第6章_无限冲激响应数字滤波器设计

1、第6章 无限冲激响应(IIR） 滤波器设计6.1 滤波器的基本概念；6.2 模拟低通滤波器设计；6.3 模拟高通、带通及带阻滤波器设计；6.4 冲激响应不变法；6.5 双线性Z变换法；6.6 数字高通、带通及带阻滤波器设计；| )(| )(|;)(| )(|;)(| )(jjjeYceHbeXa( )( )( )|,|ccx nh ny n通过系统后使输出中不再含有的频率成分 而使的成分不失真的通过.1. 滤波原理6.1 滤波器的基本概念若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 有效去除. 分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS)

2、 2. 滤波器的分类( )x n( )( )( )x ns nu n加法性噪声( )u n( )s n( )u n每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器.对数字滤波器, 从实现方法上, 有IIR滤波器和FIR滤波器之分, 转移函数分别为:NkkkMrrrzazbzH101)(10)()(NnnznhzHFIR DF:IIR DF:种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预 测、自适应滤波器( )( ) ( )x ns n u n乘法性噪声( )( )* ( )x ns nu n卷积性噪声信号的频谱和噪声道频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列

3、)中估计出信号的某些特征或信号本身。阻带下限截止频率又称通带上限频率通带截止频率:)(:sp3. 滤波器的技术要求低通：p：通带允许的最大衰减；s：阻带内应达到的最小衰减| )(|lg20| )(| )(|lg20| )(|lg20| )(| )(|lg2000ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH单位 (dB)若幅度下降到 0.707, 则幅平方下降 0.5 （半功率点）：0|()|120lg20lg3dB0.707|()|pjpjH eH e若幅度下降到 0.01：0|()|120lg20lg40dB0.01|()|pjsjH eH e高通：p：通带允许的最大衰减；s：阻带内应达

4、到的最小衰减带通：p：通带允许的最大衰减；s ： 阻带内应达到的最小衰减带阻：p：通带允许的最大衰减；s：阻带内应达到的最小衰减1. 给定所设计的滤波器的技术指标：,pspssfLP, HP13,slshpssfBP, BS 2. 设计出一个 ，使( )H z()jH e满足给定的技术要求没有考虑相位给定数字滤波器的技术指标 （更多）,psps 得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器( )H z得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器( )H s转换成模拟低通滤波器的技术指标,psps 设计模拟低通滤波器( )G p转换成模拟滤波器的技术指标 （更多）,psps,( ):ppssG s给定模拟低通滤

5、波器的技术指标设计低通滤波器NNNNNNNNscscsccsdsdsddsG 11101110)(210lg |()|,.pspsG j使其对数幅频响应在处分别达到的要求6.2 模拟低通滤波器的设计一、概述10/ )(210| )(|jG22()1( )10lg10lg()|()|X jY jG j )(定义衰减函数22()10lg|()|()10lg|()|pppsssG jG j 上面两式将要求的衰减和模拟滤波器的幅平方特性联系了起来。注意，由于衰减指标只有两个，因此也只能和幅平方特性的两个特殊频率相联系。 我们的目的是由幅平方特性 求出模拟滤波器的转移函数 ，如何将二者联系起来( )G

6、s2|()|G j*2( )( )( ) ()|()|sjG s G sG s GsG j 因为2|()|( )G jG s就很容易得到所需要的所以，由 注意，由于由于衰减指标只有两个，只能和幅平方特性的两个特殊频率相联系，因此，幅平方特性的表达式必须简化。2| )(|jG将 按不同的原则简化，可得到不同形式的滤波器，即不同的 表达式：( )G s.,)(11| )(|222为待定的滤波器阶次为待定常数 NCCjGN1. 巴特沃思(Butterworth)滤波器221( )cos ( cos)nCn 定义)(11| )(|222nCjG2. 切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器2222

7、21|()|()1(/)nsnsG jCC3. 切比雪夫II型滤波器)(11| )(|222nUjG2( )nU：Jacobian 函数本课程只讨论 Butterworth 和 Chebyshev-I 滤波器的设计4. 椭圆滤波器1. 将实际频率归一化，得归一化幅平方特性2221|()|,1NpG jC2. 求 和 CN2221( )10lg10lg1|()|NCG j 由：22( )/10101NC 有：/1022/ 0221101101psNpNsCC/102101pC求出C二式相比二、Butterworth滤波器的设计/10/10101lg/lg101spsN对Butterworth滤波

8、器，通常 ，所以3dBp/1020.31011011pC /10lg 101 lgssN22211|()|11(/)NNpG j 如何由上述的幅平方特性得到 系统的转移函数( )G p3. 确定( )G p/psjpj /pppjjs 221|()|1NG j/pj2211( ) ()1 (/ )1 ( 1)NNNG p Gppjp 21 ( 1)0NNp 21exp2kkNpjNNk2 , 2 , 1 即 个极点均匀分布在 平面半径为 1的圆上，应取左半平面的 个予 ，右半平面的 个赋予 2N( )s pN( )G pN()Gp( ) ()G p GpNk, 2 , 1 则：则：)()(1)

9、(21NpppppppG 1,.kNkNpp 若为偶数及这对共轭极点 构成一个二阶系统121( )()()1212 cos() 12kkNkGpppppkNppN 2/1)()(NkkpGpG为偶数N21exp2kkNpjN,( )(1)/2.NG pN 若 为奇数由一个一阶系统和 个二阶系统相级联2/ )1(1)(11)(NkkpGppG为奇数N又因为后得到,)(pGppsjjp/,( ).pspG s用代替 即得实际需要的/( )( )pp sG sG p 反映了实际频率p20,0, |()|1,(0)0,0G j (1) 当时即在处无衰减;4.巴特沃思滤波器幅频响应的特点:2,1, |(

10、)|0.5, |()| 0.707,3dB;pppppG jG j (2) 当即时2221, |()|,(), |()|,|()|G jNG jG j(3) 当 由零增加到 时单调减小单调增加越大减小的越慢 即在通带内越平；2,1, |()|,1,ppG jN (4) 当即时也是随着的增加而单调减少 但因所以这时比通带内衰减速度加快越大 衰减速度越大;22(5) |()|0, 1G jN 在处对的一阶 二阶 直至阶导数皆为零.例：给定 如下技术指标，设计模拟低通 Butterworth滤波器5000Hz,10000Hz,3dB,30dB,pspsffStep1. 1,2,3dB,30dB,ps

11、psStep2. 30/101;lg 101 lg25CNStep3. exp (2)5,1,2,3,4,5kpj kkStep4. 12345( ) 1 ()()()()()G pppppppppppStep5. 20542500010( )( )(10)()()spG sG psss切比雪夫多项式的特点：221( )cos ( cos)nCn 1coscos( )cos()nCn )(11| )(|222nCjG三、切比雪夫I型模拟低通滤波器设计1112( )2( )( )( )2( )( )nnnnnnCCCCCC 的多项式11( )cos(1)cos()cos( )sin()sin(

12、)( )cos(1)cos()cos( )sin()sin( )nnCnnnCnnn 012210332142432( )cos(0)1( )cos( )( )2( )( )21( )2( )( )43( )2( )( )881CCCCCCCCCCC 的确是 的多项式首项系数是12n(1)1nC,1. 将频率归一化 得归一化的幅平方特性 即)(11| )(|222nCjG1设计步骤：)(1lg10)(22nC110) 1 (10/22pnC2(1)1nC/102101p2. 求 和n为求滤波器的阶次，还要利用另外的条件：注意：21( )10lg|()|G j /1022221()101cosh

13、 cosh ()snssCn因此： 时，切比雪夫多项式要重新定义，采用双曲函数：利用另外的条件：,:1sssNote 1( )cos( cos)nCn必须不大于11cosh/2sinh/2xxxxxeexee/10212/10101cosh cosh ()101spsna11cosh ( )cosh ()san3.( )G s确定221( ) ()1(/ )nG p GpCpj221(/ )0nCpj求根1coscosh()n arjpj 则22(21)sinsinh()2(21)coscosh()2kkpnkjn2,( ),(),( ),1,2,knpG pGpG pkn此式求出的个极点一半

14、属于一半属于把左半平面的极点赋于即nk2 , 2 , 1 最后导出：切比雪夫滤波器的极点分布实际转移函数为111( )( )2()pnpnpnkpkG sG psp 反映了实际频率nkknpppG11)(21)(最后：p模拟高通, 带通, 带阻滤波器设计流程6.3 模拟高通、带通及带阻滤波器的设计设计模拟低通滤波器G(p)给定高通、带通或带阻的技术指标,psps 频率转换频率转换低通滤波器技术指标,psps 得到高通、带通或带阻滤波器H(s)频率转换频率转换pqspqj 想办法实现高通到低通的转换： 低通幅频低通幅频高通幅频高通幅频给定高通滤波器的技术指标：,psps先作频率归一化：,1,1p

15、ps 一、模拟高通滤波器的设计10sp 01sp11或1 由：,1p 如何：( )G p( )H s（HP）实现：设计出( )G p（LP）111qjjpp :p:q归一化高通滤波器的复变量归一化低通滤波器的复变量11( )( )( )pqH qG pGqppsqjj/( )( )|ppsH sG p得：于是可得到模拟高通滤波器的转移函数 后面带通、带阻滤波器和低通滤 波器的转换过程大体相同。对带通滤波器，如何实现频率的归一化定义：有 ：31BWBW 用带宽归一化二、模拟带通滤波器的设计然后要实现带通滤波器技术指标到低通的转换。关键问题是找到 对应关系： 定义 中心频率：2213 221312

16、300sppsslsh2231/22p311,1p22221331()sps 由 于2222222213222( / )( / )()()( /)BWBWBWqjpjjjqjsqqs 所以有21 3()31( )( )spsH sG p 可得N阶低通滤波器转换到带通后, 阶次变为2N.带阻滤波器频率归一化方法同带通滤波器定义：有 ：31BWBW 三、模拟带阻滤波器的设计2132000slshspps22/1322p312221,1,p31213)(ssp31213)(| )()(ssppGsH得到：及带阻滤波器的转移函数： 以上讨论的是模拟低通、高通、带通及带阻滤波器的设计，然而这并不是我们的

17、目的。我们的目的是设计数字滤波器。首要的问题是如何将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标，最后再实现模拟滤波器到数字滤波器的转换。6.4 6.4 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计 IIR DFIIR DF给定数字滤波器的技术指标 （更多）,psps 转换成模拟滤波器的技术指标 （更多）,psps转换成模拟低通滤波器的技术指标,psps 设计模拟低通滤波器( )G p得到模拟高通、带通、带阻滤波器( )H s得到数字高通、带通、带阻滤波器( )H zsz,psps ,.ps.,不变ps利用上一节的方法，可设计出模拟滤波器( ),( )G pG s( )H z最直接到方法，将：s

18、T 利用：1,lnssTszeszT1ln( )( )sszTH zG s但这样做， 将不再是 的有理多项式，给极零分析带来困难。( )H zz)(1)()()(0kssjnnsjkjGTeHznThzH0)()(| )()(nsnTtsnTttgtgnThs令：冲激响应不变法模拟滤波器的冲激响应数字滤波器的单位抽样响应1( )( )1( )()ssTnTtsAAG sH zsezg tAeh nTAe基本转换单元：22( )( )sin() ( )()tG sg tet u tssssTsTsTeTezzTzezH22)cos(2)sin()(1111zessT( ),( )( ),G sG

19、 sH z总可由一阶和二阶系统并联或级联而成故由上面两式可实现由到的转换 该转换所遵循的基本关系仍是ssTez (1),.spspsT 利用将转换为.,不变ps).()2(sG设计低通模拟滤波器).()() 3(zHsG转换为将|()|()|,jH eG j相对于有较大失真 这是因为抽样频率过小时，易产生混迭。此外，该方法对高通、带阻滤波器不适用。线性转换关系6.5 用双线性Z变换法设计 IIR DF放弃上一节的线性转换关系，找新的关系：sz 211jjsejT e sTsTzss)2/(1)2/(1则112zzTss令：双线性z变换/2/2/2/2/2/22()()2 sin(/2)cos(

20、/2)jjjjjjsseeejT eeejT 2tan(/2)2arctan(/2)ssTT 非线性关系，但是一对一的转换2tan(/2)sT 非线性关系DF:100Hz,300Hz,1000Hz0.2 ,0.6 ,2AF:tan(/2)685.82109(Hz)2tan(/2)2452.762438(Hz)psspsppssssffFTT 设计的 AF 并不是按给定的技术指标，但再由 变回 后，保证了 DF的技术要求。sz又称为频率的预变形（Freq. Warping) 。例如 ： 2tan(/2)sT ,psps给定 DF 技术指标Step1.),2/tan(2),2/tan(2sssps

21、pTTStep2. 频率转换：)2/tan(/ )2/tan(, 1pssp( ),( )( )G pG pG s设计出 AF Step3.Step4.211( )( )|szsT zH zG s数字低通滤波器的设计步骤：因为11tan(/2)1ppszpz212,tan(/2)1pppssszpsT zT 所以：这样：系数 可以省略，因此，双线性Z变换可定义为 ：2sT11zzsssz11)2tan()arctan(2这一组定义和前面的定义，对最后的 DF 而言，结果是一样的，差别是中间设计的 AF， 由于缺少了频率定标，将无法给出符合要求的幅频响应。( )H zAF:2109(Hz),24

22、38(Hz)ps 例： 设计 IIR LP DF ，给定3dB,20dBpsDF:100Hz,300Hz,1000HpssffF及可求出：2N 121)(2pppG12120.067450.13490.06745( )1 1.1430.4128zzH zzz求出：幅频响应曲线见书 P28411tan(/2)1pzpz由： 给出给出数字高通数字高通的技术要求的技术要求)(zHdhpspsp, 得到得到模拟高通模拟高通的技术要求的技术要求)(sHahpspsp,)2tan(1step得到得到模拟低通模拟低通的技术要求的技术要求)(pGspsp,p12step设计出设计出)(pG3stepspp4s

23、tep 得到得到模拟高通转移模拟高通转移函数函数)(sHahp11zzs5step最后得到最后得到数字高通转移数字高通转移函数函数)(zHdhp数字高通滤波器设计步骤6.6 数字高通, 带通及带阻滤波器的设计对 带通（BP）、带阻（BS）数字滤波器的设计，只需改变图中 Step2 和 Step4：22231BWBW 带通22231BWBW 带阻例： 设计一 IIR BP DF,要求：通带频率范围： 300Hz 400Hz ;阻带频率范围：200Hz、500Hz2N 121)(2pppG) 1() 1() 1(22222zzzpBW432142641. 0307. 1237. 2637. 11)

24、21 (0201. 0)(zzzzzzzHdbps3dB,18dB,F2000Hzps要求：按上述转换办法，可以求出：1buttord.m 确定 LP DF、或 LP AF的阶次；（1） N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs)；与本章内容有关的MATLAB文件对应 数字滤波器。其中 Wp, Ws分别是通带和阻带的截止频率，其值在 01 之间，1对应抽样频率的一半(归一化频率)。对低通和高通，Wp, Ws都是标量，对带通和带阻，Wp, Ws是12的向量。Rp, Rs 分别是通带和阻带的衰减(dB)。N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率，它和Wp稍有不同。

25、（2）N, Wn = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs,s)： 对应模拟滤波器，式中各个变量的含意和格式（1）相同，但Wp, Ws及Wn的单位为弧度/秒，因此，它们实际上是频率。2buttap.m 设计模拟低通(Butt)原型滤波器。 z, p, k=buttap(N): N是欲设计的低通原型滤波器的阶次，z, p, k是设计出的极点、零点及增益。 B, A=lp2lp(b, a, Wo), B, A=lp2hp(b, a, Wo) B, A=lp2bp(b, a, Wo, Bw), B, A=lp2bs(b, a, Wo, Bw) b, a 是AF LP 的分子、分母的系数向量，B, A是转换后的的分子、分母的系数向量；在（1）中，Wo是低通或高通滤波器的截止频率；在（2）中，Wo是带通或带阻滤波器的中心频率，