第6章无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计

1、1第第6 6章章 无限长单位脉冲响应无限长单位脉冲响应（IIRIIR）滤波器设计）滤波器设计 2滤波器的分类滤波器的分类n经典滤波器（一般滤波器）：经典滤波器（一般滤波器）：信号和干扰的频带互不重叠时采用信号和干扰的频带互不重叠时采用n现代滤波器：现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）自适应滤波器等）n功能功能高通、低通、带通、带阻高通、低通、带通、带阻n结构结构递归系统递归系统 IIR非递归系统非递归系统 FIR3滤波器的设计滤波器的设计n直接设计法直接设计法在时域或频域直接

2、设计数字滤波器在时域或频域直接设计数字滤波器n间接设计法间接设计法根据指标要求设计模拟滤波器根据指标要求设计模拟滤波器将模拟滤波器转换为数字滤波器将模拟滤波器转换为数字滤波器46.1 模拟滤波器设计模拟滤波器设计n模拟滤波器的设计步骤模拟滤波器的设计步骤确定指标确定指标选择滤波器的类型选择滤波器的类型计算滤波器的阶数计算滤波器的阶数查表或计算滤波器的参数，确定系统函数查表或计算滤波器的参数，确定系统函数综合实现及装配调试综合实现及装配调试n模拟滤波器的传输函数：模拟滤波器的传输函数： 选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。幅频特性体

3、现了各频率成分幅度的衰减幅频特性体现了各频率成分幅度的衰减,而相频特性体现的是不同成分在而相频特性体现的是不同成分在的延时的延时.对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题。对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题。()() |()|jH jH je 56.1.1 模拟滤波器的设计指标模拟滤波器的设计指标n 通带边界频率，通带边界频率， 阻带边界频率，阻带边界频率， 3dB截止频率截止频率n系统通带和阻带的误差要求系统通带和阻带的误差要求通带常数特性要求通带常数特性要求通带最大衰减，或通带峰值波纹，或通带波纹幅度，用分贝表示通带最大衰减，或通带峰值波纹，或通带波纹幅度，用分贝表示 psc21()

4、11apHj 22120lg110lg(1)pdB /10101pH(j)16阻带常数特性要求阻带常数特性要求阻带最小衰减，或阻带峰值波纹，或阻带波纹幅度，用分贝表示阻带最小衰减，或阻带峰值波纹，或阻带波纹幅度，用分贝表示1()asHjA /2010sA120lg()20lgsAdBA 7n损耗函数：损耗函数：描述幅频响应特性描述幅频响应特性n3dB截止频率截止频率2( )20lg()10lg()aaHjHj ()3cdB损耗函数优点损耗函数优点: : 对幅频响应对幅频响应| |H Ha a( (jj)|)|的取值非线性压缩的取值非线性压缩, , 放大小的幅度放大小的幅度. .8wp=2*pi

5、*500;ws=2*pi*600;Rp=0.1;As=60;%设计切比雪夫II型N2,ws2=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,s);B2,A2=cheby2(N2,As,ws2,s);k=0:511;fk=0:1000/512:1000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B2,A2,wk);subplot(2,1,1);plot(fk,abs(Hk);grid onxlabel(频率(Hz);ylabel(幅度)axis(0,1000,0,1.1)subplot(2,1,2);plot(fk,20*log10(abs(Hk);grid onxlabel(频率(Hz);ylabe

6、l(幅度(dB)axis(0,1000,-100,10)9两个附加参数两个附加参数n过渡比或选择性参数过渡比或选择性参数反映过渡带的性能，过渡带越窄，反映过渡带的性能，过渡带越窄，k值趋近于值趋近于1低通滤波器低通滤波器n偏离参数偏离参数 越小，通带、阻带的纹波越小越小，通带、阻带的纹波越小psk1k 121kA1k10技术指标技术指标: :n 通带边界频率，通带边界频率，psp阻带边界频率，阻带边界频率，s片段常数片段常数11n模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择。的

7、模拟滤波器供选择。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。使用。 n典型滤波器典型滤波器巴特沃斯（巴特沃斯（Butterworth）滤波）滤波切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）滤波器；）滤波器；贝塞尔（贝塞尔（Bessel）滤波器；）滤波器；椭圆（椭圆（Ellipse）滤波器。）滤波器。126.1.2巴特沃斯（巴特沃斯（Butterworth）模拟低通滤波器设计）模拟低通滤波器设计n巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器N阶巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：阶巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：N为滤波器的阶次

8、，为滤波器的阶次， 为为3dB截频。截频。221|()|1 ()aNcHjc13n巴特沃斯低通滤波器特点巴特沃斯低通滤波器特点n在在 点，具有最大幅度点，具有最大幅度: 1n滤波器幅频响应随滤波器幅频响应随 的增大而单调下降的增大而单调下降.n损耗函数损耗函数0 21| )(|jHacN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 12( )20lg()110lg()aaHjHj 210lg 1 ()Nc14n滤波器的特性由滤波器的特性由3dB截止频率和阶数截止频率和阶数N确定确定n滤波器的给定指标为滤波器的给定指标为通带边界频率通带边界频率阻带边界频率阻带边界频率通带最小幅度通带最小幅度阻带最

9、大波纹阻带最大波纹n截止频率与阶数如何确定？截止频率与阶数如何确定？2( )10lg 1 ()Nc 2()10lg 1()10lg23cccNdB21| )(|jHacN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 1ps2111A15截止频率与阶数如何确定？截止频率与阶数如何确定？n滤波器幅频响应随频率的增大而单调下降滤波器幅频响应随频率的增大而单调下降n于是于是22211()1(/)1ppaNcHj22211()1 (/)aNcssHjA2()1NspA21lg1lglglg()psAkNk1lglgkNk1pcN n满足通带指标，阻带指标有富裕满足通带指标，阻带指标有富裕n满足阻带指标，通

10、带指标有富裕满足阻带指标，通带指标有富裕122(1)scNA 16n滤波器的给定指标为滤波器的给定指标为通带最大衰减通带最大衰减阻带最小衰减阻带最小衰减n先求先求n确定截止频率与阶数确定截止频率与阶数2120lg1p/2010sA120lg()20lgsAdBA /10101p17巴特沃斯低通滤波器的系统函数巴特沃斯低通滤波器的系统函数n 三种形式三种形式n归一化归一化( )( )NcaNHsDs10( )( )NNkNNkkDsBssb s21122()1( )()kNNjNckkkDssppe/22101( )( )( )NNkkkkkDsB sB ssb sb ( )NDs( )1/(

11、)NG pDpn去归一化去归一化/( )( )cap sHsG p18N-极点极点19N-分母多项式系数分母多项式系数20N-分母因式分母因式21 低通巴特沃斯滤波器设计步骤：低通巴特沃斯滤波器设计步骤：n由由 求滤波器阶次求滤波器阶次N N；n由由N N查表，求出归一化极点查表，求出归一化极点 和归一化系统函数和归一化系统函数G(p)G(p)（P140 P140 ）n令令 代入代入G(p) G(p) ，得实际，得实际 滤波器传输函数滤波器传输函数Ha(s) Ha(s) 。（去归一）。（去归一）ppss、csp/kp22例：已知通带边界频率例：已知通带边界频率 ，通带最大衰减，通带最大衰减 ，

12、阻带截止频率阻带截止频率 ，阻带最小衰减，阻带最小衰减 ，设计，设计巴特沃斯低通滤波器。巴特沃斯低通滤波器。n解：解： 1）确定阶次）确定阶次N：n可得可得Nn按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 5sfkHz1pdB1pfkHz40sdB/2040/201010100sA/101/101011010.508847ppsk120.508850.00508999991kA1lg3.28114lgkNNk11/82229934.7/9999(1)sscNfrad sA 23n查表求分母因式：查表求分母因式：n系统函数系统函数224( )(0.76541)

13、(1.84781)Dppppp422221( )( /)(0.7654)(1.8478)aNccccccHsDsssss246.1.3切比雪夫（切比雪夫（chebyshev）滤波器）滤波器 n切比雪夫切比雪夫1型型通带内等波纹，阻带内单调下降通带内等波纹，阻带内单调下降n切比雪夫切比雪夫2型型通带内单调下降，阻带内等波纹通带内单调下降，阻带内等波纹n巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次（或者说，为了使通带

14、内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高，）很高，切比雪夫滤波器的纹波在通带范围内是等幅起伏的，同样的通带衰减，其阶数切比雪夫滤波器的纹波在通带范围内是等幅起伏的，同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。较巴特沃兹滤波器要小。25n切比雪夫切比雪夫1型的幅度平方函数：型的幅度平方函数：n通带边界频率通带边界频率n通带波纹参数通带波纹参数nN阶切比雪夫多项式：阶切比雪夫多项式：n多项式递推公式：多项式递推公式：2221()1()aNpHjCcos(arccos ),| 1( )cosh(arcosh ),| 1NNxxCxNxxp1201( )2( )( )2( )1( )NNNCxxCxCxN

15、C xC xx)(, 11)(,1xVxxxVxNN时26 切比雪夫滤波器的振幅平方特性 27阻带边界频率阻带边界频率nN大于等于上式的最小整数大于等于上式的最小整数2222221()1()111cosharcosh()assNpspHjCAN2111arcosharcosh()1arcosh()arcosh()spNAkk2arcosh( )ln(1xxx28滤波器的系统函数滤波器的系统函数1( ),( )()NNppakkkNNkkHssjDsss (21)(21)sinsin22kpkpkkNN 1/222111122N29n切比雪夫切比雪夫型型通带内单调下降，阻带内等波纹通带内单调下降

16、，阻带内等波纹n幅度平方函数：幅度平方函数：n阶数阶数N的计算的计算 psA2111arcosharcosh()1arcosh()arcosh()spNAkk2221()()1()asNpsNHjCC30系统函数系统函数11()( ),1,2,()NkkakkkNkkszHsCpjkNsp (21)(21)sincos22kpkpkkNN 221/211122NAA(21)cos2skzjkN2222skskkkkkkk 316.1.4椭圆滤波器（考尔滤波器）椭圆滤波器（考尔滤波器）n幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的n对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波

17、器能获得较其它滤波器对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。n通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄；通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄；n阶数固定，通带和阻带纹波越小，过渡带越宽；阶数固定，通带和阻带纹波越小，过渡带越宽；32102040pspspsdBdBdB=1dB=0.1dB=0.05dB336.1.5贝塞尔滤波器贝塞尔滤波器n在通带内逼近线性相位特性在通带内逼近线性相位特性 346.1.6 MATLAB设计模拟滤波器设计模拟滤波器1、巴特沃思滤波器、巴特

18、沃思滤波器N,wc=buttord(wp, ws, Rp, As)计算数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc.wp, ws为数字滤波器的边界频率归一化值N,wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s)计算模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率wc.wp, ws为实际角频率35z, p, G=buttap(N)计算归一化的模拟低通滤波器系统函数的零极点和增益因子B, A=zp2tf(z, p, G)(1)(2)()( )(1)(2)()szszszNHa sGspspspN11211121( )NNNNNNNNB sB sB sBHa sAsA sA sA36B, A=butter(N

19、, wc, ftype) 数字滤波器ftype- high stopB, A=butter(N, wc, ftype，s) 模拟滤波器37例：已知通带边界频率例：已知通带边界频率 ，通带最大衰减，通带最大衰减 ，阻带截止，阻带截止频率频率 ，阻带最小衰减，阻带最小衰减 ，设计巴特沃斯低通滤波，设计巴特沃斯低通滤波器。器。n解：解：nwp=2*pi*1000;ws=2*pi*5000;Rp=1;As=40; %设置滤波器参数设置滤波器参数nN,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s); %计算滤波器阶数计算滤波器阶数N和和3dB截止频率截止频率nB,A=butter(N,wc,s);

20、%计算滤波器系统函数分子分母多项式系数计算滤波器系统函数分子分母多项式系数nk=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;nHk=freqs(B,A,wk);nplot(fk,20*log10(abs(Hk);grid onnxlabel(频率频率(Hz);ylabel(幅度幅度(dB)naxis(0,6000,-50,1.5)5sfkHz1pdB1pfkHz40sdB38z，p, k=cheb1ap(N, Rp)切比雪夫切比雪夫I型滤波器型滤波器B, A=cheby1(N, Rp, wpo, ftype)N, wpo=cheb1ord(wp, ws, Rp, A

21、s)N, wpo=cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s)B, A=cheby1(N, Rp, wpo, ftype，s)与巴特沃思设计函数的不同之处：与巴特沃思设计函数的不同之处：wpowpo为通带截止频率为通带截止频率39z，p, k=cheb2ap(N, Rs)切比雪夫切比雪夫II型滤波器型滤波器B, A=cheby2(N, Rp, wso, ftype)N, wso=cheb2ord(wp, ws, Rp, As)N, wso=cheb2ord(wp, ws, Rp, As, s)B, A=cheby2(N, Rp, wso, ftype，s)与巴特沃思设计函数的不同之处

22、：与巴特沃思设计函数的不同之处：wsowso为阻带截止频率为阻带截止频率40例：已知通带边界频率例：已知通带边界频率 ，通带最大衰减，通带最大衰减 ，阻带截止频率阻带截止频率 ，阻带最小衰减，阻带最小衰减 ，设计，设计切比雪夫低通滤波器。切比雪夫低通滤波器。n解：解：nwp=2*pi*1000;ws=2*pi*5000;Rp=1;As=40;%设计切比雪夫设计切比雪夫1型型nN1,wp1=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,s);nB1,A1=cheby1(N1,Rp,wp1,s);%设计切比雪夫设计切比雪夫1型型nN2,ws2=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,s);nB2,A

23、2=cheby2(N2,As,ws2,s);nk=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;nHk=freqs(B1,A1,wk);5sfkHz1pdB1pfkHz40sdB41figure(1);plot(fk,20*log10(abs(Hk);grid onxlabel(频率(Hz);ylabel(幅度(dB)title(a) 切比雪夫1型滤波器);axis(0,6000,-70,5)Hk=freqs(B2,A2,wk);figure(2);plot(fk,20*log10(abs(Hk);grid onxlabel(频率(Hz);ylabel(幅度(dB)t

24、itle(b) 切比雪夫2型滤波器);axis(0,6000,-70,5)42z，p, k=ellipap(N, Rp, As)椭圆滤波器椭圆滤波器B, A=ellip(N, Rp, wpo, ftype)N, wpo=ellipord(wp, ws, Rp, As)N, wpo=ellipord (wp, ws, Rp, As, s)B, A=ellip(N, Rp, wpo, ftype，s)43% 椭圆滤波器设计程序wp=2*pi*1000;ws=2*pi*5000;Rp=1;As=40; %设置指标参数N,wpo=ellipord(wp,ws,Rp,As,s); %计算阶数和通带边界频

25、率B,A=ellip(N,Rp,As,wpo,s); %计算系统函数系数k=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk,20*log10(abs(Hk);grid onxlabel(频率(Hz);ylabel(幅度(dB)axis(0,6000,-70,5)44z，p, k=besselap(N)贝塞尔滤波器贝塞尔滤波器B, A=besself(N, wc)B, A=besself(N, wc, ftype)%设计Bessel滤波器N=3;wc=2*pi*1000; %设置指标参数B,A=besself(N,wc);

26、 %计算低通模拟滤波器系统函数系数456.1.7模拟滤波器的比较模拟滤波器的比较n相同阶数的频率响应特性相同阶数的频率响应特性相同通带最大衰减、阻带最小衰减，巴特沃思滤波器的过渡带相同通带最大衰减、阻带最小衰减，巴特沃思滤波器的过渡带最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；n相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高n巴特沃思滤波器单调下降巴特沃思滤波器单调下降n切比雪夫切比雪夫I滤波器通带等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降滤波器通带等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降n切比雪夫切比雪夫II滤波器阻带等

27、波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降滤波器阻带等波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降n椭圆滤波器通带、阻带等波纹幅频特性，过渡带单调下降椭圆滤波器通带、阻带等波纹幅频特性，过渡带单调下降 五种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，五种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，求合理选用。求合理选用。466.1.8频率变换与高通、高通、带通及带阻滤波器的设计频率变换与高通、高通、带通及带阻滤波器的设计n高通滤波器高通滤波器滤波器指标滤波器指标1()HPHj112shphn通带边界频率：通带边界频率：n阻带边界频率：阻带边界频率：n通带纹波幅度：通带纹波幅度：n

28、阻带纹波幅度：阻带纹波幅度：21phsh47n通带边界频率：通带边界频率：上边界频率上边界频率下边界频率下边界频率n阻带边界频率：阻带边界频率：上边界频率上边界频率下边界频率下边界频率n通带纹波幅度：通带纹波幅度：n阻带纹波幅度：阻带纹波幅度：带通及带阻滤波器带通及带阻滤波器1()BPHj112slplsupu21plpuslpusu48带阻滤波器的性能指标带阻滤波器的性能指标n通带边界频率：通带边界频率：上边界频率上边界频率下边界频率下边界频率n阻带边界频率：阻带边界频率：上边界频率上边界频率下边界频率下边界频率n通带纹波幅度：通带纹波幅度：n阻带纹波幅度：阻带纹波幅度：211()BSHj1

29、12slplsupuplpuslpu49高通、带通及带阻滤波器的设计高通、带通及带阻滤波器的设计n归一化低通滤波器原型归一化低通滤波器原型通带边界频率为通带边界频率为1的模拟滤波器的模拟滤波器n高通、带通及带阻滤波器的设计过程高通、带通及带阻滤波器的设计过程采用频率变换公式，将滤波器的技术指标转换成归一化低通滤波采用频率变换公式，将滤波器的技术指标转换成归一化低通滤波器指标器指标利用精典滤波器的设计公式、图表，设计归一化低通滤波器的系利用精典滤波器的设计公式、图表，设计归一化低通滤波器的系统函数统函数通过频率变换公式，由通过频率变换公式，由 获得希望滤波器的系统函数获得希望滤波器的系统函数(

30、)G p( )G p50符号规定符号规定n归一化低通滤波器原型归一化低通滤波器原型边界频率边界频率n希望模拟滤波器的系统函数希望模拟滤波器的系统函数n频率变换公式频率变换公式n于是于是( )G ppjp( )dHssj 1( )( )pF ssFp( )( )( )dp F sHsG p1()( )( )ds FpG pHs511 模拟高通滤波器的设计模拟高通滤波器的设计n低通原型到高通滤波器的频率变换低通原型到高通滤波器的频率变换在虚轴上在虚轴上高通滤波器通带边界频率高通滤波器通带边界频率映射关系映射关系 低通低通 高通高通pphpspph pjsj 0,0 ,ppsspp , 00,php

31、hshshph 1()HPHj112shph1( )G p112sppph52例例 设计巴特沃思模拟高通滤波器设计巴特沃思模拟高通滤波器,通带边界频率为通带边界频率为fp=4kHz，阻带边界频，阻带边界频率为率为fs=1kHz，通带最大衰减为，通带最大衰减为0.1dB（fp处），阻带最小衰减处），阻带最小衰减s=40dB。解：高通滤波器指标解：高通滤波器指标1）确定相应低通原型滤波器的指标）确定相应低通原型滤波器的指标( )( )pphHPpsHsG p410.140pspsfkHz fkHzdBdB24000421000pphss1p0.140psdBdB532)设计巴特沃斯低通滤波器。设计

32、巴特沃斯低通滤波器。n 确定阶次确定阶次N：n可得可得Nn按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 /2040/201010100sA/100.1/101011010.1526204p10.254psk120.15262040.0015262899991kA1lg4.75lgkNNk11/102241.599999(1)scNA 140.140pspsdBdB54n归一化的归一化的 5 阶滤波器的系统函数阶滤波器的系统函数n3）高通滤波器的系统函数）高通滤波器的系统函数54325( )3.23615.23615.23613.23611D qppppp55

33、423324554321( )(/)3.23615.23615.23613.236110.24055.153313.27821.144520.810110.2405NcccccccG pDppppppppppp54420( )( )15.1073 109.7921 10pphHPpsHsG pss55MATLABwp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40; %设置滤波器指标参数设置滤波器指标参数N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s); %滤波器滤波器G(p)阶数阶数N和和3dB截止频率截止频率B,A=butter(N,wc,s); %计算低通滤波器计算低通滤波器G(p)系统函

34、数分子分母多项式系数系统函数分子分母多项式系数wph=2*pi*4000; %高通模拟滤波器通带边界频率高通模拟滤波器通带边界频率BH,AH=lp2hp(B,A,wph) %低通到高通转换低通到高通转换562.低通到带通的频率变换低通到带通的频率变换:n低通原型到带通滤波器的频率变换低通原型到带通滤波器的频率变换在虚轴上在虚轴上n通带边界频率：上边界频率通带边界频率：上边界频率 下边界频率下边界频率n高通滤波器的带宽高通滤波器的带宽n带通滤波器的中心频率带通滤波器的中心频率220pWspB s220pWB pjsj plpuWpuplB 057映射关系映射关系0,ppss0,plpupupls

35、uslsusl58减少减少 ，或增加，或增加减少减少 ，或增加，或增加带通滤波器的系统函数带通滤波器的系统函数n可以证明：可以证明：n如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标 ， 220( )( )pWsBPpB sHsG p20plpuslsu plpuslsu plpuslsu plslsupu59例：设计巴特沃思模拟带通滤波器，通带上下边界频率分别为例：设计巴特沃思模拟带通滤波器，通带上下边界频率分别为4kHz和和7kHz，阻带上、下边界频率分别为，阻带上、下边界频率分别为2kHz和和9kHz， 通带内最大衰减通带内最大衰减p=3dB，

36、阻带最小衰减，阻带最小衰减s=20dB。解：解：1）高通滤波器指标）高通滤波器指标 增大增大2）低通原型滤波器指标）低通原型滤波器指标4712920plpupslsusfkHz fkHzdBfkHz fkHzdBplpuslsufff f,3.1111plpuslslsuffffkHzf222205.53.11111.9633 3.1111slspWffffB f 120psdBdB603）设计低通原型滤波器）设计低通原型滤波器4）求模拟带通）求模拟带通H(s)： 220( )( )pWsBPpB sHsG p613.低通到带阻的频率变换低通到带阻的频率变换:n低通原型到带阻滤波器的频率变换低

37、通原型到带阻滤波器的频率变换在虚轴上在虚轴上n阻带边界频率：上边界频率阻带边界频率：上边界频率 下边界频率下边界频率n带阻滤波器的带宽带阻滤波器的带宽n带阻滤波器的中心频率带阻滤波器的中心频率220WpB sps220WpB pjsj slsuWsuslB 062映射关系映射关系0,ppss0,slsususlpuplpupl63减少减少 ，或增加，或增加减少减少 ，或增加，或增加带阻滤波器的系统函数带阻滤波器的系统函数n可以证明：可以证明：n如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标 ， 220( )( )WpB sBSpsHsG p20pl

38、puslsu plpuslsu plpuslsu pususlpl646.2 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计n目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数n间接法设计过程间接法设计过程确定数字滤波器的指标确定数字滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标设计过渡模拟滤波器设计过渡模拟滤波器将过渡模拟滤波器转换为数字滤波器将过渡模拟滤波器转换为数字滤波器n指标转换指标转换( )H z( )aHs( )H z22pppsssssssfFFfFF0,0, 2 sF65过渡模拟滤波器转换为数字滤波器的要求过渡模拟滤波器转换为数字

39、滤波器的要求nHa(s)的特性：的特性： 因果稳定性因果稳定性: 全部极点位于全部极点位于s平面的左半平面。平面的左半平面。 与傅里叶变换的关系：与傅里叶变换的关系： 虚轴的上虚轴的上Ha(s)nH(z)的特性的特性: 因果稳定性因果稳定性: 全部极点位于全部极点位于z平面的单位圆内。平面的单位圆内。 与傅里叶变换的关系：与傅里叶变换的关系：单位圆上的单位圆上的H(z)()(zHsHa转换成数字设计模拟666.2.1脉冲响应不变法脉冲响应不变法n基本思想基本思想使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性；使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性；从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的从滤波器的脉冲响应出发，使数

40、字滤波器的h(n)正好等于模拟滤正好等于模拟滤波器的波器的ha(t)的采样值，即的采样值，即 )()()()(zHznThthsHaaa函数变换得数字滤波器传递取进行采样得：取拉氏逆变换得：得：由模拟滤波器设计理论( )(),( ) ( )ah nh nTH zZT h n67n滤波器系统函数（部分分式）滤波器系统函数（部分分式）n模拟滤波器的单位冲激响应模拟滤波器的单位冲激响应n采样采样nZ变换变换n单极点、分母阶次高于分子阶次，可直接由单极点、分母阶次高于分子阶次，可直接由 获得获得( )( )aH sH z1( )NkakkAHsss1( )( )kNs takkhtA eu t11(

41、)()( )()( )kkNNs nTs Tnakkkkh nh nTA eu nA eu n11( )1kNks TkAH zez( )aH s( )H z68因果稳定性分析：因果稳定性分析： sTzeS平面与平面与Z平面之间的平面之间的极点极点映射关系映射关系进一步可证明：进一步可证明：S平面与平面与Z平面之间的映射关系平面之间的映射关系ks TkzesTzejsjzre 令()jjTTj Treeee 69Tre单位圆外部单位圆外部r1右半平面右半平面 0单位圆内部单位圆内部r1左半平面左半平面 0单位圆单位圆r=1虚轴虚轴 =0Z平面平面S平面平面s平面到平面到z平面的平面的映射是映射

42、是多值映射。T 辐射线辐射线=0 0T T平行直线平行直线 =0 0正实轴正实轴=0实轴实轴 =0Z平面平面S平面平面:/TT:3 /TT /3 /TT:71( )( )at nTh nh t()jH e()aHj12()()jakkH eHjTT数字滤波器的频响并数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周模拟滤波器频响的周期延拓期延拓72n无混叠失真的条件：无混叠失真的条件：带限、满足采样定理带限、满足采样定理n混叠失真的影响混叠失真的影响相似性变差、无法满足阻带衰减指标相似性变差、无法满足阻带衰减指标n脉冲响应不变法的优缺点

43、：脉冲响应不变法的优缺点：（1）频率坐标变换是线性的，数字滤波器在无频率混叠时能较好地重现原模拟）频率坐标变换是线性的，数字滤波器在无频率混叠时能较好地重现原模拟滤波器的频率特性；滤波器的频率特性；（2）由于数字域的冲激响应模仿模拟域的冲激响应，故时域特性逼近好；）由于数字域的冲激响应模仿模拟域的冲激响应，故时域特性逼近好；（3）模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲）模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。（4）产生频率混叠现象，不适合高通、带阻滤波器

44、的设计。）产生频率混叠现象，不适合高通、带阻滤波器的设计。20)(sajH73增益的补偿增益的补偿2()1()jakkH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez( )( )at nTh nTh t2()()jakkH eHjTT T很小时增益很大很小时增益很大, , 易造成数字滤波器溢出易造成数字滤波器溢出改进改进: :74共轭极点的合并共轭极点的合并n避免复数乘法避免复数乘法n其中其中11( )1kNks TkTAH zez101112112111kkkkkks Ts TkkTATAbb zeza zazezkkkkkksjsj 01122Re,2Re2cos(),2kkkkTT

45、kkkkTTkkkbTAbTeA eaeTae /210112112( )1Nkkkkkbb zH za zaz75例例 将一个具有如下传递函数 的模拟滤波器数字化。 解：s1=-1, s2=-3 3111) 3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT11( )1kNks TkAH zez76数字滤波器的频率响应为: 显然 与采样间隔T有关,如图b,T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计.模拟滤波器的频率响应为模拟滤波器的频率响应为:4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHajs2433)(1

46、)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj)(jeH7778教材教材 例例6.2.179例例622 脉冲响应不变法设计，通带和阻带均为单调下降特性， p=0.2, s=0.35, p=1dB, s=10dB解题思路：解题思路：1、 /，数字指标转模拟指标； 2、设计模拟滤波器； 3、转换成数字滤波器（脉冲响应不变法）结果如下图所示：结果如下图所示： 802sT=1sT=0.1s816.2.2 双线性变换法设计双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器n克服脉冲响应不变法的频谱混叠现象，采用非线性频率压缩方法。克服脉冲响应不变法的频谱混叠现象，采用非线性频率压缩方法。n双线性变

47、换法的基本设计思想双线性变换法的基本设计思想脉冲响应不变法：波形逼近脉冲响应不变法：波形逼近双线性变换法：算法逼近。双线性变换法：算法逼近。用线性常系数差分方程用线性常系数差分方程逼近逼近线性常系数微分方程线性常系数微分方程82n微分方程到差分方程的近似微分方程到差分方程的近似微分方程微分方程近似近似差分方程差分方程11( )( )NNkaakkkkAHsHsss( )kakkAHsss( )( )( )akakadyts ytA xtdt( ) ( )(1)/,( )()aadyty ny nTy nynTdt ( )(1)/ ( )(1)/ 2 ( )(1)/ 2kky ny nTsy n

48、y nAx nx n( ) ( )(1)/ 2ayty ny n( ) ( )(1)/ 2,( )()aaxtx nx nx nxnT83n系统函数系统函数nS域到域到z域的映射为双线性变换域的映射为双线性变换112 1111( )( )2 11kzkaksTzkAHzHszsTz11211( )( )zasTzH zHs112 11zsTz( )kakkAHsss84双线性变换的性能分析双线性变换的性能分析n稳定性稳定性映射关系映射关系1122TTzSS1()1()22TTjj 222221/2(/2)1/2(/2)TTzTT 010101zzz因果稳定因果稳定( )aHs因果稳定因果稳定(

49、 )H z85非线性频率压缩非线性频率压缩/2/2/2/2/2/2/2/2/2/22 11222sin(/ 2cos(/ 2)2tan()2jjjjjjjjjjjjejTeeeeT eeeeeT eejTjT )0112 11zsTz2tan()2T 86频率响应的畸变频率响应的畸变n幅频特性幅频特性 相频特性相频特性0 0| )(|jeH| )(|jHa0 00 00 0)(jeH)( jHa0 00 02tan()2T 87频率响应的畸变频率响应的畸变n幅频特性例幅频特性例288问题问题: 双线性变换使得数字滤波器幅频响应曲线有较大的失真双线性变换使得数字滤波器幅频响应曲线有较大的失真办法

50、办法: 将数字滤波器指标将数字滤波器指标 模拟滤波器指标，模拟滤波器指标， 按非线性关系式计算模拟滤波器边界频率按非线性关系式计算模拟滤波器边界频率 则所得数字滤波器的幅频响应特性必然满足指标。则所得数字滤波器的幅频响应特性必然满足指标。 此为此为“预畸变校正预畸变校正”。 psps22tan, tan 22TT89双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤1）确定数字低通技术指标： 通带边界频率 、通带衰减 阻带边界频率 、阻带衰减 ；2）将数字低通指标转换成模拟低通指标： 不变, 边界频率预畸校正：3）设计模拟低通滤波器；4）转换成数字低通滤波器：psps)2tan(2Tps22tan()tan()22pspsTT112 11( )( )zasTzH zHs90T的选择的选择n给定数字滤波器给定数字滤波器 T可以任意选可以任意选n给定模拟滤波器给定模拟滤波器T如何选？如何选？91n用双线性变换法设计低通滤波器，通带阻带单调下降，指标要求如下：用双线性变换法设计低通滤波器，通带阻带单调下降，指标要求如下：n解：解：1）转换成模拟低通指标）转换成模拟低通指标2）设计过渡模拟滤