 0() sin=2() sindFcxc A H jtF H jt 0() cos() cossFkxkA H jtF H jt 三种情况下各力的关系图 XXXt t t 0F0F0FsFsFdFdFmFmF0.51.02.000.25 , F constdFsFmF系统三个不同响应范围 v当 时，扰力主要与弹性力平衡。因为此时激励的频率很低；v当 时，扰力的频率远高于系统的固有频率，扰力主要和惯性力平衡 v当 时，强迫振动的振幅可能很大，唯一限制因素是系统的阻尼

15、。 111时v系统的速度、加速度都很小，相应的阻尼力、惯性力也很小。此时： ，v由 ，响应的振幅11,0Hj222()12AXA H jZA时v激扰力频率很高，激扰力的方向变化过快，系统由于惯性无法跟随； ，v响应的振幅：121()0H j，2()AXA H j时v由 ，可知，在 v的时候，此时， ， 。122212AX1122放大因子的极值v由： 得到：v由于 ，v 是函数 极大值点。 020 12或2 12,02 12,0212222112共振和共振点v放大率的最大值取在 ，记 ，不但小于系统无阻尼自由振动的圆频率 ，而且也小于衰减振动圆频率 。v使强迫振动的振幅有最大值的激振力的（圆）频

16、率，称为共振（圆）频率，振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振。共振时的放大率为：212212rn21dn 2121r品质因子 v定义：v为系统的品质因子v当 的时候 ，有v因此，在阻尼比很小的时候，品质因子和阻尼比成反比。当 较小的时候，共振峰比较尖锐，反之比较平缓。2121rQ112Q带宽v满足方程： 的激扰力的固有频率称为系统的半功率点。它的意义：当响应幅值降为共振振幅 时对应的频率。v在小阻尼时，半功率点有两个，记为： 并且 ，其差值： 称为系统的带宽，它给出了共振区的范围。 222Q1/212,1221品质因子的作用v通过上式，在 已知的时候，可以得到系统的阻尼比和带宽。 12nQ

17、Q222111()21xo xx 222111()2xxo x 振动系统激扰力的功v对于阻尼系统的强迫振动，当系统进入稳态响应后，系统的振幅保持稳定，此时，系统消耗的能量和激扰力对振动系统输入的能量相等。v对于无阻尼系统，当 时，无能量输入，当 时，外力对系统作功，使系统的能量越来越大，以致振幅越来越大。11外力对系统作的功 v外力在振动的一个周期内，对系统作的功为 0cosfWFt dx外力功的计算v由：v可得：v对于强迫振动，相应的一个周期为 coscosxA HjtXtsindxAH jtdt 2积分的运算 0202202202coscoscossincossin1sin 2sin2si

18、nfWFt dxAkt dxAktAHjtdtA k HjttdtA k HjtdtA k Hj 外力的功：v由 可得：v代入前面的积分结果：122tan1j sin2Hj222222222fnncWA k HjX kkXmc X 阻尼力在一个周期作的功 sinxAHjt sindxAH jtdt 202222222220022220sinsinsinsin1cos22cWcxdxcAHjtAHjtdtcAHjtdtcXtdttcXdtc X 阻尼力功的特点v具有粘性阻尼的系统在简谐强迫振动时的能量消耗正比于阻尼系数，激振频率及响应振幅的平方成正比，与系统的固有频率无关。v当 时， 2cWc

19、X 0fcWW无阻尼振动系统激扰力的功 v当当 ， 时，时，v外力的功为：外力的功为：v当 ， 时，v外力的功为：外力的功为：01 cosxXt22001coscossinsin202fWAktdxAktXt dtAkXtdt 01cos2nnAxtt22022coscoscossin2212nnnPnnnnAAWAktdxAkttttdtA k等效阻尼 v实际振动系统的阻尼来自多方面，阻尼的性质也不同。非粘性阻尼会导致系统成为非线性系统，微分方程的求解也就比较困难。v因此，工程上常把其他类型的阻尼等效成粘性阻尼，称为等效阻尼。等效阻尼的计算v粘性阻尼每周消耗的能量 ，v再求出非粘性阻尼在一周

20、消耗的能量：v令： 即可求出等效阻尼：2cWc X 2ceeWcX cceWW2ceeWcX等效阻尼的用途v等效阻尼计算出来后，即可以当作普通的粘性阻尼系数来使用，求出系统的运动情况：v其中： 02222222()12eeeAAFXH jkmc 22eeeecnccccmkm0FAk 注意v在计算过程中，我们假定振动系统的运动仍然是简谐的，事实上，当阻尼不再是粘性阻尼后，上述结论不再正确，但当实际阻尼比较小，不会过分影响振动系统运动的波形时，上述方法计算的结果和精确解比较接近。例一v库仑阻尼的等效：设物体和磨擦面的摩擦阻尼力 其中， 是磨擦系数，为常数， 为摩擦表面的正压力，也为常数qFNN例

21、一解v由摩擦力的性质， 总是与运动方向或相对运动趋势反向，所以，总是做负功。在一个周期中，物体移动的距离为qFN4X4ceWXN24ceeWNcXX例二v对于多数金属材料，结构阻尼导致的能量损失大致与位移的平方成正比，在很大范围内与频率无关，试求其等效阻尼。 滞后回线阴影面积=每周期能量损失 F t X t例二解2ceWaX2ceeWacX带结构阻尼振动微分方程v具有结构阻尼的振动系统的强迫振动的微分方程表示为：v方程的解：v在简谐激励下， 代入方程； j tamxxkxAkexj xj tamxjk xAkejtxXexj x复刚度v引入辅助变量：v方程变形为：v我们 将称为复刚度，该方程仅

22、适用于简谐振动。 ak1j tmxkjxAke1kj复刚度微分方程求解v将其解 ：代入方程jtxXe1j tmxkjxAke21jtj tmkjXeAke222221111jnAkAXemmkjjkAAjj结果2221AX，12tan1211Hjjmax1,2QHj，强迫振动理论的应用 v单自由度受简谐激励的强迫振动在实际中广泛存在，下面举几个典型的例子。旋转失衡引起的强迫振动 v在旋转机械中，旋转失衡是使系统振动的外界激励的主要来源，如：发动机的曲轴，飞轮，车轮，车辆传动系统的齿轮，机床的主轴，洗衣机，空调和冰箱的压缩机，风扇等。旋转失衡的主要原因是高速旋转机械中转动部分的质量中心和转轴中心

23、不重合造成的。 旋转失衡系统参数描述v只考虑垂直运动。系统总质量为 ,失衡质量为 ，失衡质量与转轴中心的距离为 ，通常称 为偏心距。失衡质量与偏心距的乘积定义为失衡量：失衡量= ， 以角速度 旋转。非旋转质量为 ，旋转质量的垂直位移为 。 MmeememMmsinxet坐标建立v以旋转中心的静平衡位置为坐标原点，竖直向上为 轴正向，建立如图所示的坐标系，其余振动参数见图。Mmexc2k2k O t x微分方程的建立v根据牛顿第二定律，v整理可得：22sindMm xmxetkxcxdt 2sinMxcxkxmet求解v令： ，v由前面的分析，v其他的分析和前面完全相同。20Fme220nFme

24、meAkMM ImRe()() sinjtxzA H jeA H jt122tan1支撑运动引起的强迫振动 v强迫振动不一定都是由激扰力引起的，振动系统支座的周期运动同样可以引发强迫振动。例如精密仪表受到基座振动的影响而振动，车辆在不平的路面上行驶引起的振动，如果支撑的运动可以用简谐函数来描述，则系统的振动也可以用简谐强迫振动理论来分析。 系统描述v如图所示的系统，假设物体只能沿铅垂方向运动，支撑点的位移是简谐函数，可以表示为： Recosj tyAeAt坐标建立v取铅垂坐标 与 ，分别以物体和支撑静止时的平衡位置为原点，向上为正，设某瞬时 ，物体 有位移 与速度 ，支撑有位移 和速度 ，则物

25、体对于支撑有相对位移 与相对速度 ，因此作用于物体的弹簧力为 ，阻尼力 。 xytmxx yy xyxyk xyc xy运动和受力简图mxc2k2kc x y k x yytmO微分方程的建立v由牛顿第二定律：v整理可得： 右端的两项相当于由弹簧和阻尼器传递的激励力。v令： ，则原方程可以改写为： mxk xyc xy mxcxkxcykynkm2ckm2222nnnnxxxyy用复频域法求解v将支座的位移 和振动系统中质量 的强迫振动 表示成为复数形式：v将上述复数形式代入变形后的微分方程：ymxj tcjtcyAexXe22222jtj tnnnnjXejAe求解21212jjXeAj22

26、222222121212121212121212jjjXXeAAjjjAAjAHj计算相位角v由：v考虑Euler公式： 21212jXjeAjcossinjXXejAA22232222222121212212121212jjjjj结果v无量纲的比值： 212cosxAHjt3222tan12j212XHjA幅频和相频曲线01.02.03.04.05.01.02.03.01.002.03.04.05.0XA210.500.3750.250.150.100.05323结果讨论v从公式 和上图中都可以看出，当 时，无论阻尼比 为何值，响应幅值总是与激励幅值相等。即 ，以此为分界点，在 和 两个区域

27、内，阻尼比对响应幅值的影响不同。 22221212XA2/1XA22不同频率比的阻尼的作用v当 ，阻尼抑制了响应的幅值，阻尼比越大，响应幅值越小，无论阻尼为何值有：v当 时，阻尼比越大，响应的幅值反而增大，无论阻尼为何值有v当系统的阻尼小到可以忽略 ， ，当 v 时，质量系统的位移几乎为零 2XA2XA21AX1振动隔离v振动隔离是指将机器或结构与周围的环境用减振装置隔离，它是消除振动危害的重要手段，实际工程应用中分为两大类：积极隔振（主动隔振）和消极隔振（被动隔振） 积极隔振 v对于自身是振源的机器，为减少它对周围环境的影响，将其与支撑它的基础隔离开，这类隔振称为积极隔振（主动隔振）。v力学

28、特点：激励作用于质量引起的振动。要求把振源与它的基础隔离（两者之间加装弹簧和减振器）例如：发动机和车架之间，大型电机，冲床，汽锤等和基础之间都要安装一定的隔振装置以减少对周围环境的影响。 消极隔振： v对于受振动影响很大的精密仪器或设备，为减少周围环境振动对其造成的影响，将其和支撑的基础隔离，这类隔振成为消极隔振。 v力学特点：激励由基础产生，振源是基础运动，要求质量 的振动尽可能小。如：车辆的悬架，光栅刻录仪，全息摄像系统。 m两种隔振的相似点v都是把需要隔离的机器设备安装在合适的具有弹性和阻尼的减振或隔振装置上，使大部分振动被减振装置和隔振装置吸收，以阻断振动的传递。 积极隔振的隔振系数

29、v 称为隔振系数或传递系数， 为隔振后系统传给基础的动载荷的幅值， 为未隔振时系统传给基础的动载荷的幅值，显然 越小越好。sNPsNPs消极隔振的隔振系数v 称为隔振系数或传递系数， 为设备隔振后的振幅， 为振源振幅，显然 也是越小越好。sXAsAXs积极减振系统描述v为受简谐激励的振动系统，系统传给基础的动载荷为弹簧和减振器对基础作用力的合力。如果没有弹簧和减振器，激励力将直接作用于基础，其幅值为 。 0F积极减振简图和力分析 2k2kcmF2mXcXk XXFtrF微分方程和受力分析v简谐激励下的运动微分方程的复数形式为： v由上图的受力分析图，可知，弹簧和减振器对基础的作用力为： trF

30、cxkx222cosnnnxxxAt合力的计算coscosxA HjtXt sin()cos() cos()trTFcxkxXtkXtFt 隔振系数v合力的幅值：v隔振系数：222220121212TNFc XkXkXkAHjFHj2012sNHjF消极隔振的隔振系数v由支撑运动引起的强迫振动一节中的结论，相应的幅值：v消极隔振的隔振系数为 22121212jjXXeAAHjj212sXHjA结论v当振源为简谐量时，积极隔振和消极隔振的隔振系数计算公式相同，其与频率比和阻尼比的关系 如右图：01.02.03.04.05.01.02.03.01.002.03.04.05.0XA210.500.3

31、750.250.150.100.05323讨论v无论阻尼大小，仅当频率比 才有隔振效果，随着频率比 的增大，隔振效果提高，实际取：v当频率比 ，阻尼比的增大使隔振系统增大，降低了隔振效果 ，但适当的阻尼可以避免当其中含有和系统固有频率接近的频率成分造成过大的振幅。 22.552惯性式测振仪器原理v惯性式测振仪器将由弹性元件支撑的惯性质量装在适当的壳体内，限制惯性质量沿某一直线运动。阻尼由壳体内的粘性液体提供。将壳体和被测系统固联，以质量块和壳体的相对运动作为输出。 惯性式测振仪器简图xykcmz输出的获得v相对运动量可以通过安装传感器获得，本图绘制的是简单机械式，质量块安装有一支画笔，右侧为一

32、匀速转动的滚筒，当质量块上下运动时，画笔在滚筒上缠绕的纸带上绘出轨迹，此曲线为相对位移 随 变化的曲线， 为滚筒半径， 为滚筒的角速度，该曲线经过适当的坐标变换，即可得到 随时间变化的曲线。 zrRtRrzt坐标的建立v设支座的运动为简谐振动v取支座处于平衡位置时，质量 的平衡位置为原点，竖直向上为 轴正向，其绝对位移为 ，取支座的平衡位置为原点，竖直向上为 轴正向，与被测结构固联的壳体的绝对位移为 ，壳体与质量块的相对位移为：mxxyyzxy微分方程的建立v根据牛顿第二定律，可得微分方程：v将 代入 0mxc xyk xyzxymzczkzmy 求解v由支座为简谐振动，则： 代入方程：v则方

33、程的解为： cosyYt2cosmzczkzmYt22222222cos()112 =12zZtmYZkY122tan1加速度计v当 时， ，相对位移的幅值：v由 则： v因此： ，与支座的运动频率无关1222 , 0nYZYcosyYt222Y cos ( t) =Z cos ( t)=znny 2nyZ()1H j加速度计的特点v固有频率高v随着固有频率的增大，在其他条件不变，系统的响应幅值将减小，从而使系统的灵敏度下降，可能会增加测量误差。v在阻尼比很小的时候， 的范围很窄，综合其他因素，通常加速度计的阻尼比取为 ， ，此时，系统的误差小于1%。()1H j0.700.4位移计v当 时，

34、 ， 仪器的相对位移和激励的位移幅值相等，此仪器用来测量振动位移。12ZYHjYcoszYt 位移计特点v位移计为低频仪器，固有频率越低，测量的范围越宽，但系统也就越笨重，安装到待测系统上，会对待测系统的动力特性造成很大影响，从而造成误差。转轴的临界转速转轴的临界转速v某些旋转机械在开机与停机的过程中，当机器的转速经过某个定值时，会出现剧烈的震动，这对机器十分有害，这个定值通常称为临界转速。为了保证机器的安全，开机和停机的时候，必须快速通过临界转速区。在设计机器时，必须使转轴的工作转速远离转轴的临界转速。转轴的临界转速非常接近转轴横向自由振动的固有频率。 系统描述v简图如下所示，假定：转轴在静

35、止时，轴线成铅垂，并与两端轴承的中心线重合。轴承是绝对刚性的，但轴承可以在轴承内自由偏转，圆盘成水平，装在轴的中点。轴线通过圆盘的几何中心S，而圆盘的重心G，有微小的偏心距e。这样，重力的影响可以忽略不计，而且在转轴发生挠曲时，圆盘平面始终水平，因而可以不考虑陀螺效应。系统简图OSG e aeOGSAA向xy当转轴以某一角速度匀速转动，圆盘的离心力使轴发生挠曲，轴承的中心线与盘面相交于O点，设轴线中点的挠度为a，则OS=a。系统分析v先不考虑阻尼，作用于圆盘的力只有弹性恢复力与离心力，弹性力从S指向O，大小等于ka，其中k是轴在中点的弹簧系数。v（对于中点受集中载荷的简支梁，其弹性刚度为：k=

36、48EI/L3）。v离心力沿着OG方向，指向外边，大小和m2成正比，其中，m代表圆盘的质量。这两个力成为动平衡，必须大小相同，方向相反。计算挠度v对a求解，可以得到va可以写成：22meakmnkmn22eak极限转速v当=1时，转轴的挠度a理论上可以无限大，这个角速度，称为轴的临界转速，它等于转轴横向振动的固有圆频率。在工程上，转速单位为：转/分，用n表示 602n不同转速情况下的挠度情况v转轴中点的挠度a，在 时，即亚临界转速时，与偏心距e同号，圆盘的重心G在转轴挠曲线的外侧；v在 时，与偏心距e同号，圆盘的重心G在转轴挠曲线的外侧；v当 时，有a=e，v重心G与定点O重合，圆盘绕重心转动

37、，这个现象称为自动定心。nnn偏心距为零时v从上述分析可以看出，除非e=0，转轴总是弯成弓形，以角速度绕铅垂的轴承中心转动。v但即使e=0，（实际不可能），转轴仍然有临界转速，因为在e=0时，根据ka=m2(a+e)有：ka=m2a。在时，上式成为恒等式，挠度a可以为任意值， a为任意值的物理意义v当： a可以为任意值时，转轴失去稳定性，任何微小的外力，都可以使转轴有很大的挠度。可见理想的无偏心距的转子，其临界转速和有偏心距的转子相同。因此，在计算转子的临界转速时，不需要考虑转子的偏心距。 1有阻尼的情况v再来看有阻尼的情形，假定为粘性阻尼，阻尼力的大小Fd=cv，式中v代表圆盘几何中心S的速

38、度，阻力的方向与速度v相反。此时，O，S，G三点不一定共线。 xy xy OSG eat坐标系的建立和微分方程v取静止坐标系Oxy，圆盘中心S的坐标为（x，y）重心G的坐标为（x+ecost, y+esint）v由牛顿第二定律： 2222cossinddxmxetkxcdtdtddxmxetkxcdtdt 微分方程的求解v令：z=x+jy可得：v响应的振幅：v响应的相角： 2j tmzczkzmee2222212eZeHj122tan1简谐强迫振动部分作业： 阐述军用车辆使用可变阻尼减振器的必要性 在不同路面（高频和低频路面）行驶，应如 何调节阻尼，才能减小车体的振动？1. 单自由度线性系统在

39、周期激励周期激励作用下的强迫振动 单自由度线性系统在周期激励周期激励作用下的强迫振动11 1mxcxkkxk x实例其中，11()( )x tTx t微分方程v设单自由度振动系统受到一个周期为T的激励 f(t+T)=f(t)，则系统的微分方程可以写成：222( )nnnxxxf t周期强迫振动 v非简谐的周期激励在工程结构中的振动中大量存在，一般来说，如果周期激励中的某一谐波的振幅比其他谐波的振幅大得多，大多可以作为简谐激励；反之，则不行。v求解一般周期激励下系统的响应问题需要将激励展开为Fourier级数，分别求出各个谐波引起的响应，再利用叠加原理得到系统的响应。 傅立叶级数傅立叶级数 定理

40、：设周期为T的周期函数 满足收敛定收敛定 理理的条件， 则它的傅立叶级数展开式为其中系数 利用三角函数的正交性求出： 2222( )cos (0,1,2,)TnTntaf tdtnTT2222( )sin (1,2,3,)TnTntbf tdtnTT0122( )cossin2nnnantntf tabTT( )f t,nna b 周期激励函数一般都满足收敛定理的条件，都 可以展开为如下形式的傅立叶级数：0101122( )cossin2 cossincos2sin2cossin2nnnnnaf tan tbn taatbtatbtan tbn t222222( )cos (0,1,2,)2(

41、 )sin (1,2,3,)TnTTnTTaf tn tdtnTbf tn tdtnT 其中 周期函数展开为傅立叶级数 的物理意义: 把一个比较复杂的周期激励看成是许多不同不同频率频率的简谐激励简谐激励的叠加叠加。 谐波分析谐波分析 频率 称为基本频率，简称基频；对应于基频的简谐分量，称为基波；对应于频率为 ， 的简谐分量称为二次谐波，三次谐波，等等。 23周期激励的处理v将f(t)展成Fourier级数：v其中的第p项为：v对应的响应为： 0( )Rejp tppf tA e( )Rejp tppftA e pxt求解 振系在简谐激励 与 分别作用下,相应的强迫振动可依次表示为( )cosn

42、f tan t( )sinnf tbn t22222cos12nnaxn tknpnp 22222sin12nnbxn tknpnp 22arctan1nnpnp 组集总响应v根据线性系统的叠加原理0222221cossin212nnnnnan tbn taxkknpnp 22arctan1nnpnp 结论v可以看出，系统的稳态响应也是周期函数，其周期仍然为T，并且激励的每个谐波都只引起与自身频率相同的响应，这是线性系统的特点。v在周期激励中，只要系统的固有频率和激励中的某一谐波频率接近就会发生共振，因此，对于周期激励，要避开系统共振区比简谐激励要困难。通常使用适当增加系统阻尼的方式来减振。周

43、期强迫振动 v非简谐的周期激励在工程结构中的振动中大量存在，一般来说，如果周期激励中的某一谐波的振幅比其他谐波的振幅大得多，大多可以作为简谐激励；反之，则不行。 单自由度线性系统在非周期激励非周期激励 作用下的强迫振动非周期激励非周期激励 作用的特点非周期非周期强迫振动求解脉冲响应函数法傅立叶变换法拉普拉斯变换法周期激励的特点v前面章节讨论的激扰力，无论是外界力或是支座的位移，我们都假定激扰的函数要么为简谐，要么可以通过Fourier级数展成一系列简谐函数的和。v振动系统对周期激励的响应通常指系统的稳态强迫振动响应，是按照激扰频率（可以是单一的，亦可以是一系列）进行的周期振动。 非周期激励的特

44、点v在许多实际问题中，对振动系统的激励往往不是周期的，而是任意的时间函数，或者只是持续时间很短（相对于振动系统固有周期）的冲击。 举例：车辆越障 非周期激励响应的特点v相应地，瞬态激励引起的系统振动响应持续时间也不长，但响应的峰值往往很大，使结构产生较大应力和变形。v振动系统通常没有稳态运动，只有瞬态振动v在激励消失后，振动系统进行阻尼自由振动，即所谓的剩余振动。v振动系统在任意激励下的运动，包括剩余振动，称为振动系统对任意激励的响应。非周期非周期强迫振动求解 脉冲响应函数法解决问题的思路：把非周期激振力看作是一系列作用时间极短的分力的叠加；在脉冲力作用下的响应 应用动量定理；总响应 叠加原理

45、。脉冲力定义v如果F(t)的幅值很大，但作用时间很短，即 ，那么如果冲量： 仍然为通常的数量级，这种力称为脉冲力。v 通常硬物体之间的碰撞力、闪电、电容瞬间的放电（照相机的闪光灯）都具有脉冲力的类似性质。 1 FFt d t状态描述v如果F(t)的作用时间为(，)(为任意非负实数)，即当t和t 0后，系统不受外力，自由振动。系统受到脉冲力作用后的运动微分方程： 00 x0/xF m/,01cF mdtc脉冲力作用后的微分方程 v系统受到脉冲力作用后的运动微分方程：v它的解为：v这就是初始时刻静止的系统在t=0时刻受到脉冲力 作用后的响应。 000,0mxcxkxFxxm sin0ntddFx

46、tettm Ft系统单位脉冲响应函数 v系统受到单位脉冲力作用，此时的系统的响应称为系统单位脉冲响应简称系统脉冲响应，用h(t)表示 ： 1sin0ntddh tettm一般脉冲响应v显然，在 以前静止的系统在 时，受到一个单位脉冲激励后的响应为：tt1sinntddh tettm各时刻脉冲响应的叠加v 时刻的脉冲力 v该脉冲力的响应v系统在t时刻的响应t把非周期激振力f（t）看作是一系列脉冲力的叠加；Ft（ ）Fh t（ ）0( )tx tFh t（ ） 0tx tFh td0 令，求和变成积分：如果系统初始条件不为零，即： 000,0 xxxx系统总的响应为 0000cossinnttnd

47、ddxxx textth tFd脉冲响应的意义v系统的脉冲响应由系统本身的物理性质决定。 系统的脉冲响应反映了系统的振动特性。 锤击法 v在振动试验中，有一种方法叫做锤击法。用锤头带有力传感器的锤子敲击被测的结构，力传感器测出敲击的力信号，装在结构上的加速度传感器测出结构的加速度响应信号，把测出的力信号和加速度信号经过处理，可以求出系统的振动参数。如固有频率，阻尼比等。锤击法测试速度快，所需设备少，便于现场测试。 单自由度线性系统在非周期激励非周期激励 作用下的强迫振动 非周期非周期强迫振动求解脉冲响应函数法傅立叶变换法拉普拉斯变换法Fourier变换方法求解 v前面讲述的方法都是直接在 时域

48、中时域中 求解微分方程，得到是系统的时间响应历程。v对于一个振动问题，可以用Fourier变换在频频率域率域 内分析激励频谱，响应频谱以及系统特性的频率域描述之间的关系。Fourier变换方法一 周期激励的频谱图 0001cossinnnnf taantbnt001sinnnnaAnt22 nnnAab，nnnabarctg 2022cos TnTaf tntdtT， 2022sinTnTbf tntdtTFourier变换方法频谱频谱是信号中各频率分量按频率高低依次排列是信号中各频率分量按频率高低依次排列的总体。的总体。幅频幅频是信号中各频率分量的幅值与频率之间的是信号中各频率分量的幅值与频

49、率之间的关系。关系。相频相频是信号中各频率分量的相位与频率之间的是信号中各频率分量的相位与频率之间的关系。关系。Fourier变换方法()03070500A ()03050700频域描述频域描述 f (t)t-T/2T/20时域描述时域描述Fourier变换方法二、非周期激励和傅里叶变换周期激励的傅里叶级数的复数形式为： 00221jntnnTjntnTf tc ecf t edtT 000221TjntjntjntnTnnf tc ef t edt eTFourier变换方法v谱线之间的频率间隔v离散频谱中相邻的谱线无限接近，离散频谱成为连续频谱v离散变量 变成了连续变量，求和运算就变成了求

50、积分运算，于是得：2dTT 非周期信号0nFourier变换方法 22212j tj tj tj tjftjftdf tf t edt ef t edt edf t edt edfFourier变换方法称 为 的傅里叶变换或傅里叶积分 j tFf t edt , FfF f t 2jftF ff t edt傅里叶（正）变换Fourier变换方法称 为 的傅里叶逆变换，两者互为傅里叶变换对，即 2jftf tF f edf f t F XtxFTIFT傅里叶逆变换 12j tf tFedFourier变换方法 , f t F FTIFTf tF傅里叶变换对 Ff tF 1f tFF构成傅里叶变换

51、对记为Fourier变换方法三、傅里叶变换的常用性质 1. 线性叠加性 若 和 分别有傅里叶变换为 、 ，则 fX ty tx fY fbYfaXtbytaxFourier变换方法若则即把时域信号沿时间轴平移一常值t0，则使其频域引起相应的相移 fXtx 02 0jf tx ttXf e02 ft2. 时移特性Fourier变换方法3. 频移特性若则v在频域中将频谱沿频率轴平移一常值 ，则相当于在对 应时域中将信号乘以因子 。 fXtx 020ffXetxtfj0ftfje02Fourier变换方法若则 fXfjdttxdnnn2 fXtx fXfjdttxt214. 微分和积分特性Fourier变换方法5. 卷积特性若 ，则 tx1 tx2 12xxtd tx1 tx2 txx21 fXtx11 fXtx22 fX