回转体的相贯线二稻香书屋

1、上讲要点上讲要点: 熟练掌握基本曲面体的三面投影及曲面熟练掌握基本曲面体的三面投影及曲面立体表面取点的方法立体表面取点的方法。这是本章的一个这是本章的一个基础方法。基础方法。 充分理解充分理解截交和相贯线的几何意义截交和相贯线的几何意义, ,以以及截交线和相贯线的性质，及截交线和相贯线的性质， 熟练掌握求曲面立体截交线的方法。熟练掌握求曲面立体截交线的方法。 熟练掌握求熟练掌握求( (平曲相交平曲相交) )相贯线的方法相贯线的方法 掌握直线与曲面立体相交贯穿点的性质掌握直线与曲面立体相交贯穿点的性质及求解方法及求解方法1学习幻灯132444113322复复习习题题3:求求圆圆锥锥被被切切割割后

2、后的的投投影影双曲线双曲线椭圆椭圆圆线圆线解题步骤解题步骤: :1 1 分析分析 截交线的其余投影分别是什么；截交线的其余投影分别是什么；2 2 求出截交线上的若干个特殊点求出截交线上的若干个特殊点( (轮廓线上轮廓线上或点划线上及两截平面的交线处或点划线上及两截平面的交线处) ) ；3 3 求出截交线上的若干个一般点求出截交线上的若干个一般点( (椭圆椭圆, ,双曲双曲线线, ,抛物线抛物线) )；4 4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性且判别可见性( (特别注意截平面间的交线特别注意截平面间的交线) )；5 5 整理轮廓线整理轮廓线( (

3、轮廓线画至特殊点处轮廓线画至特殊点处) )。 2学习幻灯6216542345(5)433211(6)求圆锥被切割后的投影求圆锥被切割后的投影双曲线双曲线抛物线抛物线圆线圆线3学习幻灯复习题：平面立体与曲面立体相贯，完成相贯后的投影复习题：平面立体与曲面立体相贯，完成相贯后的投影 解题步骤解题步骤1 1 分析分析 通常是由通常是由立体的立体的积聚积聚性性分析出相贯线的分析出相贯线的已知投影分已知投影分别是什么别是什么; ;再利用再利用表面取点法表面取点法或辅助平面法求出相贯线的共或辅助平面法求出相贯线的共有点；有点；2 2 求出相贯线上的若干个求出相贯线上的若干个特殊特殊点点( (通常是在平面立

4、体的棱线通常是在平面立体的棱线上或曲面立体的轮廓线上上或曲面立体的轮廓线上) )；3 3 求出相贯线上的若干个求出相贯线上的若干个一般一般点点( (取决于是什么相贯线取决于是什么相贯线) )；4 4 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；出相贯线，并且判别可见性；5 5 整理轮廓线整理轮廓线( (棱线及轮廓线棱线及轮廓线至贯穿点止至贯穿点止) )。表面取点法表面取点法双曲线双曲线圆线圆线直线直线4学习幻灯例题例题1010：平面立体与曲面立：平面立体与曲面立体相贯，完成相贯后的投影体相贯，完成相贯后的投影 辅助平面法辅助平面法解题步骤解题步骤1 1 分析分析

5、通常是由通常是由立体的立体的积聚积聚性性分析出相贯线的分析出相贯线的已知投影已知投影分分别是什么别是什么; ;再利用再利用表面取点法表面取点法或或辅助平面法辅助平面法求求出相贯线的出相贯线的共共有点有点；2 2 求出相贯线上的若干个求出相贯线上的若干个特殊特殊点点( (通常是在平面立体的棱线通常是在平面立体的棱线上或曲面立体的轮廓线上上或曲面立体的轮廓线上) )；3 3 求出相贯线上的若干个求出相贯线上的若干个一般一般点点( (取决于是什么相贯线取决于是什么相贯线) )；4 4 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；出相贯线，并且判别可见性；5 5 整理轮廓

6、线。整理轮廓线。四段椭圆线四段椭圆线四段直线四段直线5学习幻灯成绩审核学号姓名专业 级 班7-27.完成半圆球和三棱柱相贯后的投影。7-26.完成四棱锥和圆柱相贯后的投影。7-30.完成半圆球和四棱柱相贯后的投影。7-29.求四棱柱与圆柱相贯后的投影。7-28.完成四棱锥和圆锥相贯后的投影。7-25.完成圆锥和四棱柱相贯后的投影。平面体与曲面体相贯36f1ff23ff32ff16学习幻灯7-27.7-27.完成半圆球和三棱柱相贯后的投影。完成半圆球和三棱柱相贯后的投影。1 1f ff f2 23 3f f7学习幻灯7-28.7-28.完成四棱锥和圆锥相贯后的投影。完成四棱锥和圆锥相贯后的投影。

7、f f3 32 2f ff f1 18学习幻灯复习题复习题: :求半园柱与三棱椎相贯后的投影求半园柱与三棱椎相贯后的投影. .9学习幻灯复习题复习题: :求半园柱与三棱椎相贯后的投影求半园柱与三棱椎相贯后的投影. .两段椭圆线两段椭圆线两段直线两段直线10学习幻灯第十三讲 曲面立体的投影（三）7-4 7-4 两曲面立体的相贯线两曲面立体的相贯线基本要求基本要求7-5 7-5 螺旋楼梯的画法螺旋楼梯的画法11学习幻灯基本要求基本要求 本讲也是画法几何学中较难的部分，需要认本讲也是画法几何学中较难的部分，需要认真练习。真练习。 充分理解充分理解曲面立体相贯线的性质。曲面立体相贯线的性质。 掌握掌握

8、用表面取点的方法求相贯线，这是本章用表面取点的方法求相贯线，这是本章也是本讲的一个基础方法。也是本讲的一个基础方法。 熟练掌握熟练掌握用辅助平面法求相贯线，这是本章用辅助平面法求相贯线，这是本章也是本讲的重点和难点。也是本讲的重点和难点。 掌握掌握特殊情况下相贯线的状态。特殊情况下相贯线的状态。12学习幻灯一相贯线的性质一相贯线的性质1 1 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的曲面立体表面的共有点共有点。2 2 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，

9、相贯线两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线一般是封闭的空间曲线, , 特殊情况下特殊情况下为平面曲线或直线。为平面曲线或直线。15-5 15-5 曲面立体相贯曲面立体相贯13学习幻灯曲面立体相贯线的性质图例曲面立体相贯线的性质图例14学习幻灯二曲面立体相贯的三种基本形式二曲面立体相贯的三种基本形式2 2 外表面与内表面相交；外表面与内表面相交；1 1 两外表面相交；两外表面相交；3 3 两内表面相交。两内表面相交。15学习幻灯三求三求曲面立体相贯线的曲面立体相贯线的方法方法 求作相贯线时，先求出适当数量的共有点，然后依次光滑求作相贯线时，先求出适当数量的共有点，然后依次光滑连接而成。求共有

10、点的方法是：连接而成。求共有点的方法是： （1 1）若相贯线有一个投影已知，可采用辅助面法或表面取点法作出）若相贯线有一个投影已知，可采用辅助面法或表面取点法作出； （2 2）若相贯线有二个投影已知，可采用表面取点法或由二求三的方）若相贯线有二个投影已知，可采用表面取点法或由二求三的方法作出；法作出； （3 3）若相贯线的三个投影均为未知，可采用辅助面法作出；）若相贯线的三个投影均为未知，可采用辅助面法作出； （4 4）若求轮廓素线上的点，有时须包括轮廓素线作辅助面。）若求轮廓素线上的点，有时须包括轮廓素线作辅助面。1 1表面取点法表面取点法2 2辅助平面法辅助平面法16学习幻灯辅助平面法辅助

11、平面法1 1、用、用辅助平面法求相贯线的作图原理辅助平面法求相贯线的作图原理p17学习幻灯rq 常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面, ,要使辅助平面要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。与两立体表面交线的投影为直线或圆。辅助平面的选择辅助平面的选择18学习幻灯四四 求相贯线的一般步骤求相贯线的一般步骤1 1 分析分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投

12、影面的相对位置，两曲面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。3 3 求出相贯线上的求出相贯线上的特殊点特殊点。4 4 根据需要求出根据需要求出若干个一般点若干个一般点。5 5 光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性。光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性。6 6 最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的

13、轮廓线或转向轮廓素线。擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。19学习幻灯特殊点特殊点 特殊点有特殊点有极限位置点、轮廓转向点、曲线极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点特征点和结合点四种。四种。 这里转向轮廓线上的转向点并不都是区别这里转向轮廓线上的转向点并不都是区别相贯线可见与不可见部分的分界点，只有距离相贯线可见与不可见部分的分界点，只有距离观察者近的一个曲面立体转向线上的点才是区观察者近的一个曲面立体转向线上的点才是区别可见性的分界点。别可见性的分界点。20学习幻灯五相贯线的特殊情况五相贯线的特殊情况（1 1）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆，并两个回转体具有公共轴线时，其

14、表面的相贯线为圆，并且该圆垂直于公共轴线。且该圆垂直于公共轴线。 当公共轴线处于投影面垂直位置时，相贯线有一个投影反当公共轴线处于投影面垂直位置时，相贯线有一个投影反映圆的实形，其余投影积聚为直线段；映圆的实形，其余投影积聚为直线段； （2 2）外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线平面曲线椭圆。椭圆。 当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此两当两立体的相交两轴线同时平行于某一投影面时，则此两椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线段，例图。椭圆曲线在该投影面上的投影，为相交两直线段，例图。21学习幻灯当两个回转体具有

15、公共轴线时，其表面的相贯线为当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆圆22学习幻灯外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆椭圆23学习幻灯六相贯线的变化趋势六相贯线的变化趋势1 两正交圆柱相贯线的变化趋势（一）2 两正交圆柱相贯线的变化趋势（二）3 圆柱与圆锥相贯线的变化趋势（一）4 圆柱与圆锥相贯线的变化趋势（二）24学习幻灯两正交圆柱两正交圆柱相贯线相贯线的的变化趋势（一）变化趋势（一）25学习幻灯两正交圆柱两正交圆柱相贯线相贯线的的变化趋势（二）变化趋势（二）26学习幻灯圆柱与圆锥圆柱与圆锥相贯线相贯线的的

16、变化趋势（一）变化趋势（一）27学习幻灯圆柱与圆锥圆柱与圆锥相贯线相贯线的的变化趋势（二）变化趋势（二）28学习幻灯例题例题1 1 求两圆柱的相贯线求两圆柱的相贯线yyyydedeacbabcdebac解题步骤解题步骤1 1 分析分析 相贯线的水相贯线的水平投影和侧面投影已平投影和侧面投影已知，可利用表面取点知，可利用表面取点法求共有点；法求共有点；2 2 求出相贯线上的特求出相贯线上的特殊点殊点a a、b b、 c c；3 3 求出若干个一般点求出若干个一般点d d、e e；4 4 光滑且顺次地连接光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，各点，作出相贯线，并且判别可见性；并且判别可见性；5 5 整

17、理轮廓线。整理轮廓线。表面取点法表面取点法c0c0(c0)29学习幻灯例题例题2 2 完成带圆柱孔的圆柱的投影完成带圆柱孔的圆柱的投影。yyyydedeacbabcdebac解题步骤解题步骤1 1 分析分析 相贯线的水相贯线的水平投影和侧面投影已平投影和侧面投影已知，可利用表面取点知，可利用表面取点法求共有点；法求共有点；2 2 求出相贯线上的特求出相贯线上的特殊点殊点a a、b b、 c c；3 3 求出若干个一般点求出若干个一般点d d、e e；4 4 光滑且顺次地连接光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，各点，作出相贯线，并且判别可见性；并且判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。30学

18、习幻灯例题例题3 3 求圆柱与圆锥的相贯线求圆柱与圆锥的相贯线yypw1pv14yy4 pv2pw23pv3pw351112 2(2)4(5)3 35 用水平面作为辅助平面求共有点用水平面作为辅助平面求共有点解题步骤解题步骤1 1 分析分析 相贯线的相贯线的侧面投影已知，可侧面投影已知，可利用辅助平面法求利用辅助平面法求共有点；共有点；2 2 求出相贯线上的求出相贯线上的特殊点特殊点 、 、；3 3 求出若干个一般求出若干个一般点点 、；4 4 光滑且顺次地连光滑且顺次地连接各点，作出相贯接各点，作出相贯线，并且判别可见线，并且判别可见性；性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。辅助平面法辅助平面

19、法31学习幻灯用水平面作为辅助平面求共有点用水平面作为辅助平面求共有点32学习幻灯例题例题4 4 求圆球与圆锥的相贯线求圆球与圆锥的相贯线pw2 pv2pw3pv3pv1yy55343543112122yy4 用水平面作为辅助平面求共有点解题步骤解题步骤1 1 分析分析 相贯线的三个投影均未知，可利相贯线的三个投影均未知，可利用辅助平面法求共有点；用辅助平面法求共有点；2 2 求出相贯线上的特殊点求出相贯线上的特殊点 、 、；3 3 求出若干个一般点求出若干个一般点 、；4 4 光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；并且判别可见性；5 5 整理轮廓

20、线。整理轮廓线。辅助平面法辅助平面法33学习幻灯用水平面作为辅助平面求共有点用水平面作为辅助平面求共有点34学习幻灯例题例题5 5分析并想象出物体相贯线投影的形状分析并想象出物体相贯线投影的形状35学习幻灯 7-6 7-6 螺旋线和圆柱正螺旋面螺旋线和圆柱正螺旋面一、一、 圆柱螺旋线圆柱螺旋线1 1 圆柱螺旋线的形成圆柱螺旋线的形成 当一个动点沿着一直线等当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转平行的一轴线等速旋转时，时，动动点的轨迹就是一根点的轨迹就是一根圆柱螺旋线圆柱螺旋线。2 2 圆柱螺旋线的画法圆柱螺旋线的画法36学习幻灯螺旋线的画

21、法螺旋线的画法1391337学习幻灯二、圆柱二、圆柱正螺旋面正螺旋面 1 1 圆柱正螺旋面圆柱正螺旋面的形成的形成 当一直母线沿一条圆柱螺旋线及该圆柱螺旋线当一直母线沿一条圆柱螺旋线及该圆柱螺旋线的轴线滑动，并始终平行于与轴线垂直的导平面的轴线滑动，并始终平行于与轴线垂直的导平面而形成的曲面。而形成的曲面。是锥状面的特例。圆柱正螺旋面是锥状面的特例。圆柱正螺旋面与一个同轴的小圆柱相交，交线依然是一相同导与一个同轴的小圆柱相交，交线依然是一相同导程的圆柱螺旋线。大小圆柱之间的圆柱正螺旋面程的圆柱螺旋线。大小圆柱之间的圆柱正螺旋面是柱状面的特例，又称正螺旋柱状面，其形成也是柱状面的特例，又称正螺旋

22、柱状面，其形成也可描述为两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动可描述为两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的的直母线始终垂直于直母线始终垂直于圆柱圆柱轴线。轴线。 2 2 圆柱正螺旋面圆柱正螺旋面的画法的画法（1 1）圆柱正螺旋面（锥状）圆柱正螺旋面（锥状）（2 2）圆柱正螺旋面（柱状）圆柱正螺旋面（柱状）3 3 圆柱正螺旋面圆柱正螺旋面的应用的应用38学习幻灯圆柱正螺旋面（锥状）的画法圆柱正螺旋面（锥状）的画法39学习幻灯圆柱正螺旋面（柱状）的画法圆柱正螺旋面（柱状）的画法作出该曲面上各素线的作出该曲面上各素线的投投影影；画出两条曲导线（圆柱螺画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；旋线）；作出作出直母线的

23、两面投影；直母线的两面投影；40学习幻灯3 3 圆柱正螺旋柱状面应用举例圆柱正螺旋柱状面应用举例螺旋扶手螺旋楼梯41学习幻灯 圆柱正螺旋柱状面应用实例圆柱正螺旋柱状面应用实例42学习幻灯可见性参考可见性参考43学习幻灯1.1. 如同画正螺旋柱状面那样，画出螺旋如同画正螺旋柱状面那样，画出螺旋楼梯扶手的楼梯扶手的h h投影和扶手顶面内外螺投影和扶手顶面内外螺旋线上的各点（暂不连螺旋线）。旋线上的各点（暂不连螺旋线）。2.2. 从从内螺旋先内螺旋先3/43/4的各点下落的各点下落扶手竖向扶手竖向厚度厚度h h；从；从外螺旋后外螺旋后3/43/4的各点下落的各点下落扶扶手竖向高度手竖向高度h h。并

24、将这些点分别连接。并将这些点分别连接画内、外螺旋线。画内、外螺旋线。3.3. 画扶手顶面可见螺旋线。扶手顶面画扶手顶面可见螺旋线。扶手顶面先先1/21/2内螺旋点内螺旋点及及后后1/41/4内螺旋点内螺旋点连两段连两段内螺旋线，内螺旋线，后后1/21/2外螺旋点及先外螺旋点及先1/41/4外外螺旋点螺旋点连两段外螺旋线。连两段外螺旋线。4.4. 判别可见性，加深图线，画扶手轮廓判别可见性，加深图线，画扶手轮廓线，完成全图。线，完成全图。 轴线轴线左侧底面左侧底面可见，轴线可见，轴线右侧顶右侧顶面可见面可见；先先1/21/2扶手内侧面可见扶手内侧面可见，后后1/21/2扶手外侧面可见扶手外侧面可

25、见。（建议加深顺。（建议加深顺序：底内螺旋线、底外螺旋线、顶内序：底内螺旋线、底外螺旋线、顶内螺旋线、顶外螺旋线、直轮廓线）螺旋线、顶外螺旋线、直轮廓线）螺旋扶手（右旋）投影图画法螺旋扶手（右旋）投影图画法 h44学习幻灯1.1. 如同画正螺旋柱状面那样，画出螺如同画正螺旋柱状面那样，画出螺旋楼梯的旋楼梯的h h投影和内外螺旋线上的各投影和内外螺旋线上的各点（不画出螺旋线）。点（不画出螺旋线）。2.2. 从内螺旋从内螺旋先先3/43/4的各点下落的各点下落梯板竖向梯板竖向厚度厚度；从；从外螺旋后外螺旋后3/43/4的各点下落的各点下落梯板竖向厚度梯板竖向厚度。并将这些点分别。并将这些点分别连接

26、，画出内外螺旋线。连接，画出内外螺旋线。3.3. 按投影关系画出可见踢面（按投影关系画出可见踢面（先先1/21/2内内螺旋点及先螺旋点及先1/41/4外螺旋点上升外螺旋点上升踢面高，踢面高，后后1/21/2外螺旋点及后外螺旋点及后1/41/4内螺旋点上内螺旋点上升升踢面高）踢面高） 、踏面及梯轮廓线。、踏面及梯轮廓线。4.4. 判别可见性，加深图线。判别可见性，加深图线。 轴线轴线右侧踢面可见右侧踢面可见，轴线，轴线左侧左侧底面可见底面可见；先先1/21/2梯内侧面可见梯内侧面可见，后后1/21/2梯外侧面可见梯外侧面可见；轴线；轴线右侧踏面积右侧踏面积聚线均可见聚线均可见，轴线，轴线左侧先左

27、侧先1/41/4内侧和内侧和后后1/41/4外侧踏面边线可见。外侧踏面边线可见。s螺旋楼梯的画法（右旋）螺旋楼梯的画法（右旋）45学习幻灯1.1. 如同画正螺旋柱状面那样，画出螺如同画正螺旋柱状面那样，画出螺旋楼梯的旋楼梯的h h投影和内外螺旋线上的各投影和内外螺旋线上的各点（不画出螺旋线）。点（不画出螺旋线）。2.2. 从内螺旋从内螺旋先先3/43/4的各点下落的各点下落梯板竖向梯板竖向厚度厚度；从；从外螺旋后外螺旋后3/43/4的各点下落的各点下落梯板竖向厚度梯板竖向厚度。并将这些点分别。并将这些点分别连接，画出内外螺旋线。连接，画出内外螺旋线。3.3. 按投影关系画出可见踢面（按投影关系画出可见踢面（先先1/21/2内内螺旋点及先螺旋点及先1/41/4外螺旋点上升外螺旋点上升踢面高，踢面高，后后1/21/2外螺旋点及后外螺旋点及后1/41/4内螺旋点上内螺旋点上升升踢面高）踢面高） 、踏面及梯轮廓线。、踏面及梯轮廓线。4.4. 判别可见性，加深图线。判别可见性，加深图线。 轴线轴线右侧踢面可见右侧踢面可见，轴线，轴线左侧左侧底面可见底面可见；先先1/21/2梯内侧面可见梯内侧面可见，后后1/21/2梯外侧面可见