量子力学之算符ppt课件

1、1算符的一般特性2（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)= c11+c22其中其中c1, c2是任意复常数，是任意复常数， 1, 1是任意两个波函数。是任意两个波函数。满足如下运算规律的满足如下运算规律的 算符算符 称为线性算符称为线性算符（2 2）算符相等）算符相等 若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数对体系的任何波函数 的运算结果都相的运算结果都相 同，即同，即= ，则算符，则算符 和算符和算符 相等记为相等记为 = 。是是线线性性算算符符。单单位位算算符符动动量量算算符符Iip 例如：例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观

2、测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。3（3 3）算符之和）算符之和 若两个算符若两个算符 、 对体系的任何波函数对体系的任何波函数 有：有： ( + ) = + = 则则 + = 称为算符之和。称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。显然，算符求和满足交换率和结合率。之之和和。势势能能算算符符和和体体系系动动能能算算符符等等于于算算符符表表明明VTHHamiltonVTH 例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。

3、 - - = = + + （- -）。）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。很易证明线性算符之和仍为线性算符。4（4 4）算符之积）算符之积若若 ( ) = () = 则则 = 其中其中是任意波函数。是任意波函数。一般来说算符之积不满足一般来说算符之积不满足 交换律，即交换律，即 这是算符与通常数运算这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。规则的唯一不同之处。（5 5）对易关系）对易关系若若 ，则称，则称 与与 不对易。不对易。不不对对易易。例例如如：算算符符 xxipx xxxxiixpx )() 1 (证证：显然二者结果不相等，所以显然二者结果不相等，所以:ixppxixppxxppx

4、xxxxxx 所所以以是是任任意意波波函函数数，因因为为）（而而 xxxxiixixp )() 2 (对易对易关系关系5 izppziyppyzzyy与与共共轭轭动动量量满满足足同同理理可可证证其其它它坐坐标标算算符符000000000 zxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppxzyxppppixppx,0 量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关系。对对易易。与与对对易易，而而与与对对易易，与与不不对对易易；与与对对易易，但但是是与与对对易易，与与zpzpppIIxpxpppIxyyxxyyx)()(

5、若算符满足若算符满足 = - ， 则称则称 和和 反对易。反对易。写成通式写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。对易，各动量之间相互对易。注意：注意： 当当 与与 对易，对易， 与与 对易，不能推知对易，不能推知 与与 对易与否。例如：对易与否。例如：6（6 6）对易括号）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号：对易括号： , - 这样一来，这样一来， 坐标和动量的对易关系坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：可改写成如下形式： 不

6、难证明对易括号满足如下对易关系：不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式称为上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。恒等式。 ipx ,7（7 7）逆算符）逆算符1. 1. 定义定义: : 设设= , = , 能够唯一的解出能够唯一的解出 , , 则可定义则可定义 算符算符 之逆之逆 -1 -1 为为: : -1-1 = = 并不是所有算符都存并不是所有算符都存 在逆算符在逆算符, ,例如投影例如投影 算符就不存在逆算符就不存在逆. .2.2.性质性质 I: I: 若算符若算

7、符 之逆之逆 -1 -1 存在存在, ,则则 -1-1 = = -1-1 = I , , = I , , -1-1 = 0 = 0 证证: = : = -1-1 = = -1-1 ( ) = ( ) = -1-1 因为因为是任意函数是任意函数, ,所以所以 -1-1 = I = I成立成立. . 同理同理, , -1-1 = I = I 亦成立亦成立. .3.3.性质性质 II: II: 若若 , , 均存在逆算符均存在逆算符, , 则则 ( ( ) )-1-1 = = -1-1 -1-18nnFnxxFn!)0(0)()( 设给定一函数设给定一函数 F(x), F(x), 其各阶导数均存在其

8、各阶导数均存在, , 其幂级数展开收敛其幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符 的函数的函数 F(F() )为为: :nnFnUUFn)(!)0(0)( ninntHitHe!10 算符算符的复共轭算符的复共轭算符 * *就是把就是把表达式中表达式中 的所有量换成复共轭的所有量换成复共轭. .piip*)(* 例如例如: : 坐标表象中坐标表象中（8 8）算符函数）算符函数9是是两两个个任任意意函函数数。和和式式中中定定义义为为：的的转转置置算算符符算算符符 *UdUdUUxx 1 ：例例 xdx*证证：利用波函数标准条件利用波函数标准条件: : 当当|x| |x| 时时, 0 0。0)(*

9、xxdxxxxx 0)(xxpp 由于由于、是是 任意波函数任意波函数, , 所以所以 * xdx xdx*|* xdx*同理可证同理可证: :ABBA)( 可可以以证证明明：（1010）转置算符转置算符10(11)(11)厄密共轭算符厄密共轭算符 *)(*OdOd *)(*OdOd由此可得：由此可得：:转置算符转置算符 的定义的定义*OO 厄密共轭厄密共轭 算符亦可算符亦可 写成：写成：算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 + + 定义定义: :可以证明可以证明: ( )+ = + + + ( .)+ = . + + + *)(* Od * Od *Od11(12) (12) 厄密算符厄密

10、算符1. 定义定义: 满足下列关系满足下列关系 的算符称为的算符称为 厄密算符厄密算符.OOOdOd*)(* 或或 2. 性质性质性质性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即即 若若 + = , + = 则则 (+)+ = + + + = (+) 性质性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密两个厄密算符之积一般不是厄密 算符算符, 除非二算符对易。除非二算符对易。 因为因为 ( )+ = + + = 仅当仅当 , , = 0 成立时成立时, ( )+ = 才成立。才成立。12定理定理I I：体系任何状态：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。下，其厄

11、密算符的平均值必为实数。证：证： FdF* *)(Fd* Fd*F 逆定理：在任何状态下，平均值均为逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有：根据假定在任意态下有：证：证： *)(*FdFdFF即即取取=1 1+c+c2 2 ，其中，其中 1 1 、2 2 也是任意态的波函数，也是任意态的波函数，c c 是任意常数。是任意常数。 )(*)(*2121 cFcdFd式式左左 *)(Fd式式右右 211222211*)(*)(*|* FdcFdcFdcFd 211222211*|* FdcFdcFdcFd *)(2121 ccFd 21

12、1222211*)(*)(*)(|*)( FdcFdcFdcFd（一）厄密算符的平均值（一）厄密算符的平均值13因为对任因为对任 意波函数意波函数*FF 211222211*)(*)(*|* FdcFdcFdcFd 211222211*|* FdcFdcFdcFd左式左式=右式右式 21122112*)(*)(* FdcFdcFdcFdc*)(*)(*12122121 FdFdcFdFdc令令c = 1，得：，得： 12122121*)(*)(* FdFdFdFd令令c = i，得：，得：*)(*)(*12122121 FdFdFdFd二式相加得：二式相加得： 2121*)(* FdFd二式相

13、减得：二式相减得：1212*)(* FdFd 所得二式正是厄密算符的定义式，所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。故逆定理成立。实验上的可观测实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。是厄密算符。所以左右两边头两项相等相消，于是有：所以左右两边头两项相等相消，于是有：14力学量的本征方程力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量在此状态下测量F F所得结果所得结果 是唯一确定的，即：是唯一确定的，即：0)(2 F则称这种则称这种 状态为力状态为力

14、学量学量 F F 的的 本征态。本征态。 常常数数或或 FFF0)(nnnFF 可把常数记为可把常数记为Fn，把状态，把状态 记为记为n，于是得：，于是得：其中其中F Fn n, , n n 分别称为算符分别称为算符 F F的本征值和相应的本征态，上式即是算符的本征值和相应的本征态，上式即是算符F F的本征方程。求解时，的本征方程。求解时， 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。（二）厄密算符的本征方程（二）厄密算符的本征方程15 nnFdF *定理定理IIII：厄密算符的本征值必

15、为实。：厄密算符的本征值必为实。 当体系处于当体系处于 F F 的本征态的本征态n n 时，则每次测量结果都是时，则每次测量结果都是 F Fn n 。由由 本征方程可本征方程可以看出，在以看出，在n n（设已归一）态下（设已归一）态下证证 nnndF *nF 是是实实数数。所所以以必必为为实实，nFF（3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定IIIIII根据定理根据定理 I(I) (I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。),(prFF ipprrr),(),(prFFprFF 若力学量是量子力学中特有的若力学量是量子力学中特有的 ( (如宇称、自旋

16、等），将由如宇称、自旋等），将由量子力学量子力学 本身定义给出。本身定义给出。 若力学量在经典力学中有对应的量若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过则在直角坐标系下通过如下对应如下对应 方式，改造为量子力学中的力学量算符：方式，改造为量子力学中的力学量算符：(II) (II) 测量力学量测量力学量F F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符 F F的本征值的本征值 F Fn n（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符 F F的本征方程给出：的本征方程给出：,2,1 nFFnnn 16（1

17、1）正交性）正交性定理定理III： 厄密算符属于不同本征值厄密算符属于不同本征值 的本征函数彼此正交的本征函数彼此正交证：mmmnnnFFFF 设设存存在在并并设设积积分分 dnn*)*(mmmFF 取复共轭，并注意到取复共轭，并注意到 F Fm m 为实。为实。两边右乘两边右乘 n 后积分后积分 dFdFnmmnm*)( dFdFdFnmnnmnm*)(二式相二式相减减 得：得：0*)( dFFnmnm若若mFn，则必有：则必有：0* dnm 证毕证毕 （2 2）分立谱、连续谱正交归一表示式）分立谱、连续谱正交归一表示式1. 分立谱正分立谱正 交归一条交归一条 件分别为：件分别为： mnnm

18、nmnnddd *0*1*2. 连续谱正连续谱正 交归一条交归一条 件表示为：件表示为： )(* d3. 正交归一系正交归一系满足上式的函数系满足上式的函数系 n 或或 称为正交归一（函数）系。称为正交归一（函数）系。（三）厄密算符的本征函数的正交性（三）厄密算符的本征函数的正交性17（一）动量算符（一）动量算符（1）动量算符的厄密性）动量算符的厄密性dxidxpdxdx )(* 使用波函数在无穷远使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。处趋于零的边界条件。（2）动量本征方程）动量本征方程)()(rpripp 其分量形式：其分量形式： )()()()()()(rprirprirpripzpzp

19、ypypxpx 证：证：dxiidxd*)(|* dxidxd *)( dxpx *)( 由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。18I. 求解求解)()()()(zyxrp zdzzdziydyydyixdxxdxippp)()()()()()( rpzpypxpppppiziyixizyxceecececzyxzyxr 321)()()()()()()( 这正是自由粒子的这正是自由粒子的 de Broglie 波的空波的空 间部分波函数。间部分波函数。 )()()()()()(321zeczyecyxecxzziyyi

20、xxipzppyppxp )()2(|)()(32)(22*ppcdecdeecdrrrpprprpppiii 如果取如果取 |c|2 (2 )3=1则则 p(r) 就可就可 归一化为归一化为 -函数。函数。解之得到如下一组解解之得到如下一组解：于是：于是： II. 归一化系数的确定归一化系数的确定采用分离变量法，令：采用分离变量法，令：)()(rpripp 代入动量本征方程代入动量本征方程且等式两边除以该式，得：且等式两边除以该式，得：19xyzAAoL（3）箱归一化）箱归一化在箱子边界的对应点在箱子边界的对应点A, AA, A上加上其波函数相等的条件，上加上其波函数相等的条件，此边界条件称

21、为周期性边界条件。此边界条件称为周期性边界条件。据上所述，具有连续谱的本征函数如据上所述，具有连续谱的本征函数如: :动量的本征函数是动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为不能归一化为一的，而只能归一化为-函数。函数。 但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。化方法来归一，这种方法称为箱归一化。周期性边界条件周期性边界条件22zpypLpizpypLpizyxzyxcece ,2,1,02211 xxxxxLpinLnpnLpex 于于是是有有：由由此此得得：这表明，这表明，p px

22、x 只能取分立值。只能取分立值。 换言之，换言之， 加上周期性边界条件后，加上周期性边界条件后， 连续谱变成了分立谱。连续谱变成了分立谱。,2,1,0,22 zyzzyynnLnpLnp 同同理理： zyLrA,2 zyLrA,220222)()(zyxnnnprppLznLynLxnizyxicercer 1*322/2/22/2/ LcdcdLLppLL rpVrpLnnniizyxee 12/31)( 所以所以 c = L-3/2， 归一化的本征函数为：归一化的本征函数为：波函数变为波函数变为这时归一化系数这时归一化系数 c c 可由归一可由归一化条件来确定：化条件来确定：21讨论：讨论

23、：（1 1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：）箱归一化实际上相当于如图所示情况：p (a)Ap(b)Ap (c)yx（2 2）由）由 p px x = 2n= 2nx x / L, p / L, py y = 2n= 2ny y / L, p / L, pz z = 2n= 2nz z / L, / L, 可以看可以看出，相邻两本征值的间隔出，相邻两本征值的间隔 p = 2p = 2 / L / L 与与 L L 成反比。当成反比。当 L L 选的足够大时，选的足够大时，本征值间隔可任意小，本征值间隔可任意小，当当 L L 时，本征值变成为连续谱。时，本征值变成为连续谱。（3 3）从这里可以

24、看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱 归一化为归一化为 函数函数（4 4） p p(r) (r) exp expiEt/iEt/ 就是自由粒子波函数，在它所描就是自由粒子波函数，在它所描写的状写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。符在这个态中的本征值。（5 5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。22（二）角动量算符（二）角动量算符（1）角动量算符的形式）角动量算符的形式prL 根据量子力学基本假定根据量子力学基本假定III，

25、量子力学角动量算符为量子力学角动量算符为: riprL(I) 直角坐标系直角坐标系 )()()(xyxyzzxzxyyzyzxyxipypxLxzipxpzLzyipzpyL22222222222()()()()()()xyzzyxzyxzyxzyxLLLLypzpzpxpxpypyzzxxy 角动量平方算符角动量平方算符经典力学中，若动量为经典力学中，若动量为 p，相对点，相对点O 的的 位置矢量为位置矢量为 r 的粒子绕的粒子绕 O 点的角动量是：点的角动量是：由于角动量平方算符中含有关由于角动量平方算符中含有关于于 x x，y y，z z 偏导数的交叉项偏导数的交叉项, ,所以直角坐所以

26、直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量变量, ,难于求解难于求解, ,为此我们采用球坐标较为为此我们采用球坐标较为方便方便. .23 )3(/tan)2(/cos)1(cossinsincossin2222xyrzzyxrrzryrx zyxxxxxfxfxrrfxfiiii,321 其其中中 zzzrrzyyyrryxxxrrx 或或 cossinsincossinzrsyrxr直角坐标与球坐标之间的变换关系直角坐标与球坐标之间的变换关系 rxz球球 坐坐 标标r y这表明：这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , )(II

27、) (II) 球坐标球坐标 sin1sincos1coscos1rzryrx 0sincos1sinsin1zryrx 将（将（1 1）式）式两边分别对两边分别对 x y z x y z 求偏求偏导数得：导数得：将（将（2 2）式）式两边分别对两边分别对 x y z x y z 求偏求偏导数得：导数得：对于任意函数对于任意函数f (r, , ) f (r, , ) （其中，（其中，r, , r, , 都是都是 x, y, z x, y, z 的函数）则有：的函数）则有：将（将（3 3）式）式两边分别对两边分别对 x y z x y z 求偏求偏导数得：导数得：24 iLiLiLzyxsinco

28、tcoscoscotsin 0sin1cossincos1sincos1sinsinsinsin1coscos1cossin rrzrrryrrrx将上面结果将上面结果 代回原式得：代回原式得：则角动量算符则角动量算符 在球坐标中的在球坐标中的 表达式为：表达式为：sin1)(sinsin122222 L25（2 2）本征方程）本征方程归归一一化化系系数数。是是积积分分常常数数，亦亦可可看看成成其其中中解解得得：ccelddiLzilzz )()()()(I) Lz的本征方程的本征方程)2()( 求求 归归 一一 化化 系系 数数 2112|2202220 ccdcd)(02120mndeei

29、nim 正交性：正交性：I I。波函数有限条件，要求。波函数有限条件，要求 z z 为实数；为实数； IIII。波函数单值条件，要求。波函数单值条件，要求当当 转过转过 22角角回到原位时波回到原位时波函数函数值相等，即：值相等，即：)2( zizillcece1/2sin/2cos2 zzllilezi , 2, 1, 022 mmlz 于于是是, 2, 1, 0 mmlz合记之得合记之得 正交归一化正交归一化 条件：条件：mninimdee 202126最后得最后得 Lz 的本征函数的本征函数 和本征值：和本征值：, 2, 1, 021)( memlimmz 是是粒粒子子的的任任意意两两个

30、个态态。和和其其中中厄厄密密性性要要求求，按按 dLdLLzzz*)(* didLz )(*20讨论：讨论：厄密性要求第一项为零厄密性要求第一项为零常常数数。）（本本征征值值，对对可可知知，由由 0zzlli)2()0()0(2(0)0()0()2()2(* ）或或所所 以以则则1 )0()2( 这正是周期这正是周期性边界条件性边界条件 dii *)(|*2020 dii *)(|*2020 dLiz *)(|*202027(II) L(II) L2 2的本征值问题的本征值问题),(),(sin1)(sinsin1),(),(sin1)(sinsin1),(),(2222222222 YYYY

31、YYL 或或：L2 的本征值方程可写为：的本征值方程可写为：为使为使 Y(Y( , , ) ) 在在 变化的整个区域变化的整个区域(0, )(0, )内都是有限的，内都是有限的， 则必须满足：则必须满足： = = （ + 1), + 1), 其中其中 = 0, 1, 2, .= 0, 1, 2, .lmYYlmePNYmlmlmimmllmmlm ,3,2,1),()1(),(,2,1 ,0)(cos)1(),(* 其中其中 Y(Y( , , ) ) 是是 L L2 2 属于本征值属于本征值 2 2 的本征函数。此方程就是大的本征函数。此方程就是大 家熟悉的球谐函数方程，其求解家熟悉的球谐函数

32、方程，其求解 方法在数学物理方法中已有详细方法在数学物理方法中已有详细 的讲述，得到的结论是：的讲述，得到的结论是： 20*01sin),(),(ddYYlmlm|)!|(4)12(|)!|(mllmlNlm 该方程的解就是球函数该方程的解就是球函数 Y Yl ml m( ( , , ) )，其表达式：，其表达式：归一化系数，由归一归一化系数，由归一化条件确定化条件确定28其正交归一其正交归一 条件为：条件为： 20*0sin),(),(mml lmllmddYY具体计算请参考有关数学物理方法的书籍具体计算请参考有关数学物理方法的书籍(III) 本征值的简并度本征值的简并度由于量子数由于量子数

33、 表征了角动量的大小，表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；所以称为角量子数；m m 称为磁量子数。称为磁量子数。可知，对应一个可知，对应一个 值，值，m m 取值为取值为 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, ., 3, ., 共共 (2 (2 +1) +1)个值。因此当个值。因此当 确定后，尚有确定后，尚有(2 (2 +1) +1)个磁量子状态不确定。个磁量子状态不确定。换换言之，对应一个言之，对应一个 值有值有(2 (2 +1) +1)个量子状态，这种现象称为简并，个量子状态，这种现象称为简并， 的简并度是的简并度是 (2 (2 +1) +1) 度。度。lmYYlmePNYmlml

34、mimmllmmlm ,3,2,1),()1(),(,2,1 ,0)(cos)1(),(* 根据球函数定义根据球函数定义式式29在任意态在任意态(r)(r)中测量任一力学量中测量任一力学量 F F，所得的结果只能是由算符，所得的结果只能是由算符 F F 的的本征方程本征方程nnnF 解得的本征值解得的本征值n n之一。之一。但是还有但是还有 两点问题两点问题 没有搞清楚：没有搞清楚：1. 1. 测得每个本征值测得每个本征值n n的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，对应几率是多少，对应几率是多少，哪些测不到，几率为零。哪些测不到，几率为零。2.

35、 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。要解决上述问题，要解决上述问题， 我们还得从讨论我们还得从讨论 本征函数的另一本征函数的另一 重要性质入手。重要性质入手。(1) (1) 力学量算符本征函数组成完备系力学量算符本征函数组成完备系1. 函数的完函数的完备性备性有一组函数有一组函数n n(x) (n=1,2,.),(x) (n=1,2,.),如果任意函数如果任意函数(x)(x)可以按这组函数展开可以按这组函数展开: :)()(xcxnnn 则称这组函数则称这组函数n(x) 是完备的。是完备的。pdrpcrpdrtpctrpp33)

36、()()()(),(),( 或或例如：动量本征函数例如：动量本征函数 组成完备系组成完备系力学量的可能值力学量的可能值302. 2. 力学量算符的本征函数组成完备系力学量算符的本征函数组成完备系(I) (I) 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系（参看：梁昆淼，（参看：梁昆淼，数学物理方法数学物理方法P324P324；王竹溪、郭敦仁，；王竹溪、郭敦仁，特殊函数概特殊函数概论论1.10 1.10 用正交函数组展开用正交函数组展开 P41P41），即若：），即若：nnnF )()(xcxnnn 则任意函数则任意函数

37、(x) 可可 按按n(x) 展开：展开：(II) (II) 除上面提到的动量本征函数外除上面提到的动量本征函数外, ,人们已经证明了一些力学量人们已经证明了一些力学量 算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。为：一切力学量算符的本征函数都组成完备

38、系。31（2） 力学量的可能值和相应几率力学量的可能值和相应几率现在我们再来讨论在一般状态现在我们再来讨论在一般状态 (x) (x) 中测量力学量中测量力学量F F，将会得到哪些值，将会得到哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。测力学量测力学量 F F 得到的可能值必是力学量算符得到的可能值必是力学量算符 F F的本征值的本征值 n n n = 1,2,. . n = 1,2,. .之一之一, ,该本征值由本征方程确定：该本征值由本征方程确定：, 2 , 1)()( nxxFnnn 而每一本征值而每一本征值n n各以一定几率出现。各以一定几率

39、出现。 那末这些几率究竟是多少呢？下面那末这些几率究竟是多少呢？下面 我们讨论这个问题。我们讨论这个问题。由于由于n n(x)(x)组成完备系，所以体系组成完备系，所以体系 任一状态任一状态(x)(x)可按其展开：可按其展开：)()(xcxnnn 展开系数展开系数 cn 与与x无关。无关。dxxcxdxxxnnnmm)()()()( dxxxcnmnn)()(* mmnnncc dxxxcnn)()( 即即为求为求 c cn n ，将，将m m* *(x) (x) 乘上式并对乘上式并对 x x 积分积分得：得：讨论：讨论：与波函数与波函数(x) (x) 按动量本征函数按动量本征函数 展开式比较

40、二者完全相同展开式比较二者完全相同我们知道：我们知道：(x) (x) 是坐标空间的波函数；是坐标空间的波函数； c (p) c (p) 是动量空间的波函数；是动量空间的波函数； 则则 c cn n 则是则是 F F 空间的波函数，空间的波函数， 三者完全等价。三者完全等价。32证明：当证明：当(x)(x)已归一时，已归一时，c(p) c(p) 也是归一的，也是归一的，同样同样 c cn n 也是归一的。也是归一的。证：证：dxccdxxxmmmnnn *)()(1nmmnmncc * 2|*nnnnnccc dxccmnmnmn * 所以所以|c|cn n| |2 2 具有几率的意义，具有几率

41、的意义，c cn n 称为几率振幅。我们知道称为几率振幅。我们知道|(x)|(x)|2 2 表示表示在在x x点找到粒子的几率密度，点找到粒子的几率密度，|c(p)|c(p)|2 2 表示粒子具有动量表示粒子具有动量 p p 的几率，那的几率，那末同样，末同样，|c|cn n| |2 2 则表示则表示 F F 取取 n n 的几率。的几率。量子力学基本假定量子力学基本假定IVIV综上所述，量综上所述，量子力学作如下子力学作如下假定：假定：任何力学量算符任何力学量算符 F F 的本征函数的本征函数n n(x)(x)组成正交归一完备系，在组成正交归一完备系，在任意已归一态任意已归一态(x)(x)中

42、测量力学量中测量力学量 F F 得到本征值得到本征值n n 的几率等于的几率等于(x)(x)按按n n(x)(x)展开式：展开式： 中对应本征函数中对应本征函数n n(x)(x)前的系数前的系数 c cn n 的绝对值平方。的绝对值平方。)()(xcxnnn 33（3 3） 力学量有确定值的条件力学量有确定值的条件推论：当体系处于推论：当体系处于(x) 态时，测量力学量态时，测量力学量F具有确定值的具有确定值的 充要条件是充要条件是(x) 必须是算符必须是算符 F的一个本征态。的一个本征态。证：证：1. 必要性。若必要性。若F具有确定值具有确定值 则则(x) 必为必为 F 的本征态。的本征态。

43、确定值的意思就是确定值的意思就是 每次测量都为每次测量都为 。测量值必为本征值之一，测量值必为本征值之一， 令令 =m 是是 F 的一个本征值，满足本征方程的一个本征值，满足本征方程,2,1)()(mnxxFnnn n(x) 组成完备系，组成完备系，)()(xcxnnn 且测得可能值是：且测得可能值是： 1,2,.,m 相应几率是：相应几率是： |c1|2,|c2|2,.,|cm|2,.。现在只测得现在只测得m m，所以，所以|c|cm m| |2 2=1, |c=1, |c1 1| |2 2=|c=|c2 2| |2 2=.=0=.=0（除（除|c|cm m| |2 2外）。外）。 于是得于

44、是得 (x)= (x)= m m(x)(x)，即，即 (x)(x)是算符是算符 F F 的一个本征态。的一个本征态。342. 2. 充分性。若充分性。若(x)(x)是是 F F的一个本征态，即的一个本征态，即 (x)= (x)= m m(x)(x)，则，则 F F 具有确定值。具有确定值。力学量算符力学量算符 F F 的本征函数组成完备系。的本征函数组成完备系。)()()(xxcxmnnn 所以所以测得测得n 的几率是的几率是 |cn|2。 mnmncn01|2因为因为表明，测量表明，测量 F 得得m 的几率为的几率为 1， 因而有确定值。因而有确定值。35 dxxFxF)()(* 力学量平均

45、值就是指多次测量的平均结果，力学量平均值就是指多次测量的平均结果， 如测量长度如测量长度 x x，测了，测了 10 10 次，其中次，其中 4 4 次得次得 x x1 1，6 6 次得次得 x x2 2，则，则 10 10 次测量的平均值为：次测量的平均值为：dxxcFxcmmmnnn)()( dxxFxccmnmmnn)()(* dxxxccmnmmnmn)()(* nmmmnmncc * nnnc 2| 如果波函数如果波函数未归一化未归一化iiixxxxxxxx 221121061104211064nnncF 2| 同样，在任一态同样，在任一态(x) (x) 中测量某力学量中测量某力学量

46、F F 的的 平均值（在理论上）平均值（在理论上） 可写为：可写为：则则 dxxxdxxFxFccFnnnnn)()()()(|*22 dxxFxF)()(* 这两种求平均这两种求平均 值的公式都要值的公式都要 求波函数是已求波函数是已 归一化的归一化的此式此式等价于等价于 以前的平均以前的平均 值公式：值公式：力学量的平均值力学量的平均值36已知空间转子处于如下状态已知空间转子处于如下状态),(32),(312111 YY 试问：试问： （1 1）是否是是否是 L L2 2 的本征态？的本征态？ （2 2）是否是是否是 L Lz z 的本征态？的本征态？ （3 3）求）求 L L2 2 的平

47、均值；的平均值； （4 4）在）在 态中分别测量态中分别测量 L L2 2 和和 L Lz z 时得到的可能值及时得到的可能值及其相应的几率。其相应的几率。解：解： ),(32),(31)1(211122 YYLL 212112)12(232)11(131YY 211122312YY 没有确定的没有确定的 L L2 2 的本征值，故的本征值，故 不是不是 L L2 2 的本征态。的本征态。37 ),(32),(31)2(2111 YYLLzz21113231YY 21113231YY是是 L Lz z 的本征态，本征值为的本征态，本征值为 。（3 3）求）求 L L2 2 的平均值的平均值方法

48、方法 I I）已已归归一一化化（ dxxFxF)()(*验证归一化：验证归一化： dc *21 dYYYYc2111211123231*3231 dYYYYYYYYc11212111212111112*92*92*94*9122959491cc 53 c38 21113231YYc dLL2*2 dYYLYY211122111251*251 dYYYY2121122111262*251 dYY221221122425122252624251 方法方法 IIII 2111251YY nnncF 2| 利利用用222222526652251 L 21112111251323153YYYY 5451

49、22262相相应应几几率率L（4 4）1相相应应几几率率 zL归一化波函数39力学量算符的共同本征函数力学量算符的共同本征函数一、两力学量同时有确定值的条件一、两力学量同时有确定值的条件体系处于任意状态体系处于任意状态 (x)时，力学量时，力学量F一般没有确定值；若一般没有确定值；若F有确定值则有确定值则 (x)必为必为F的的本征态本征态F如果有另一个力学量如果有另一个力学量G在在 态中也有确定值，则态中也有确定值，则 必也是必也是G的一个本征态的一个本征态G当在当在 态中测量力学量态中测量力学量F和和G时，如果同时具有确定值，那么时，如果同时具有确定值，那么 必是二力学量的必是二力学量的共同

50、共同本征函数本征函数GFFG这时我们有这时我们有0)(GFFGGFFGFFGFGGFG40定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则 二算符对易二算符对易,3 ,2, 1,nGGFFnnnnnn)()(xcxnnn0)()()()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnGFFGcFGGFcFGGFccFGGFxFGGF0FGGF n 组成完备系，任意态函数组成完备系，任意态函数 (x)可可以按其展开以按其展开任意态函数任意态函数 (x)41逆定理：如果两个力学量算符对易，则这两个算符有组成逆定理：如果两个力学量算符对易，则这两

51、个算符有组成 完备系的共同的本征函数完备系的共同的本征函数nnnFFFGGF, 0Suppose)()(nnnnnnnGFGFGFFGGF仅考虑非简并情况仅考虑非简并情况nnnnnnGGFFG,)(本征值的一个本征函数也是 n：G的本征函数，同理的本征函数，同理F的所有本征函数的所有本征函数 n ( n = 1，2 )也都是也都是G的本征函数，因的本征函数，因此二算符具有共同完备的本征函数系此二算符具有共同完备的本征函数系42定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件 是这组算符两两对易是这组算符两两对易zyxrpipzyxpppe

52、rppp,)2(1)(,2/3同时有确定值：共同完备本征函数系：两两对易；动量算符：mllEYrRrLLHnlmnlnlmz,) 1(,),()()(,22同时有确定值：共同完备本征函数系：两两对易；氢原子中：例例1例例243), 1, 0( ,221)(,2222mmImEeLILHmimmzz同时有确定值：共同完备本征函数系：相互对易；定轴转子：mllIllElmlYLLILHllmz,) 1(,2) 1(, 1, 0, 2 , 1 , 0),(,22222同时有确定值：共同完备本征函数系：两两对易；空间转子：例例3例例444.,zyxppp.,2zLLHH二、力学量的完全集合二、力学量的

53、完全集合(1) 定义定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小(数目数目)集合称为集合称为力学量完全集力学量完全集例例1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量例例2：氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量例例3：一维谐振子，只需一个力学量就可完全确定其状态：一维谐振子，只需一个力学量就可完全确定其状态(2) 力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同力学量完全集中力学量的数目一般

54、与体系自由度数相同(3) 力学量完全集所确定的本征函数系构成该体系态空间的一组完备的本征函数，体系力学量完全集所确定的本征函数系构成该体系态空间的一组完备的本征函数，体系的任何状态均可用它展开的任何状态均可用它展开45,zyxzpxpzpzpy 角动量算符的对易关系,zxyzyxpxpzpzpyLL 证：证：yxzxzyLiLLLiLL, 同同理理,zxyzxzpxpzpzpxpzpy ,zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy zyxLiLL, yzzyzxxzppxzpxpzppzypzpy , , yzxzppxzpzpy , yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyz ,

55、 , , , yxpixpiy)()( xypypxi zLi zyxCivitaLeviLiLL,3211,123或或，其其中中其其意意义义如如下下：符符号号，称称为为合合记记之之： xzyyxzzyxLypzpLzpxpLxpyp46zzzzLLLLLLLLLLLLLLLL0,2222222 LLiLLiiLiLLiLLLiLLLLyxxyyzxzyxzz)()(,（4 4）角动量升降阶算符）角动量升降阶算符(I) 定义定义显显 然然 有有 如如 下下 性性 质质 LLLLiLLiLLiLLyxyxyx)(所以，这两个算符所以，这两个算符 不是厄密算符。不是厄密算符。(II) 对易关系对易

56、关系)( zzLLLL不不 难难 证证 明明 yxyxLiLLLiLL47lmlmlmYLllYLLYLL )1(2221,1,)1)()1()1( mlmllmYmlmlYmmllYLlmlmzlmzYLmYLLYLL )1()(可见，可见，(L+ Yl m) 也是也是 Lz 与与 L2 的共同本征函的共同本征函 数，对应本征数，对应本征 值分别为值分别为 (m+1) 和和 l (l+1) 2。1, mllmlmYaYL(III) (III) 证明：证明：证：证：将将 Eq. (1) 作用于作用于 Yl m 得：得：将将 Eq. (2) 作用于作用于 Yl m 得：得：由于相应于这些本征值的

57、本征函数是由于相应于这些本征值的本征函数是 Y Yl, m+1 l, m+1 所以，所以，L L+ + Y Yl ml m 与与 Y Yl, m+1l, m+1 二者仅差一个常数，即二者仅差一个常数，即1, mllmlmYbYL同同理理)4() 3()2() 1 ()(222222zzzzzzLLLLLLLLLLLLLLLLLL4822*2222222*) 1() 1() 1()( mmlldYYmmlldYLLLYlmlmlmzzlm求求: 常系数常系数 al m, bl m21,1,2*|*|*)(lmmlmllmlmlmlmlmlmlmadYYadYLYLdYLLYdYLLY 首先对首先

58、对 式左边式左边 积分积分 并注意并注意 L- = L+再计算再计算 式右积分式右积分)1()1()1()1()1()1(|22 mmllbmmllammllalmlmlm同同理理求求得得：为为简简单单计计取取实实数数：1,1,) 1)() 1() 1( mlmllmYmlmlYmmllYL )4()3()2()1()(222222zzzzzzLLLLLLLLLLLLLLLLLL dYLLLYdYLLYlmzzlmlmlm22*比较二比较二式式由（由（4）式）式49 ErZerrrr 2222222sin1)(sinsin1)()1(2体系体系 Hamilton 量量rZeH2222 H的本征

59、方程的本征方程 ErZe 2222对于势能只与对于势能只与 r r 有关而与有关而与, 无关的有心力场，使用球坐标求无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：解较为方便。于是方程可改写为： ErZerLrrrr 2222222)(2V=-Ze2/r考虑一电子在一带正电的核考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子所产生的电场中运动，电子 质量为质量为，电荷为，电荷为 -e-e，核电，核电 荷为荷为 +Ze+Ze。取核在坐标原点，。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为：电子受核电的吸引势能为： rxz球球 坐坐 标标r y 22222sin1)(sinsin1 L此

60、式使用了角动量平方此式使用了角动量平方 算符算符 L2 的表达式：的表达式：有心力场下的有心力场下的 Schrodinger Schrodinger 方程方程50（二）求解（二）求解 Schrodinger Schrodinger 方程方程（1 1）分离变量）分离变量 (r, ) = R(r) Ylm(, )令令ERRrZerllrrrr 2222222)1()(2 注意到注意到 L2 Ylm = ( +1) 2 Ylm则方程化为：则方程化为：令令 R(r) = u(r) / r 代入上式得：代入上式得：0) 1(222222 urllrZeEdrud rZerllrV2222)1()( 若令