第2章第5节(新)

1、 阻力可能来自多方面。例如，两物体之间在润滑表面或干燥表面上相对滑动时的阻力;物体在磁场或流体中运动所遇到的阻力;以及由于材料的粘弹性产生的内部阻力等等。在振动中,这些阻力称为阻尼。2.5 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动1干摩擦阻尼干摩擦阻尼2结构阻尼结构阻尼3流体阻尼流体阻尼4粘性阻尼粘性阻尼阻尼的分类：阻尼的分类：NF2xF(2.5-1) 两接触面之间有润滑剂，摩擦力则决定于润滑剂的“粘性”和运动的速度。两个相对滑动面之间有一层连续的油膜存在，阻力与润滑剂的粘性和速度成正比，其速度的方向相反，即 Fcvcx (2.5-2)粘性阻尼粘性阻尼： 阻尼的存在将消耗振动系统的能量。消耗的

2、能量转变成热能和声能(噪声)传出去。在自由振动中，能量的消耗导致系统振幅的逐渐减小而最后使振动停止。式中c称为粘性阻尼系数，单位为Ns/m。 图2.5-1表示有粘性阻尼的振动系统，试建立粘性阻尼的衰减振动的微分方程。 取铅垂向下的坐标轴x，以物体的静平衡位置O为原点，向下为正。由牛顿运动定律，有0 xmkxmcx (2.5-3b) 或kxxcxm (2.5-3a)有粘性阻尼的振动系统的自由振动微分方程。图 2.5-1其中s是待定常数，代入式(2.5-3)，可得粘性阻尼的衰减振动的解。 stxe设(2.5-4)0e2stmksmcs(2.5-5)有02mksmcs(2.5-6)上面的代数方程为有

3、粘性阻尼振动系统的特征方程，有两个根s1和s2mkmcmcs22, 122(2.5-7) 使式(2.5-7)根号内的项等于零，亦即s1与s2为等值时的阻尼系数值，称为临界阻尼系数。记为cc，即 (2.5-9)kmmmkmcnc222式中,n为无阻尼时振动系统的固有频率。于是微分方程(2.5-3)的通解为tstseBeBx2121(2.5-8)式中，B1和B2为任意常数。决定于运动的初始条件。 引进了以后，微分方程(2.5-3)和特征方程(2.5-6)可以改写为引进阻尼比(或称相对阻尼系数)，有ncmckmccc22(2.5-10)022xxxnn (2.5-11)(2.5-12)0222nns

4、s则特征方程的根为(2.5-13)ns122, 1振动特性振动特性 无阻尼无阻尼 0 0： 简谐运动简谐运动弱弱(小）阻尼小）阻尼 0 1： 衰减运动衰减运动 下面分别就 1的三种情况讨论有粘性阻尼振动系统的解的性质。 1小阻尼情况小阻尼情况(即 1，ccc)式中 。则解式(2.5-8)为1inns22, 11i(2.5-14)ee(e221i21i1tttnnnBBx(2.5-15)令nd21(2.5-16)d 通常称为阻尼自由振动的圆频率。 设在t=0时，有x=x0, ，则代入解(2.5-15)及其导数0 xx )ee(ie)ee(ei2i1i2i1ttdttttnddnddnBBBBxt

5、=0时210BBx)(i)(21210BBBBxdnddnddnxxBxxB2ii,2ii002001解得将 与 代入式(2.5-15)即得系统对于初始条件 与 的响应1B2B0 x0 x 根据欧拉公式 ，则式(2.5-15)可以简化为ttddtdsinicosei式中A1=B1+B2，A2=i(B1-B2),为待定系数。仍决定于初始条件。tAtAxddtnsincose21(2.5-17) 设在t=0时，有x=x0, ，则代入解式(2.5-17)及其导数，得0 xx tAtAtAtAxddddtddtnnncossinesincose2121在t=0时有dnAxxAx20010,20010,

6、AxxAxdn解得经 与 代入式(2.5-17)即得系统对于初始条件 与 的响应。1A2A0 x0 x 经过三角函数变换A1=Asin，A2=Acos，方程的解(2.5-17)可以简化为tAxdtnsine(2.5-18)式中A与为待定常数，仍决定于初始条件。 设在t=0时，有x=x0, ，则代入解式(2.5-18)及其导数，得0 xx )sin()cos(ettAxdnddtn在t=0时有)sincos(,sin00ndAxAxcos00Axxdn或解得00020020tg,xxxxxxAnddn将A与代入式(2.5-18)即得系统对于初始条件 与的 响应。0 x0 x 当t， x0，振动最

7、终将消失，所以小阻尼的自由振动也称为衰减振动。 由解(2.5-18)可见，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线 之内，随时间不断衰减。tnAe图 2.5-2 阻尼对自由振动的影响有两个方面： 一方面使系统振动的周期略有增大，频率略有降低，即式中T=2/n和f=n/2为无阻尼自由振动的周期和频率。(2.5-19)2222111ddnTT 212ddff(2.5-20)(1) 小阻尼情况(即1)：Td=1.00125T当=0.3时，与无阻尼的情形比较，只差0.125%。Td=1.05T，fd=0.95f与无阻尼的情形比较，也只差5%。 所以在阻尼比较小时，对周期和频率的影响可以忽略

8、不计。 当=0.05时，另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比dndnnTTttAAAAeee)(2111(2.5-21)式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅减缩到初值的 。 dnTe1在=0.05时，=1.366，A2=A1/1.366=0.73A1亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何级数缩减，衰减是显著的。同样相对阻尼系数可以确定为222(）(2.5-23)为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅来代替减幅系数，即22112elnlndnTTAAdn(2.5-22)即对数缩减表示为唯一的变量的函数。当 1，ccc)ns)1(22, 1(2.5-30)则解为tt

9、nnBBx121122ee(2.5-31)tstsxsxsxxsstx21e)(e)(1)(0102002100 xx）（00 xx）（以初始条件 右端两项的绝对值都随时间t按指数规律衰减，它所表示的运动不再是振动，而是一种非周期的运动。 图2.5-4所示的为此种衰减响应曲线的一种。 图 2.5-4从上面讨论的情况可见，系统振动的性质决定于相对阻尼系数的值。 将式(2.5-13)以为参量，在复平面上画出，如图2.5-5所示。实轴表示之值。 图 2.5-5从图上可见：当 =0时，s1,2=in，是两个虚根，即虚轴上截距为n的对称的两个点，对应于无阻尼自由振动。当0 1，s1和s2是一对共轭复数根

10、，是位于以n为半径的圆上与实轴对称的两个点，对应于弱阻尼状态的衰减振动。当趋向于1，s1和s2都趋近于实轴上-n点，对应于临界阻尼状态。当大于1时，s1和s2是两个实数根，对应于大阻尼状态。随的增大，s1和s2沿实轴反向移动。当时， s1 0 ， s2 。 例例2.5-1 为车辆设计小阻尼减振器，要求振动一周后的振幅减小到第一幅值的1/16。已知车辆质量m=500(kg)，阻尼振动周期Td=1(s)，试求减振器的刚度系数k和阻尼系数c。解解：由 得 ，则对数减幅161121AA1621AA7726. 216lnln21AA 解出阻尼比=0.4037(rad/s) 8677. 6122dnT临界

11、阻尼系数、阻尼系数及弹簧刚度求得如下：(Ns/m) 7 .68678677. 650022ncmc(Ns/m) 49.27727 .68674037. 0ccc(N/m) 65.23582)8677. 6(50022nmk又由式(2.5-20)求得固有频率 由于阻尼可以使振动衰减，所以在工程实际中，阻尼的应用十分广泛，并且恰当的阻尼还可以使振动几乎消失，这为消除有害振动提供了有效途径。1阻尼材料阻尼材料 塑料、橡胶、阻尼陶瓷、阻尼合金、等等。有阻尼自由振动的工程应用有阻尼自由振动的工程应用2机械系统隔振机械系统隔振 工程上许多机械设备，如精密机床，往往被固定在较重的混凝土基础之上，在基础与地面

12、之间铺设一层弹性阻尼衬垫，以隔绝外界振动的干扰，如图所示。 在机械系统中出现自激振动的例子很多，如机床的切削过程，旋转轴的油膜振动，机翼的颤振等等，这都是工程实际中还在继续研究的问题，人们企图在设计过程中预计不发生这种振动，因为这种振动一开始就表现为不稳定的增长运动而导致事故。在重型锻锤隔振系统中应用粘滞阻尼减振器振动造成45度裂缝 重型锻锤是机械、冶金、汽车、船舶等行业广泛使用的重要设备。锻锤在锻打坯料时将产生严重的振动和噪声，许多生产车间的劳动条件因之而恶化，锤基的振动，又通过土壤传给周围环境，对锻工、厂房、精密仪器仪表及工厂周围的居民生活构成一大公害。弹簧粘带阻尼减振器 锻锤安装了减振隔

13、振系统之后，锻锤使用过程中对周围环境影响较小，且衰减较快，明显地减少了振动与噪声这一公害。锻锤直接安装减振器粘滞阻尼减振器的结构与安装使用技术下底座直接弹性支承隔振系统 如图所示为并联粘滞阻尼弹簧隔振器成一体安装于锻锤机体的底部。阻尼器的特性基本上不受温度影响。实践证明，它已可以作为一种标准隔振方案，几乎可以使用于所有种类的锻锤上。锻锤采用弹簧粘滞阻尼减振器设备是一种最佳的选择。 Santana轿车整车薄壁上粘贴高阻尼材料，以达到减振降噪的效果。3桥梁、高塔等高大建筑的消振桥梁、高塔等高大建筑的消振 高大的桥梁、铁塔等建筑物，四周用钢索拉紧。当受到风力、车辆和行人激励时，钢索会产生振动，进而使

14、桥梁、铁塔等建筑物稳定性受到威胁。为此，在钢索上装有阻尼的动力消振器。从20世纪70年代以来，人们开始逐步地把阻尼减振技术转用到建筑、桥梁、铁路等工程中，并发展十分迅速。在航天航空、军工、汽车等行业中早已应用了阻尼器来减振消能。到20世纪末，全世界已有近100多个结构工程运用了阻尼器来吸能减振。Maysville 斜拉桥阻尼器的安置佐治亚州 Sidney Lanier 桥西雅图Novelty 桥Willamette 河行人桥旧金山海湾悬索大桥伦敦Millennium 桥全景长桩阻尼器水平人字安装阻尼器垂直人字安装阻尼器 1999年北京站抗震加固工程采用了先进的阻尼器。在每个方向安装16个130

15、吨非线性液体粘滞阻尼器，阻尼器可以使原结构的阻尼比从5%（一般钢筋混凝土结构）提高到了20%，从而把大震下的层向位移降低到弹性范围内。 美国前贸易中心大楼用了10000个节点阻尼器，使整个结构阻尼增加了两倍。受到风激励后，高楼的振幅比无节点阻尼器时减少80%以上。2001年9月11日纽约世贸中心110层大厦被波音767-200飞机撞击后整体坍塌，原因是钢制支柱在极高的温度(800C)下持续受热造成的动力响应。撞击后，在结构中倾注的飞机燃油引起大火，加热降低了材料的屈服强度，导致沿大厦周边分布的框架管柱和大厦中心部分支柱产生粘塑性(蠕变)屈曲而坍塌。 网球拍或羽毛球拍在击球后产生自由振动，若不在下次击球之前停止振动，将影响再次击球的方向和角度，为此在铁合金管外面绕上石墨