广义相对论（课堂PPT）

1、1天体物理所 邱涛涛办公室：9#楼1218室邮箱：2共31个课时，分15讲+一次期末考试讲课内容：I 广义相对论部分 共七讲II 宇宙学部分 共八讲期末考试方式：开卷考试或提交论文3 俞允强著广义相对论引论热大爆炸宇宙学宇宙物理学讲义 刘辽、赵峥等著广义相对论广义相对论基础 S.Weinberg著引力论与宇宙论419世纪末的两朵乌云相对论的诞生“物理学已经被认为是完成了，下物理学已经被认为是完成了，下一代物理学家可以做的事情看来不一代物理学家可以做的事情看来不多了多了”“在物理学平静而晴朗的天空出现在物理学平静而晴朗的天空出现了了两朵令人不安的小小乌云两朵令人不安的小小乌云。”英国著名科学家开

2、尔文勋爵于1900年4月27日在英国皇家学会迎接新世纪的年会上发表的贺词。物理发展到19世纪末，经典物理的框架已经形成，力热光电等所有经典物理规律都可以用当时已知的理论去描述，人们认为物理学的大厦已臻完工。威廉汤姆森（开尔文勋爵）519世纪末的两朵乌云相对论的诞生测量光速不变，违反牛顿力学体系中物体的速度相对性的结论传统的经典方法计算的黑体辐射谱与实验不相符合相对论的建立（本科要讲）量子论的建立（量子力学课中会讲到）相对论相对论和量子论量子论是现代物理学的两大基石！6牛顿绝对时空观：牛顿绝对时空观：存在绝对静止的“以太”，地球以一定速度v在以太中穿行。光行差现象：同一星体照射向地球的光的方向随

3、季节变化：被认为是地球相对于以太运动的结果。什么是“以太”？以太的概念最早由亚里士多德（公元前384年-公元前322年，约中国战国时期）提出，他认为天空中充满轻而透明的以太亚里士多德伊萨克牛顿7麦克尔逊-莫雷实验的目的：测出地球相对于以太的运动速度。平行“以太”运动方向：光的运动速度为c+v（顺着以太运动方向）和c-v（逆着以太运动方向）垂直“以太”运动方向：光的运动速度为两条路所经历的时间差：但实验上并未测到时间差！200003222lllvtlcvcvccv 22cvvc22cvA.麦克尔逊E.莫雷8相对于绝对空间运动的尺子在运动方向上会产生收缩！沿v方向上的光程不是 ，而是 ！垂直v方向

4、上的光程仍是 时间差公式变为：0222llltcvcvcv 22001/tllvc 由于物体相对运动产生的收缩效应：洛伦兹收缩（尺缩效应）H.洛伦兹（1853-1928）9经典力学体系中的惯性坐标变换（伽利略变换伽利略变换）无法给出物体在运动中产生收缩的性质！伽利略变换而洛伦兹采取的一套新的惯性坐标变换（洛伦兹变换洛伦兹变换）则能自然给出物体这一性质！洛伦兹变换注意：当 时，洛伦兹变换 - 伽利略变换，即伽利略变换是洛伦兹变换的低速极限！ xxvt yy zz tt221/xvtxvc yy zz222/1/tvx ctvcvc10洛伦兹变换（以一维空间为例）：221/xvtxvc222/1/

5、tvx ctvc假设其中(t,x)为静止坐标系，(t,x)为运动坐标系。设静止系中尺子的长度是x，现在若要在静止系中测量运动系中尺子的长度x，我们需要“同时同时”测量尺子的两端，而“同时”意味着t=0.由洛伦兹变换公式得运动系中尺子的长度为221/xxxvc因此运动系中尺子长度变短。该效应又被称为“尺缩效应尺缩效应”。x xv同理，我们还能有洛伦兹变换得出运动参考系时钟变慢的现象。该效应被称为“钟慢效应”。11出发点：麦克斯韦电磁理论中含光速c。若光速随参考系改变而改变的话，麦克斯韦电磁理论也将随参考系改变而改变！爱因斯坦洛伦兹虽然得到了高速运动的物体正确的坐标变换形式，但他仍然相信绝对时空，

6、即“以太”的存在，并把速度v理解成物体相对于以太的速度！爱因斯坦对时空观的思考（独立于洛伦兹）但物理规律不应随着参考系的改变而改变（伽利略相对性原伽利略相对性原理理），因此光速c只能是一个常数，但这又与速度叠加原理矛盾！12他认为对高速运动的物体不应该只遵循简单的叠加原理，而是有更复杂的关系！根据这个思路并凭借自己扎实的数学功底，爱因斯坦也推导出了和洛伦兹变换相同的变换形式。但不同的是，爱因斯坦认为既然物理规律在任何惯性参考系下都相同，那就没有什么参考系是“绝对”的，大家都在彼此做相对运动大家都在彼此做相对运动，所以他把变换中的速度v解释成所作变换的两个参考系之间的相对速度。（狭义）相对论（狭

7、义）相对论麦克斯韦电磁理论麦克斯韦电磁理论伽利略相对性原理伽利略相对性原理速度叠加原理速度叠加原理相互矛盾-狭义相对论基本原理：光速不变原理在任何惯性参考系内真空中的光速是不变的。相对性原理物理学的规律在任何惯性参考系内都是一样的。“相对论”名称的由来：洛伦兹在与爱因斯坦的争论中为了与自己的理论相区别，称其为相对论。爱因斯坦认为十分贴切，欣然接受。13马赫认为不存在绝对空间和绝对运动，任何运动都是相对的。爱因斯坦对时空观的理解得益于奥地利物理学家马赫。恩斯特马赫（18381916），奥地利-捷克物理学家，著有力学史评马赫原理：马赫原理：物体的运动不是绝对空间中的绝对运动，而是相对于宇宙中其他物

8、质的相对运动，因而不仅速度是相对的，加速度也是相对的，在非惯性系中物体所受的惯性力不是“虚拟的”，而是一种引力的表现，是宇宙中其他物质对该物体的总作用；物体的惯性不是物体自身的属性，而是宇宙中其他物质作用的结果。14 犹太人，1879年生于德国小镇乌尔姆，出生不久举家搬到慕尼黑； 小时候天赋一般，但喜欢钻研东西，喜欢看课外书； 在学校不受欢迎，因为一是犹太人，二是无神论者，还喜欢问问题。在慕尼黑中学退学后去意大利投奔父母； 在意大利考苏黎世工业大学未中，上阿劳中学补习，该学校校风自由，被其称作孕育相对论的土壤； 后来考上苏黎世工业大学，成绩一般，找不到工作，1902年托朋友找到一家专利局工作，

9、做普通职员。头几年每年发表一两篇论文，水平一般； 1905年：爱因斯坦奇迹年。发表了博士论文及4篇重量级论文：光量子说、用分子运动论解释布朗运动、狭义相对论、质能关系。据认为得益于专利局的工作，没什么事，可以思考一些自己感兴趣的问题。 1921年，因对光电效应的解释或诺贝尔物理学奖； 1932年，因躲避纳粹赴美国并担任普林斯顿高等研究院教授 1955年，病逝于普林斯顿。15相对论认为，不存在绝对的空间，也不存在绝对的时间，空间是相对的， 时间也是相对的， 但它们作为一个整体则是绝对的。 也就是说，存在绝对的“四维时空”。 能量是相对的， 动量也是相对的， 但它们作为一个整体是绝对的。 也就是说

10、存在绝对的“四维动量”。 光速是绝对的，在任何惯性系中光速都相同。16困难之一：如何定义惯性参考系？牛顿的定义：凡是相对于绝对空间静止或匀速直线运动的参考系为惯性系（绝对时空观绝对时空观）后牛顿时期的定义：一个不受力的质点在某参考系下静止或匀速直线运动，则该参考系为惯性系（牛顿第一定律牛顿第一定律）但何为“不受力”？在惯性系中保持静止或匀速直线运动的物体不受力。爱因斯坦的解决办法：完全抛弃惯性系的概念，而把相对论理论推广到一般参考系（非惯性系）中去！但在非惯性系中有“惯性力”的存在。“惯性力”该如何处理？互为前提的命题！互为前提的命题！aiF17困难之二：如何包括万有引力？爱因斯坦猜想：万有引

11、力和惯性力之间可能有内在联系，或许这两个困难其实是同一个困难。当时已知的两种力电磁力和相对论符合的很一致万有引力始终未包括到相对论中去2gggGMmFmriiiFm am18引力质量定义：2ggGMmFm gr2GMgr惯性质量定义：另一个问题：质量如何定义？iFmaa为加速度对于自由下落的物体，加速度可以用运动学办法测出！实验测得在很高精度范围内牛顿在自然哲学的数学原理一书中曾阐述质量的定义：“质量就质量就是物质的量，正比于重量是物质的量，正比于重量”。但他又说：“质量正比于惯性质量正比于惯性”，因此他也许已经意识到引力质量和惯性质量可能不是一个东西，但在数值上相等！a g两者相比：igma

12、m g故igmm这两种阐述实际上分别从引力的角度和惯性的角度上定义质量！19由力学课内容知单摆周期为2lTg和摆的质量无关。但若考虑到引力质量和惯性质量的区分，摆的周期实际上应写为2igmlTm g其中含质量的比值/igmm若igmm比值为1，则摆的周期与质量无关。在爱因斯坦时代对引力质量和惯性质量差别的测量：厄阜：810Dicke:1110布拉金斯基：1210为了更加精确地测量引力质量与惯性质量的差别，牛顿又设计了单摆实验。20著名的电梯理想实验a.在场强为g的引力场中静止（加速度0）c.在场强为g的引力场中自由落体(加速度g)d.在场强为0的引力场中惯性运动(加速度0)b.在场强为0的引力

13、场中加速（加速度g）在a，b两种情况中实验者无法区分自己处于哪种情况，在c，d两种情况中亦如是。ggaa受到引力质量=惯性质量的启发，爱因斯坦进一步思考：是否引力（场）和惯性力（场）本质上是一个东西？21通过电梯理想实验，爱因斯坦认识到一个处在惯性系当中的受力物体和一个处在非惯性系当中的不受力物体的运动规律是不可区分的。ggaaF引F引F惯F惯Fm g引引Fm a 惯惯mm引惯由得FF引惯22弱等效原理所有力学规律在任何参考系下都是等价的。强等效原理所有物理规律在任何参考系下都是等价的。（广义协变原理）因此，爱因斯坦总结出了奠定广义相对论基础的原理等效原理（1915年）同时由于我们可以找一个非

14、惯性系使得在该系内引力和惯性力互相抵消，而使得物理系统的运动像是在一个“不受力”且“未加速”的参考系中运动，因此我们可以在某一时空点的邻域内建立一个“局域惯性系”。23结论：万有引力=惯性力万有引力和惯性力分别具有如下性质：惯性力是一种假象力，只有受力物体，没有施力物体，不遵循牛顿第三定律1. 在万有引力作用下运动的物体，其运动方式、轨迹与自身性质（质量、成分等）无关万有引力不是真正意义上的力，而是一种几何效应！（思想（思想上的飞跃）上的飞跃）如何将引力几何化？惯性系，物体不受力-匀速直线运动非惯性系，物体受力-有可能做曲线运动即力可以改变物体运动的轨迹力可以改变物体运动的轨迹同样力也可以改变

15、时空的平直性力也可以改变时空的平直性通常（弱引力）我们认为时空是平直的若引力场足够强，可能导致时空弯曲引力引力时空弯曲时空弯曲! !24在经典数学和物理中，人们所认知的几何是平直空间中的几何欧几里得几何欧几里得几何公设（几何原本）：从一点向另一点可以引一条直线。任意线段能无限延伸成一条直线。给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。所有直角都相等。I.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。欧几里得（前325年前265年），古希腊数学家，被称为“几何之父”C其中第五公设可以等价为如下命题：过给定直线外一点有且只有且只

16、有一条直线有一条直线与已知直线平行。25因为第五公设很长很复杂，不像是基本的公理，所以很多人想从其他公设推出第五公设，但都没有成功，有的人耗费了毕生精力。K. 高斯（1777-1855）J. 鲍耶（1802-1860）N. 罗巴切夫斯基（1792-1856）认为第五公设可能不是普遍成立的，即如果从直线外一点可以引两条以上的平行线，则或许可以建立一套新的几何！（后人称罗氏几何罗氏几何）26罗氏几何由俄国数学家罗巴切夫斯基于1820年代，为最早建立的完整的非欧几何。罗氏几何：从直线外一点可以引两条以上的平行线。罗氏几何实际上是二维负常曲率空间几何二维负常曲率空间几何。其他结论：1. 该几何中无法定

17、义“直线”，直线即两点间最短线；2. 三角形三角之和小于180；3. 圆周率大于等。N. 罗巴切夫斯基（1792-1856）27黎曼：过直线外一点一条平行线也引不出来。罗氏几何和黎氏几何统称非欧几何非欧几何，描述弯曲的空间。1845年，黎曼又高度统一欧式几何、罗氏几何和黎氏几何，并统称为黎黎曼几何曼几何。G.F.B.黎曼（1826-1866）P其他结论：1. 该几何中无法定义“直线”，两点之间最短线为大圆周；2. 三角形三角之和大于180；3. 圆周率小于等。黎氏几何实际上是二维正常曲率空间几何二维正常曲率空间几何。28在熟悉了黎曼几何后，运用自己的相对论知识，爱因斯坦推出了如下运动方程（爱因

18、斯坦场方程）：418-2GRgRTc其中 =0,1,2,3表示三维空间和一维时间。g度规或度规张量R里契张量张量，有 个分量4 416R里契标量3300RR gT（物质的）能量动量张量, 时空（几何）部分 物质部分该方程为广义相对论的核心方程，形式简洁却很难解，并且只有少数解有物理对应！G为万有引力常数为光速c29平直时空弯曲时空由于引力起源于质量，他认为时空弯曲起源于物质的存在和运动，但弯曲的时空又是存在其中的物质运动的动力，因此时空弯曲和物质的存在和运动是互为因果的。Geometry tells matter how to move, matter tells geometry how t

19、o curve. 约翰惠勒30一切参考系都是相对的。相对论的核心思想：问题：1）不同参考系之间的物理量如何变换？2）哪些物理量在参考系变换下是不变的？31最简单的例子：平直时空下参考系的坐标满足洛伦兹变换：221/xvtxvc yy zz222/1/tvx ctvc或矩阵形式：22222222221/001/1/1001/1/00100001v cttvcvcxxv cyyvcvczz 32现在来看在不同坐标系下两个事件的间隔。因为描述一个事件不仅要描述事件所发生的地点（即空间，用3维坐标 ）来表示，还要描述事件所发生的时间（用1维坐标 来表示），所以我们通常用一组4 4维坐标维坐标 来描述一

20、个事件。事件一：某光源发出光信号。事件二：某处接收器接受到该信号。设两个坐标系原点重合，即在两个坐标系中看，光源是同时同地发出信号的，事件一的坐标都是(0,0,0,0)。由于坐标系的不同，事件二在第一个坐标系中的时空坐标为 , 在第二个坐标系中的时空坐标为 。( , , , )x y z t( , , )x y zt( , , , )x y z t( , )x y z t 33两事件由光信号联系。由于光速不变，在两个坐标系中光的传播速度都是c，即222222xyzxyzctt2222 222222xyzc txyzc t若定义两事件间隔为（注意上例中事件一的坐标为 ），那么事件间隔是不随参考系

21、改变而改变的！(0,0,0,0)22222221212121()()()()dsxxyyzzc tt注意：上例中两事件是有光信号联系的事件。但对任意两事件（无论有无注意：上例中两事件是有光信号联系的事件。但对任意两事件（无论有无联系或以何种方式联系），事件间隔都是不变的。详见联系或以何种方式联系），事件间隔都是不变的。详见电动力学电动力学。于是我们有34由洛伦兹变换可以看到，在相对论中时间和空间是不可分割的，3维空间和1维时间共同构成一个统一的整体。在以后的讲课中，我们会用一个带指标的字母 来表示这一组坐标，即( , , , )xct x y z0,1,2,3 有的教材会把4维坐标写作 ， ，

22、只是写法上的差别！ 在自然单位制中 ，故 常常略去不写！( , , ,)xx y z ct1,2,3,41c c事件间隔写作210000100(,)00100001dtdxdsdt dx dy dzdx dxdydz度规（后面会讲）形如上式的度规称为闵可夫斯基（Minkowski,闵氏）度规，所以平直时空也被称为闵可夫斯基（Minkowski，闵氏）时空！30dx dx爱因斯坦收缩！ 称为哑指标x35四维时空坐标和事件间隔在坐标系变换下的变换可以写为：dxa dx 22dsds 标量、矢量和张量的概念 把在坐标系变换下不变的物理量称为标量，如 。标量不带洛伦兹指标，只有一个分量。2ds 把在坐

23、标系变换下像 一样变换的物理量称为矢量。如电磁矢量 、动量矢量 。矢量带一个洛伦兹指标，对N维矢量，有N个分量。dx123( ,)pE ppp123( ,)AA AA 有些物理量更加复杂，带有两个以上洛伦兹指标。这些量在坐标系变换下作如下变换（以带两个指标为例）：Ta a T这些物理量叫张量。张量是矢量的推广，带M个洛伦兹指标的张量称M阶张量。一个M阶N维张量共有MXN个分量。常见的张量有能量动量张量、电磁张量等。36标量、矢量和张量的关系表物理量带指标数变换方式备注标量0不变0阶张量矢量1洛伦兹变换1阶张量张量N（=2）洛伦兹变换N阶张量对2阶张量 ：TTT对称张量TT 反对称张量T张量的迹

24、0T无迹张量任意一个二阶张量 都可以分解成一个对称张量 和一个反对称张量 之和T()TT()TTT()1()2TTT1()2TTT其中37上述讨论的是平直时空平直时空的坐标变换。广义相对论认为时空是弯时空是弯曲的，平直时空只是某种条件下的近似。曲的，平直时空只是某种条件下的近似。在弯曲时空下坐标及物理量如何变换？设在四维弯曲时空中，坐标有如下变换形式：()xxx,0,1,2,3 尽管变换的具体形式可能很复杂，但是我们可以写出坐标微分的变换公式：xdxdxx 对于变换方式与该变换相同的矢量，我们称其为逆变矢量逆变矢量。逆变矢量的逆变矢量的指标写在右上方。指标写在右上方。另外一些矢量，如空间导数

25、，它们的变换规则为：dddxdxddxxdx对于变换方式与该变换相同的矢量，我们称其为协变矢量协变矢量。协变矢量的指协变矢量的指标写在右下方。标写在右下方。38二阶逆变张量逆变张量变换形式：二阶协变张量协变张量变换形式：同理，协变矢量和逆变矢量的定义可以推广到n阶张量。xxTTxx xxTTxx但由于张量可以带多个指标，所以有的张量部分指标是逆变的，部分指标是协变的，该张量被称为混合张量混合张量。如：1212121 21 21 21212mnmmnnmnxxxxxxTTxxxxxx 则该张量被称为(m+n)(m+n)阶混合张量阶混合张量。混合张量是包含了协变张量和逆变张量的最一般形式。39 张

26、量相等的定义：逆、协变指标数相同的两个同阶同阶张量各分量均相等。 张量的加减：两个同阶同阶张量的所有分量相加减。 张量与标量的乘积：张量的所有分量乘以此标量。张量的代数运算有如下一些性质：0000nijjimmnaaaAaaa0000nijjimmnbbbBbbbijijABab00000000nnijijjijimmmnmnabababABababab0000nijjimmnaaaAaaa40 张量指标的缩并11111111mnmmnnmnxxxxxxTTxxxxxxxx111111111111mnmnmnmnmnmnxxxxxxTxxxxxxxxxxxxTxxxxxx只有m-1个逆变指标、

27、n-1个协变指标参与了坐标变换的运算，故 实际上为m-1m-1阶逆变、阶逆变、n-1n-1阶协变张量阶协变张量，而哑指标不再起张量指标的作用哑指标不再起张量指标的作用。（克罗内克尔（Kroneker）函数定义为 ）1,0,11mnT 41 矢（张）量的内积xxA BA BA BA Bxx A B是一个标量！张量内积后上下指标也会缩并，内积后张量降阶！注意：缩并和内积只存在于一对上下指标之间！注意：缩并和内积只存在于一对上下指标之间！42张量是逐点定义的，同一时空点的张量相加减仍具有张量的性质，而不同时空点张量相加减将失去张量的性质！如何在保证张量性质的前提下对不同点的张量相加减？定义张量的“平

28、移平移”。以协变矢量平移为例平移要求：1.平移后的矢量仍是矢量（满足矢量的变换性质）。 2.平移所引起的改变量 正比于原矢量 及平移的位移 （线性理论要求）。P点P点Q点( )AP( )A Q()APQ( )AP( )()APAPQ( )AP( )APdx43由平移的第二个要求：( )()( )( )( )APAPQAPP A P dx 其中比例系数称为（仿射）联络（仿射）联络。仿射联络在坐标系变换下如何变换？在平直时空下()()APQAP故( )0P由平移的第一个要求：()()QxAPQAPQx由()( )( )( )APQAPP A P dx及22QPPPPPxxxxxxdxdxxxxxx

29、xxx 得2xxxxxxxxxxx 可见 不满足张量在坐标系变换下的变换公式，因此 不是张量。44 联络的变换由式给出，因此联络不是张量，但两个联络的差是张量。 联络一般是不对称的，但和张量一样，可以分解成对称部分和反对称部分之和，对称部分不是张量，反对称部分是张量，称为挠率张量。联络的性质() ()1()21()2222xxxxxxxxxxx 211xxxxxxxxxxx 1212()xxxxxx 45定义了矢（张）量的平移和联络之后，我们就可以定义相邻两点矢（张）量的差，进而可以定义弯曲空间矢（张）量的微分及导数。我们熟悉的导数定义：0()( )limxdff xxf xdxx （一维平直

30、时空）四维弯曲时空的导数：1) 标量场 的导数,()dxdx在坐标系变换下的变换：,()()()dxdxdxxxdxdxdxxx 符合张量变换性质。因此我们定义标量在弯曲空间中的导数形式和平直空间中的相同。462) 协变矢量场的导数,( )( )limQPA QAPAx 由于 不具有矢量的性质，因此只能将弯曲空间导数定义为平移后同一点矢量对时空的微商，即( )( )A QAP;( )()limQPA QAPQAx 如此定义的导数具有矢量的性质，称为协变导数（微商），协变导数（微商），用 表示。由 知协变导数和普通导数的关系为()( )( )( )APQAPP A P dx;,AAA 普通导数：

31、;47与普通导数一样，协变导数遵循莱布尼兹法则莱布尼兹法则：;()()()A BABAB因为协变导数与普通导数一样具有线性性。协变导数与普通导数一样具有线性性。3）逆变矢量场的协变导数由于逆变矢量和协变矢量可以构成一个标量，而标量的协变导数等于普通导数，于是有;,()()A BABA BA BABA B ,;,ABA BA BABA B ;,BBB4）张量场的协变导数（以混合张量为例）;,TTTT 48弯曲空间中如何定义“直线”？欧式空间中对直线的描绘：过两点有且只有一条直线。定义一：两点间距离最短的线两点间距离最短的线（又叫短程线，在已定义长度的空间如黎曼空间中）定义二：曲线上任一点沿此曲线

32、作位移，该点切向量的移动是平行移曲线上任一点沿此曲线作位移，该点切向量的移动是平行移动动（在未定义长度的空间如仿射空间中，称为“测地线”）。由于我们还没有给出长度的定义，所以暂时用定义二。曲线的参数方程：( )xxpp为仿射参量切向量：dxAdpP点和Q点曲线的切向量分别为 和( )()( )( )( )( )dxdxAQAPQAPP AP dxPdxdpdp( )AP切向量的移动是平行移动：( )AQ总可以写成22( )( )dxddxdxd xAQAPdAdpdpdpdpdpdpdp由上两式得曲线成为测地线，参数方程须满足：220d xdx dxdpdp dp测地线方程测地线方程( )AQ

33、49我们定义了弯曲时空中矢（张）量的导数协变导数，它与普通导数的区别是差一个和联络有关的因子。正是这个因子，导致协变导数和普通导数的一个重要性质的不同：可交换性被破坏！普通导数的可交换性（以协变矢量为例）：, , ,AA 而对协变导数：; ; ,;, ,;AAAAAAAAAA 同理; ;, ,;AAAAAAA 两者的差是; ; ;,;()()AAAA R2挠率张量挠率张量黎曼曲率张量黎曼曲率张量当黎曼曲率张量和挠率张量均为0时，协变微商可交换次序。即当二者均为0时，时空退化成平直时空！50OQQPPdxxOQdx OQx将OQ平移 至QP，将OQ平移 至QP，P与P是否重合？dxxQPdxdx

34、xQ Pxx dx P与P两点之差为()()()()2OQQPOQQ Pxdxdxxdxxx dxdxxdxx 当 时P与P点之差为零，即P与P点重合，上述平移才能构成一个封闭的平行四边形。在挠率不为零的空间中平移的顺序不可交换，若交换顺序则会产生一个附加的位移，这个附加位移便是弯曲空间产生的几何效应。0挠率的几何意义51现在考虑无挠的情况，即不同顺序的平移可以构成一个封闭环路。那任意矢量从环路的某一点出发，绕环路一周后回到原点，是否和原来的矢量相等？OQQPdxxA设某矢量 沿封闭平行四边形做如下平移：OQPQOA()( )( )( )AOQAOO A Ox,()()( )()( )( )(

35、 )( )()( )( )( )( )( )( )( )( )AOQPAOQQ A OQ dxQ dx dxAOO A OxdxO A O dxxOO A O dxxOO AOx dx ()( )()()AAOQPQOAOAOQPAOQP绕一周后与原矢量之差为曲率的几何意义由矢量的平移公式可知52曲率的几何意义大家可以看到，当黎曼曲率张量 时，矢量绕行一周后与原矢量重合，或矢量从一点平移至另一点，增量与路径无关矢量从一点平移至另一点，增量与路径无关。相反，在曲率张量不为零的空间，沿不同路径平移的张量会有一个附加的差别，该差别也是来自于空间曲率产生的几何效应。0R同理()( )( )( )AOQ

36、AOO A O dx,()( )( )( )()( )( )( )( )( )( )( )( )AOQPAOO A OxdxO A Ox dxOO A Ox dxOO AO dxx 二者之差为,()()()AAOQPAOQPAx dxRAx dx 53马里乌斯索菲斯李（18421899）挪威数学家坐标变换：()xxx其中 和 被认为是不同坐标系下的同一不同坐标系下的同一时空点。时空点。xx实际上， 和 也可以被认为是同一坐标同一坐标系下的不同时空点。系下的不同时空点。对无穷小变换，()xxx可写为()xxx 其中 是小量， 称为该无穷小变换的生成元。xx54为使不同点矢（张）量相加减仍然保持矢

37、（张）量的性质，我们仍然需要定义平移：( )()APAPQ李导数李导数即描述在上述无穷小变换下物理量的微小变换，其数学定义为：同样，在定义了平移之后我们才能定义导数。0( )()( )limT QT PQL T x( )T x为任意标量、矢量或张量1) 标量 的李导数,000( )()( )( )( )limlimlimdxQPQQPLx 552) 逆变矢量 的李导数A过一点P作曲线，使该曲线在P点的切向量即为 ，即APdxAdp设曲线上P点和P点的坐标分别为 和 ，则 正比于曲线上的微位移PPdx xxdx坐标变换 把P点和P点分别映射到Q点： 及Q点：( )xxx ,()( )xdxxdx

38、xdxxdxxdx则QQ 即为变换后的PP。,( )QQxdxxxdxdxPPdx即,()( )( )APQAPAP的李导数为,00,;( )()( )( )limlim()AQAPQAQAPL AAAAAAAAAAQPPQA( )xxx A56李导数同样遵循莱布尼兹法则：()()()LA BLABA LB3）协变矢量场的李导数与协变矢量场的协变导数相似，我们有,()()LA BA BABA B ,;L BBBBB 4）张量场的李导数（以混合张量为例）;L TTTT由莱布尼兹法则：57相同点：都是描述弯曲空间的导数，都是张量；都遵循莱布尼兹法则；不同点：李导数不仅取决于被导函数，还取决于生成元

39、；李导数不需要引入联络的概念；李导数只适用于无穷小变换（在后面讲到宇宙学扰动的时候会用到）。李导数和协变导数的关系58,R 59到目前为止，我们只定义了矢量的概念以及在坐标变换下的变换方式，但并未定义矢量的长度长度（也没有定义在弯曲空间下两事件的事件间隔）！ 未定义长度的弯曲空间仿射空间仿射空间 定义了长度的弯曲空间黎曼空间黎曼空间60在弯曲空间下，我们定义事件间隔：2dsgdx dxg为弯曲空间中长度的度量，因此被称为度规张量度规张量或度规度规。度规在坐标系变换下的变换方式2dsg dx dx由于 是标量2ds22dsds而 、 是矢量dxdxxdxdxx xdxdxx 故xxggxx 同理

40、，我们可以定义四维矢量的长度：2|AgA A61一些空间的事件间隔及度规张量的例子1. 三维平直空间（直角坐标）：2. 三维平空间（球坐标）：3. 四维平直时空（直角坐标）：2222dsdxdydz(,)idxdx dy dz100010001ijg2221000000sinijgrr(,)idxdr dd2222222sindsdrr drd 1000010000100001g(,)dxdt dx dy dz22222dsdtdxdydz 62一些空间的事件间隔及度规张量的例子5. 四维史瓦西时空（球坐标）：4. 四维各项同性时空（直角坐标）：222222( )()dsdta t dxdyd

41、z 12222(1)00020(1)00000000sinGMrGMgrrr当 时，该时空称德西特（de-Sitter）时空。常用于分析膨胀宇宙。球对称时空，常用于分析黑洞解。(,)dxdt dx dy dz2221000000000000agaa0( )Hta ta e22122222222(1)(1)sinGMGMdsdtdrrrr drd (,)dxdt dr dd63定义逆变度规张量：|gg其中 为度规张量 的伴随矩阵，为度规张量 的行列式。由伴随矩阵和行列式的定义可知：|gggggg即 和 互为逆矩阵。gg伴随矩阵：第i行第j列元素是 关于第i行第j列的代数余子式。ggg|g64定义

42、某逆变矢量 （逆变张量 ）的协变形式：AgATgg T由于 和 的互逆性，反过来我们也有：ggATAgATgg T以及AATT （上两式也可以直接由克罗内克尔 函数的定义得到。）由此可见： 升降指标； 换指标。gg65在定义了度规后，我们可以将联络 用度规来表示。之前讲过，在弯曲空间中我们可以通过平移把一个矢量从P点移到Q点：( )()( )( )( )APAPQAPP A P dx由于矢量长度是标量，平移前后，矢量长度不变，即22|( )|()|A PA PQ由矢量长度的定义知：( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )gQ APP AP dxAPP AP dxgP AP

43、AP代入后取 的一阶小量得最后我们有,0ggg 又因为,0gdx A AgAA dxgAA dx dx,( )( )gQgPgdx 66,0ggg 进行指标轮换：（为什么能进行指标轮换？因为原方程是 ，是个不带指标的标量方程标量方程，所以推导过程中产生的一切指标均为哑指标哑指标。只有哑指标可以替换成其他指标，非哑指标不可轮换。）22|( )|()|A PA PQ轮换指标 ，可得：轮换指标 ，可得：(1)(3)(2)将式子 ,0ggg ,0ggg 乘以（(2)+(3)-(1)）：,1()2gggg 用度规张量来表示的联络 又被称为克里斯朵夫符号克里斯朵夫符号。g67上次讲到弯曲空间中的“直线”，

44、即测地线。在没有定义长度的空间中，我们暂时用曲线切向量的平移来定义“直线”。现在已经定义了长度，我们可以用两点之间距离最短的定义来给定“直线”（短程线）。BASds0S1/2()dsgdx dxA、B两点间任意曲线长度为其中线元而短程线要求引入仿射参量P，则()dsgx xdp其中dxxdp短程线方程变为1/2()0BAgx xdp0LdLxdpx1/21/210()()ggxgxdx xxdpgx xgx x1/2()Lgx x拉氏函数或拉氏方程将方程展开得6822,2211()()022d xdxdxd xdxdxgggggggdsdsdsdsdsds 将方程乘以 ：2,21()02d x

45、dxdxggggdsdsds g与之前求的测地线方程具有相同形式！*若已知拉氏函数 ，可由求解短程线方程的办法直接求出 ，而不需使用定义式 。后面会详细讲到。1/2()Lgx x当仿射参量选为线长s时， ，方程变为1/2()1gx x1()02gdx xgxxds或,1()2gggg 69既然度规是张量，我们也可以定义度规的协变导数：;,gggg 又由克里斯朵夫符号的定义,1()21()2gggggggg 代入得;,11()()221111112222220ggggggggggggggg （注意这里用到了度规的对称性）结论：度规的协变导数等于度规的协变导数等于0 0（里契（里契(Ricci)(

46、Ricci)定理）定理）。70由于度规的协变导数等于0，所以张量升降指标和协变导数可以交换张量升降指标和协变导数可以交换顺序顺序。例如：;()()gAAgAgAgAgAA 先降指标再求导先求导再降指标由此可见;0()gggggggg 所以;0g即逆变度规的协变导数也为0.注意：度规的普通导数不一定为零，,ggg 因此张量升降指标和普通导数不可交换顺序！711. 逆变矢量的散度由散度的定义知;,AAAA由Ricci定理：;,0gggg 用 乘以上式：g,12gg |gg，而作为 的伴随矩阵，()()|gg |gg只对一对指标求和g,ln |11|1|1ln |22|2|2gggggggggxgx

47、xx 代入散度公式：,11ln| |( |)|AAgAg AgAg Agg（用拉普拉斯算子 来表示协变导数，则 ）AA 注意：只有对逆变矢量才能定义散度，协变矢量需要先升指标！只有对逆变矢量才能定义散度，协变矢量需要先升指标！722.达朗贝尔算符有时候我们会遇到对一个标量求梯度后再求散度，如求梯度,（协变矢量）升指标,g（逆变矢量）求散度,;()g定义gg ,;()g （对标量）,则由协变矢量的散度1( |)|Ag Ag得,1()( |)|gg gg73于是我们有 ，即 在坐标变换下不变（为一标量），称不变体积元不变体积元。3.不变体积元对于n为空间的体积分，我们有12ndVdx dxdx其中

48、12ndVdx dxdx称为体积元体积元。体积元并非坐标变换不变量体积元并非坐标变换不变量，因 在坐标变换下变换为xdxdxx dx体积元在坐标变换下变换为1212(,)|(,)nnxxxdVdVx xx 而我们知道度规在坐标变换下变换为xxggxx 两边求行列式，得：12212(,)| | |(,)nnx xxggxxx |g dVg dV 为免去考虑体积元随坐标变换的麻烦，在弯曲时空中体积分的体积元即写成 的形式，如|g dV|g dV|SLg dV雅克比行列式744. 协变矢量的旋度注意：只有对协变矢量才能定义旋度，逆变矢量需要先降指标！只有对协变矢量才能定义旋度，逆变矢量需要先降指标！

49、由协变矢量协变导数的定义：;,AAA ;,AAA 对于无挠空间， 以上两式相减得 ;,AAAAAAAA 即协变矢量的协变旋度和普通旋度相同！协变矢量的协变旋度和普通旋度相同！75以前讲到黎曼曲率张量的表达式为：,R 为发现黎曼曲率张量更多的性质，我们把前两项用度规来表示：,11()()22Rgggggggg 同时乘以 以变成完全协变张量g,11()()22()Rg Rggggggggggg 利用 、 及Ricci定理 等性质，我们最终可以把黎曼曲率张量写成：g g,g ggg ;0g , , , , ,1()()2Rggggg 76, , , , ,1()()2RgggggR 表面上看来， 带

50、有四个洛伦兹指标，每个指标可以取0,1,2,3四个值，共有 个分量，但实际上要简单得多！44256因为这四个指标之间有对称性或反对称性关系，因此不是每个分量都是独立的！1. 交换 和 ：反对称，有6个独立分量, , , , ,1()()2RgggggR 2. 交换 和 ：反对称，有6个独立分量, , , , ,1()()2Rggggg RR 共有 个独立分量6 6363. 同时交换 和 ：对称，有21个独立分量另外 还满足一个式子，即R0RRR因此自由度又减少一个。故 实际上只有2020个分量是独立的个分量是独立的！里契恒等式里契恒等式R77关于黎曼曲率张量的另一个重要恒等式毕安基毕安基(Bi

51、anchi)(Bianchi)恒等式恒等式：;0RRR 由于该方程为张量方程，所以只要在一个坐标系下成立，则在所有坐标系下均成立。为简单起见，我们选择一个特殊的坐标系，即笛卡尔坐标系（联络为零）来证明该恒等式。在笛卡尔系中，, , , , ,1()2Rgggg 且该系的协变导数与普通导数相等，即三式相加便可得证。同理，;, , , , , , , , ,1()2RRgggg ;, , , , , , , , ,;, , , , , , , , ,1()21()2RRggggRRgggg 78曲率张量的缩并黎曼曲率张量共有4个指标，但由于第一、第二个指标以及第三、第四个指标为反对称，他们互相缩并

52、会给出零张量，所以只能是前两个指标中的一个与后两个指标中的一个缩并！我们把第一、第三个指标缩并后所得的二阶张量RR称为里契里契(Ricci)(Ricci)张量张量由于里契张量所带的两个洛伦兹指标为原黎曼曲率张量的第二、第四个指标，所以这两个指标是对称的，也即里契张量是一个对称张里契张量是一个对称张量，有量，有1010个独立分量个独立分量。若进一步对里契张量的两个指标缩并（注意要先把一个指标升为逆变指标！），则有g RRR不带洛伦兹指标，因此是一个标量标量，称为里契标量里契标量。R79对毕安基恒等式也可以进行缩并。毕安基恒等式：;0RRR ;0RRR R将该式乘以 后稍加变换，便可写成如下形式：

53、;1()02RR或;1()02Rg RG爱因斯坦张量爱因斯坦张量;0RRR 同时收缩 和 、 和 （注：只有第一和第三个指标收缩会变成只有第一和第三个指标收缩会变成RicciRicci张量张量，所以要把这两对中的一对变成第一个和第三个指标，需要进行指标交换。反对称指标交换会给出一个负号反对称指标交换会给出一个负号。）得：;R 80和 的等价性0R0GR的缩并0R 0R102GRgR0G12RgR两边同乘以 ：g12gRggRR4xx2RR0R 12RgR0R即81由张量李导数的定义;L TTTT知，作为2阶协变张量的度规张量李导数为;L gggg 因为度规张量的协变导数为零，所以;L ggg

54、等度规映射：等度规映射：0L g称为Killing矢量，所满足方程为;0 即xx不变g8212222(1)00020(1)00000000sinGMrGMgrrr83上一讲上一讲：广义相对论的数学基础本讲本讲：爱因斯坦场方程的建立引力场爱因斯坦场方程的理论基础：(1) 广义协变原理 （场方程应该是个张量方程）；(2) 等效原理（引力几何化，即用弯曲的时空来描述引力作用）；(3) 马赫原理（一切坐标系都是相对的，物体所受惯性力或被加速是物质相互作用的结果）；(4) 光速不变原理（任何参考系下光速都是常数c）；(5) 在宏观低速的极限下能回到牛顿力学近似；(6) 自由物体的运动方程为短程线方程。8

55、4通常定义的三维速度：iidxvdt因 不是洛伦兹不变量，所以该定义下的速度推广到四维后将不再是矢量！dt定义固有时固有时：idsidgdx dxcc标量并定义：iidxud00dxdtucdd则由他们组成的四维速度0(,)(,)iidtdxdxuu ucddd是一个逆变矢量，且满足归一化条件则 ，即固有时为相对于物体静止（ ）的坐标系中的时间。222dsc d 0idx 1u u 注意：若物体以光速运动，则它的 ，便不能用 （或固有时）来定义物体的四维速度。我们可以用其他非零仿射参量 来定义物体的四维速度 ，则该四维速度满足0ds dsd/udxd0u u85宇宙中的大量宏观物质，甚至包括宇

56、宙本身，都可以近似看做理想流体理想流体。由相对论流体力学相对论流体力学知理想流体的能（量）动（量）张量能（量）动（量）张量为()Tp u upg其中 为物质的能量密度， 为压强， 为物质的四维速度。由该能动张量可得物质连续性方程（能量守恒方程）的相对论形式：;0T在非相对论极限下（度规为平直时空度规，联络等于零），方程简化为：00000000iiiijjTTxxTTxx22()0()()011() ()022iiiijijjijvtxvpv vptxvvvptx 其中 为流体的内能。1()pd pu或（详见流体力学及相对论流体力学）86 、 、 为任意常数根据以上原理，爱因斯坦猜测猜测场方程应

57、具有如下形式：2MT物质的能量动量张量物质的能量动量张量引力项引力项 是对称张量，故 也应是对称张量，因此 可能是 和 的某种组合。TMMRg根据量纲分析： 量纲为2，而 量纲为0，所以可能的组合应为12()C RC gR1C2C 、 量纲为0， 量纲为2。所以方程变为：212C RC gRgT2C 能量守恒方程：;0T;12()0C RC gR由毕安基恒等式：12/ 2CC 因此12MRgRg爱因斯坦张量宇宙学项Rg1C2C广义相对论中单个粒子的运动方程：短程线方程220d xdxdxdsdsds87对于广义相对论的牛顿近似，我们将采取以下假设： 引力场弱场近似： 引力场是静态的： 引力场是

58、空间缓变的： 物体做低速运动：gh|1h,0,00gh,| |1iigh1,2,3i |idxcd0| |idxdxdd0|1idxdx88物体的运动方程：短程线方程220d xdxdxdsdsds克氏符可近似为：,1()2hhh 当 时，该方程的一个分量为i220iid xdxdxdsdsds其领头项为2000020iid xdx dxdsds ds0000,12iih 20002()iid xdx 又 ，方程变为0dxcdt2200,2()2iid xchdt定义 ，则2002ch 22()iid xdt 89对比牛顿引力方程及牛顿第二定律（引力源为M，检验物体为m）：2GMmFr22()id xFmmadt可知3iiiFGMmrmrGMr称牛顿引力势因此002222GMhcc r 00000022(1)GMghc r 若要求引力源M的引力场满足弱场近似，即 ，则0022|1GMhc r22GMrcr为m到M的距离r必然大于M的物理半径。一般来说，M的物理半径远大于其史瓦西半径，则只要m在M的外部，弱场条件必然成立。如太阳：物理半径 公里，史瓦西半径3公里。但对于有些物质（如白矮星、中子星、黑洞），物理半径接近或小于史瓦西半径，它们附近的引力场就会非常强，弱场近似就不成立。22GMc称M的史瓦西半径（以后