有限元分析ansys（课堂PPT）

1、1机械工程有限元法基础机械工程有限元法基础周培周培机电工程系机电工程系2有限元法现已成为计算机有限元法现已成为计算机数值模拟数值模拟中的一种主要手段中的一种主要手段. .现广泛应用于机械、电子、航空航天、汽车、船舶、现广泛应用于机械、电子、航空航天、汽车、船舶、建筑以及石油化工等领域建筑以及石油化工等领域. .拓展到了拓展到了电磁学电磁学,流体力学流体力学,传热学传热学,声学等领域声学等领域从简单的静力分析从简单的静力分析发展到了发展到了动态分析动态分析,非线性分析非线性分析,多物理场耦合分析等复多物理场耦合分析等复杂问题的计算杂问题的计算它从最初的固体力学领域它从最初的固体力学领域有限元法是

2、根据有限元法是根据变分原理变分原理求解数学物理问题的一求解数学物理问题的一种种数值方法数值方法.3第二章第二章 有限元法的基本原理有限元法的基本原理21第一章第一章 绪论绪论 第三章第三章 轴对称问题的有限元解法轴对称问题的有限元解法第四章第四章 杆件系统的有限元法杆件系统的有限元法345第五章第五章 空间问题的有限元法空间问题的有限元法4第六章第六章 动态分析有限元法动态分析有限元法6第七章第七章 热分析有限元法热分析有限元法第八章第八章 有限元建模方法有限元建模方法789第九章第九章 ANSYSANSYS分析实例分析实例5船体在弯扭联合作用下的结构船体在弯扭联合作用下的结构“应力应力-变形

3、变形”有限元分析有限元分析6风洞风洞 强度与振动强度与振动7增压风洞的第一阶模态增压风洞的第一阶模态 f=10.36Hz8电机谐响应分析电机谐响应分析9电机谐响应分析电机谐响应分析1011第一节第一节 有限元法的产生与基本思想有限元法的产生与基本思想2200d()d0d0dxxyFlxxEIyyx边界条件边界条件数学问题数学问题求解求解解析法解析法数值法数值法差分法差分法变分法变分法有限元法有限元法微分方程的边值问题微分方程的边值问题12差分法差分法基本思想基本思想:用用均匀的网格离散均匀的网格离散求解域求解域,用离散点的用离散点的差分差分代替微分代替微分,从而将连续的微分方程和边界条件转化为

4、网从而将连续的微分方程和边界条件转化为网格节点处的格节点处的差分方程差分方程,并用差分方程的解作为边值问题并用差分方程的解作为边值问题的的近似解近似解.边值问题为边值问题为12( )( )( )( )( )( )y xy xy xf xaxby ady bd(1-3)13对每个内节点对每个内节点 xi ,若用差分近似若用差分近似代替微分代替微分,有有1()( )( )iiiy xy xy xh1iiiyyyh 11112112()( )( )()( )()2 ( )()2iiiiiiiiiiiy xy xy xy xhhy xhy xy xy xhyyyh同样同样(1 4)(1 5)14111

5、22(1,2,1)iiiiiiiyyyyyyfinhh211(1)(2)(1,2,1)iiiih yhhyyfin012,nydyd将将(1-4)(1-5)代入代入(1-3),得得即即(1 6)再由再由(1-3)中的边界条件中的边界条件,有有(1 7)线性方程组线性方程组15变分法变分法变分原理变分原理:微分方程边值问题的解等价于相应泛函极值微分方程边值问题的解等价于相应泛函极值问题的解问题的解.边值问题的求解边值问题的求解泛函极值的求解泛函极值的求解泛函泛函:给定满足一定条件的函数集合给定满足一定条件的函数集合A:y(x),和实数和实数集合集合R。设。设y(x)是是A中的函数中的函数,V是是

6、R中的变量中的变量,若若A和和V之间存在一个对应关系之间存在一个对应关系,就是就是A中的每个函数中的每个函数y(x),R中都有唯一的中都有唯一的V值与之对应值与之对应,则称则称V是函数是函数y(x)的泛函的泛函,记为记为V=V(y(x)。A称为泛函的定义域称为泛函的定义域,可变函数可变函数y(x)称为自变函数称为自变函数,依赖依赖自变函数而变的量自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。称为自变函数的泛函。16里兹法里兹法: :选择一个定义于整个求解域选择一个定义于整个求解域并满足边界条件的试探函数并满足边界条件的试探函数将试探函数代入泛函表将试探函数代入泛函表达式达式,建立线性方程建立线性方程

7、求解方程求解方程计算系数计算系数17式中，式中， 为待定系数。为待定系数。设有边值问题设有边值问题22d10d(0)0, (1)0yyxyy 122011( )()d22I y xyyyx234112311( )()()()()()nnniiixxxxxxxxxxx(1-8)通过数学推导，求得其泛函为通过数学推导，求得其泛函为现用一试探函数近似原边值问题的解，试探函数设为现用一试探函数近似原边值问题的解，试探函数设为以下多项式形式以下多项式形式12,n (1-9)(1-10)18因此有因此有( )( )y xx试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。

8、将试探函数代入式将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于，可以得到关于n个待定系数个待定系数的泛函表达式，简记为的泛函表达式，简记为123( )(,)nI y xI 根据多元函数有极值的必要条件，有根据多元函数有极值的必要条件，有12311232123(,)0(,)0(,)0nnnnIII (1-11)将求出的系数代入将求出的系数代入(1-10)，就可得到试探函数的表达，就可得到试探函数的表达式，即原边值问题的近似解。式，即原边值问题的近似解。19有限元法有限元法有限元法是在差分法和变分法的基础上发展起来的一有限元法是在差分法和变分法的基础上发展起来的一种数值方法种数值方法,它吸取了差分法对求

9、解域进行离散处理它吸取了差分法对求解域进行离散处理的启示的启示,又继承了里兹法选择试探函数的合理方法又继承了里兹法选择试探函数的合理方法.基本思想基本思想:离散离散,分片插值分片插值单元单元（网格）（网格）节点节点单元间的互相作用只能通单元间的互相作用只能通过节点传递过节点传递1.离散离散:2021222.分片插值分片插值变分法一般用于求解函数较规则和边界条件较简单变分法一般用于求解函数较规则和边界条件较简单的问题的问题.分片插值的思想分片插值的思想: 针对每一个单元选择试探函数针对每一个单元选择试探函数(插值函数插值函数),积分计算在单元内完成积分计算在单元内完成.一维函数的整体插值与分片插

10、值一维函数的整体插值与分片插值23第二节第二节 有限元法的应用有限元法的应用有限元法的优越性有限元法的优越性能够分析形状复杂的结构能够分析形状复杂的结构能够处理复杂的边界条件能够处理复杂的边界条件能够保证规定的工程精度能够保证规定的工程精度能够处理不同类型的材料能够处理不同类型的材料有限元法的应用范围有限元法的应用范围线性静力分析线性静力分析动态分析动态分析热分析热分析流场分析流场分析电磁场计算电磁场计算非线性分析非线性分析过程仿真过程仿真在产品开发中的应用在产品开发中的应用:CAD/CAE/CAM 有限元法是有限元法是CAE的主要方法的主要方法2425262728第二章第二章 有限元法的基本

11、原理有限元法的基本原理21第一章第一章 绪论绪论第三章第三章 轴对称问题的有限元解法轴对称问题的有限元解法第四章第四章 杆件系统的有限元法杆件系统的有限元法345第五章第五章 空间问题的有限元法空间问题的有限元法29第二章第二章 有限元法的基本原理有限元法的基本原理线性弹性平面问题线性弹性平面问题第一节第一节 弹性力学相关知识弹性力学相关知识一、弹性力学中的物理量一、弹性力学中的物理量: 载荷载荷,应力应力,应变应变,位移位移1.载荷载荷载荷是外界作用在弹性体上的力载荷是外界作用在弹性体上的力,又称外力又称外力.它包括它包括体力体力,面力和集中力面力和集中力三种形式三种形式.体力矩阵体力矩阵面

12、力矩阵面力矩阵集中力矩阵集中力矩阵 TvvxvyvzPPPP TssxsyszPPPPTccxcyczPPPP302.应力应力当弹性体受到载荷作用当弹性体受到载荷作用,其内部将产生内力。弹性体其内部将产生内力。弹性体内某一点作用于某个截面单位面积上的内力称为应内某一点作用于某个截面单位面积上的内力称为应力力,它反映了它反映了内力内力在截面上的在截面上的分布密度分布密度。微分体的应力分量微分体的应力分量,xyyxxzzxyzzy切应力互等定律切应力互等定律应力矩阵应力矩阵 Txyzxyyzzx313. .应变应变32微分体的应变分量微分体的应变分量 正应变正应变伸长为正伸长为正,缩短为负缩短为负

13、 切应变切应变直角减小为正直角减小为正,增大为负增大为负注意!应变的矩阵表示：应变的矩阵表示： Txyzxyyzzx334.位移位移弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置发生变弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置发生变化化,这种位置的改变称为位移这种位置的改变称为位移,用用d表示表示.位移可分解为位移可分解为x、y、z三个坐标轴上的投影三个坐标轴上的投影u、v、w,称为称为位移分量位移分量. .沿坐标轴正方向的位移分量为正沿坐标轴正方向的位移分量为正, ,反之为负反之为负. .位移的矩阵表示位移的矩阵表示 Tduvw34二、弹性力学的基本方程二、弹性力学的基本方程弹性力学基本方程描述弹性体内任一

14、点应力弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力,应变应变,位位移以及外力之间的关系移以及外力之间的关系,它包括它包括平衡方程平衡方程,几何方程几何方程和和物理方程物理方程三类三类.弹性力学中的基本假设：弹性力学中的基本假设： 1 1、连续性假设：物体是连续的、连续性假设：物体是连续的 2 2、均匀性假设：物体由同一材料组成、均匀性假设：物体由同一材料组成 3 3、各向同性假设：物体各个方向的性能相同、各向同性假设：物体各个方向的性能相同 4 4、物体是完全弹性的、物体是完全弹性的 （符合上述（符合上述4 4个条件的称为理想弹性体）个条件的称为理想弹性体） 5 5、位移和形变是微小的。、位移和形变

15、是微小的。351.平衡方程平衡方程弹性体受力以后仍处于平衡状态弹性体受力以后仍处于平衡状态,因此其上的因此其上的应力应力和和体力体力在在x,y,z三个方向上分别满足以下平衡方程三个方向上分别满足以下平衡方程000 xyxxzvxxyyyzvyyzxzzvzpxyzpxyzpxyz平衡方程是弹性体内部必须满足的条件平衡方程是弹性体内部必须满足的条件362.几何方程几何方程几何方程描述几何量几何方程描述几何量应变应变和和位移位移之间的关系之间的关系,其矩其矩阵形式为阵形式为 000000000 xyzxyyzzxuxxvyywuzzvuvwyxyxvwzyzywuxzzx373.物理方程物理方程物

16、理方程描述物理方程描述应力分量应力分量和和应变分量应变分量之间的关系之间的关系,这这种关系与材料的物理特性有关种关系与材料的物理特性有关.物理方程有六个物理方程有六个:1()1()1()111xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG2(1)EGE:弹性模量弹性模量 G:切变弹性模量切变弹性模量 : :泊松比泊松比 D矩阵形式矩阵形式称为弹性矩阵称为弹性矩阵,由弹性模量和泊松比确定由弹性模量和泊松比确定,与坐标无关与坐标无关 D38三类基本方程中包括三类基本方程中包括15个方程个方程.含有含有6个应力分量个应力分量,6个应变分量个应变分量,3个位移分量个位移分量(共共15个未

17、知量个未知量)三种解题方法三种解题方法:位移法位移法,应力法应力法,混合法混合法目前有限元法主要采用的是位移法目前有限元法主要采用的是位移法,它是以三个位移它是以三个位移分量作为基本未知量的分量作为基本未知量的.(平衡方程平衡方程3个个,几何方程几何方程6个个,物理方程物理方程6个个)39三、虚位移原理三、虚位移原理1.虚功与虚应变能虚功与虚应变能 弹性体在外力作用下要发生变形弹性体在外力作用下要发生变形,外力对弹性体外力对弹性体做功。若不考虑变形中的热量损失做功。若不考虑变形中的热量损失,弹性体的动能及弹性体的动能及外界阻尼外界阻尼,则外力功将全部转换为储存于弹性体内的则外力功将全部转换为储

18、存于弹性体内的位能位能-应变能。当外力去掉后应变能。当外力去掉后,应变能将使弹性体恢应变能将使弹性体恢复原状。复原状。应变能应变能40厚度为厚度为1的微分体的微分体,在水平方向拉在水平方向拉力力F F的作用下发生了位移的作用下发生了位移xdx1xFdy拉力表达式拉力表达式:12xdWFdx12xxdWdxdy 拉力做的功拉力做的功:将将F代入代入:4112xxU 12xxUdxdy 1()2xxyyxyxyU 储存在微分体内的应变能储存在微分体内的应变能:12xxdUdWdxdy 单位体积内的应变能单位体积内的应变能:应变能应变能:如果微分体上还有如果微分体上还有 和和 的作用的作用,弹性体单

19、位弹性体单位体积应变能体积应变能: yxy42 是指在约束条件允许的范围内弹性体可能发是指在约束条件允许的范围内弹性体可能发生的任意微小的位移。生的任意微小的位移。弹性体在平衡状态下发生虚位移时弹性体在平衡状态下发生虚位移时,外力要做虚功外力要做虚功,大小为大小为 TWfR虚功虚功虚位移虚位移外力外力弹性体在外载作用下的实位移是可能的虚位移。弹性体在外载作用下的实位移是可能的虚位移。它的发生与时间无关它的发生与时间无关,与弹性体所受的外载无关。与弹性体所受的外载无关。它并未实际发生，只是说明产生位移的可能性。它并未实际发生，只是说明产生位移的可能性。虚位移虚位移43U在发生虚位移的过程中在发生

20、虚位移的过程中,弹性体内将产生虚应变弹性体内将产生虚应变 。应力在虚应变上所做的虚功是储存在弹性体内的虚应力在虚应变上所做的虚功是储存在弹性体内的虚应变能应变能,若用若用 表示虚应变能表示虚应变能,则则 TVUdV TU单位体积内的虚应变能为单位体积内的虚应变能为442.虚位移原理虚位移原理虚位移原理又称虚功原理虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理是最基本的能量原理.虚位移原理虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的,那么在虚位移发生时那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等外力在虚位移上所做的功就等于弹性体的虚应变能于弹性体的虚应变能,即即

21、WU TTVfRdV一般表达式一般表达式:45 cP对于虚位移原理对于虚位移原理,在虚位移发生过程中在虚位移发生过程中,原有的外原有的外力力,应力应力,温度及速度应保持不变温度及速度应保持不变,也就是说也就是说,不能有热不能有热能或动能的改变。能或动能的改变。外力的形式有集中力外力的形式有集中力 ,体力体力 和表面力和表面力 ,对于平面弹性体而言对于平面弹性体而言,上述外力的虚功为上述外力的虚功为 vP sP TTTcvsVWfPfP dVfP ds46四、平面问题的定义四、平面问题的定义平面问题分为平面问题分为平面应力问题平面应力问题和和平面应变问题平面应变问题。1.平面应力问题平面应力问题

22、当结构满足以下两个条件时当结构满足以下两个条件时,则认为是平面应力问题。则认为是平面应力问题。(1)几何条件几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸厚度尺寸远远小于截面尺寸,即结构即结构形状成薄板形。形状成薄板形。(2)载荷条件载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布匀分布,而板平面不受任何外力作用。而板平面不受任何外力作用。47参照下图参照下图,判断是否是平面应力问题。判断是否是平面应力问题。一般地一般地,当结构厚度当结构厚度 时时,结构可作为平面应力问题结构可作为平面应力问题.15tL48平面应力问题的应力特点平面应力问题的应力特点:0zzxzy0()1zxz

23、yzxy TxyxyTxyxy根据物理方程，根据物理方程，应变特点应变特点:这类结构的应力分量和应变分量分别为这类结构的应力分量和应变分量分别为:49 00 xyxyxuvyyx D 2101011002ED这时这时,几何方程变为几何方程变为:物理方程变为物理方程变为:平面应力问题的弹性矩阵平面应力问题的弹性矩阵502.平面应变问题平面应变问题凡满足以下两个条件的结构可视为平面应变问题：凡满足以下两个条件的结构可视为平面应变问题：(1)几何条件几何条件沿厚度方向的截面形状和大小相同沿厚度方向的截面形状和大小相同且厚度尺寸远远大于截面尺寸且厚度尺寸远远大于截面尺寸,即结即结构呈等截面的细长形。构

24、呈等截面的细长形。(2)载荷条件载荷条件 载荷垂直于厚度方向载荷垂直于厚度方向(平行横截面平行横截面)且且沿厚度均匀分布沿厚度均匀分布,两个端面不受力。两个端面不受力。51参照下图参照下图,判断是否是平面应变问题。判断是否是平面应变问题。52平面应变问题的应变特点平面应变问题的应变特点:0zyzzx应力特点应力特点:0()yzzxzxy 53平面应变问题的应力分量为平面应变问题的应力分量为应变分量为应变分量为 Txyxy Txyxy D两者关系为两者关系为 101(1)10(1)(1 2 ) 11 2002(1)ED式中式中称为平面应变问题的弹性矩阵称为平面应变问题的弹性矩阵.54 21010

25、11002ED平面应力问题弹性矩阵平面应力问题弹性矩阵E2(1)E(1) 101(1)10(1)(1 2 ) 11 2002(1)ED平面应变问题弹性矩阵平面应变问题弹性矩阵55综上所述，平面问题（包括平面应力问题和平面综上所述，平面问题（包括平面应力问题和平面应变问题）只有三个应力分量应变问题）只有三个应力分量 ，三，三个应变分量个应变分量 ，和两个位移分量，和两个位移分量 这些分量都是这些分量都是x,y的函数，而与坐标的函数，而与坐标z无关。无关。TxyxyTxyxyTuv因此平面问题的网格划分可在一个反映横截面形因此平面问题的网格划分可在一个反映横截面形状的平面图形上进行。状的平面图形上

26、进行。56第二节第二节 平面问题有限元法平面问题有限元法(平面应力问题的静力分析平面应力问题的静力分析)一、结构离散一、结构离散 离散就是将一个连续的弹性体离散就是将一个连续的弹性体(实际上是描述弹性实际上是描述弹性体形状和尺寸的几何区域体形状和尺寸的几何区域,称为求解域称为求解域)分割为一定形分割为一定形状和数量的单元状和数量的单元,从而使从而使从而使从而使连续体连续体转换为由有限转换为由有限个单元组成的个单元组成的组合体组合体。单元与单元之间仅通过节点连接单元与单元之间仅通过节点连接,除此之外再无其他除此之外再无其他连接。也就是说一个单元上的力只能通过节点传递到连接。也就是说一个单元上的力

27、只能通过节点传递到相邻单元。相邻单元。57离散（划分网格）离散（划分网格）:网格网格:三角形三角形矩形矩形任意四边形任意四边形选择节点位移作为基本未知量。在平面问题中，每个节点有选择节点位移作为基本未知量。在平面问题中，每个节点有两个位移分量。两个位移分量。节点所具有的位移分量的数量称为节点所具有的位移分量的数量称为节点自由度节点自由度(DOF)，一个，一个单元所有节点的自由度的总和称为单元所有节点的自由度的总和称为单元自由度单元自由度。节点和单元需要编号节点和单元需要编号58二、单元分析二、单元分析单元分析的任务是形成单元刚度矩阵单元分析的任务是形成单元刚度矩阵,建立建立单元特性单元特性方程

28、方程。三角形三节点单元三角形三节点单元591.位移函数位移函数 按照有限元分片插值思想按照有限元分片插值思想, ,首先假设一种函数首先假设一种函数来近似表示单元内部的实际位移分布来近似表示单元内部的实际位移分布, ,该函数称该函数称为为位移函数位移函数, ,又称位移模式。又称位移模式。根据数学理论根据数学理论, ,定义于某一闭域内的函数总可以定义于某一闭域内的函数总可以用一个多项式来逼近用一个多项式来逼近, ,所以位移函数常常取为多所以位移函数常常取为多项式项式, ,一般形式一般形式: :2212345622123456( , )( , )uu x yxyxxyyvv x yxyxxyy60项

29、数的多少应根据单元自由度数确定。项数的多少应根据单元自由度数确定。三节点三角形单元有三节点三角形单元有6个自由度个自由度,可以确定可以确定6个待定个待定系数系数,所以取上式中的前三项。因此这种三角形单所以取上式中的前三项。因此这种三角形单元位移函数为元位移函数为:123456uxyvxy 上式是线性多项式上式是线性多项式,称为称为线性位移函数线性位移函数,相应的单相应的单元称为元称为线性单元线性单元。如果单元节点越多。如果单元节点越多,就可能构造就可能构造阶次越高的位移函数阶次越高的位移函数,计算精度也就越高。计算精度也就越高。61 由于节点由于节点i , j , m在单元上在单元上,它们的位

30、它们的位移自然也就满足位移函数式。移自然也就满足位移函数式。设三个节点的位移分别为设三个节点的位移分别为( , )iiu v( , )jju v(,)mmu v将节点位移和节点坐标代入位移函数得将节点位移和节点坐标代入位移函数得123456123456123456iiiiiijjjjjjmmmmmmuxyvxyuxyvxyuxyvxy6个方程个方程,可以求出可以求出6个待定系数个待定系数.621212iiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmmuab xc y uab xc y uab xc y uAvab xc y vab xc y vab xc y vA经过数学推导可得：经过数学推导可

31、得：A为三角形单元的面积为三角形单元的面积为方便书写，引入形函数为方便书写，引入形函数1()21()21()2iiiijjjjmmmmNab xc yANab xc yANab xc yAiNjNmN称为称为形函数形函数63形函数是坐标的函数形函数是坐标的函数,与节点坐标有关与节点坐标有关,而与节点位而与节点位移无关。移无关。因此因此u,v可以写为可以写为iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v64以矩阵表示以矩阵表示: 000000iieijmjijmjmmuvNNNuudNqNNNvvuv 形函数矩阵形函数矩阵单元节点位移阵列单元节点位移阵列形函数形函数节点位移节点

32、位移单元内任意一单元内任意一点的位移点的位移65当节点当节点 在某坐标方向发生单位位移在某坐标方向发生单位位移而其他节点的位移为零时而其他节点的位移为零时,单元内的单元内的位移分布形状。位移分布形状。形函数的性质形函数的性质iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN v1iiuviuN当当ivN其他节点的位移为零其他节点的位移为零iN的物理意义的物理意义:i形函数的形状形函数的形状66 形函数是单元内各点坐标的函数形函数是单元内各点坐标的函数,并不是节点位移并不是节点位移的函数的函数,其表达式与单元的位移函数有关其表达式与单元的位移函数有关,因此不同类因此不同类型单元的形函数

33、是不同的。型单元的形函数是不同的。形函数具有以下三条性质形函数具有以下三条性质:(1) 在在 节点上的值为节点上的值为1,而在其他节点处而在其他节点处为零为零,即即iNi( ,)1,(,)(,)0iiiijjimmN x yN xyN xy(,)1,( ,)(,)0jjjjiijmmNxyNx yNxy(,)1,( ,)(,)0mmmmiimjjNxyNx yNxy同理同理67(3) 单元每一条边的形函数只与该边上的节点位单元每一条边的形函数只与该边上的节点位置有关置有关,而与其他节点的位置无关而与其他节点的位置无关 。例如在边。例如在边 上上,有有( , )( , )( , )1ijmN x

34、 yNx yNx y( , )1iijixxN x yxx ( , )ijjixxNx yxx( , )0mNx y ij(2) 在单元的任一处在单元的任一处,三个形函数之和等于三个形函数之和等于1,即即68位移函数应满足以下位移函数应满足以下4个条件个条件: 包括包括常数项常数项 单元内各点的单元内各点的位移位移一般包括两部分一般包括两部分:一部分由一部分由单元自身变形引起单元自身变形引起;另一部分是由于其他单元变形时通过节另一部分是由于其他单元变形时通过节点传递过来的点传递过来的,这部分位移与单元本身变形无关这部分位移与单元本身变形无关,它使单元发它使单元发生整体移动生整体移动,各点移动大

35、小相等各点移动大小相等,故称为故称为刚体位移刚体位移。由于刚体。由于刚体位移与点的位置无关位移与点的位置无关,因此在位移函数中应该有常数项来反因此在位移函数中应该有常数项来反映这种位移。映这种位移。必要条件必要条件( (完备性条件完备性条件) ) 完备单元完备单元2. 包括包括一次项一次项 单元内各点的单元内各点的应变应变也分为两部分也分为两部分:一部分是与一部分是与点的位置有关的变量应变点的位置有关的变量应变,一部分是与坐标位置无关的常应一部分是与坐标位置无关的常应变。对于小变形问题变。对于小变形问题,当单元尺寸缩小时当单元尺寸缩小时,单元各点应变趋单元各点应变趋于相等于相等,这时这时常应变

36、常应变为主要部分。为了反映这种应变状态为主要部分。为了反映这种应变状态,位移函数中就应该包括一次项位移函数中就应该包括一次项,因为一次项求导后为常数。因为一次项求导后为常数。69充分条件充分条件( (协调条件协调条件) )协调单元协调单元协调单元的有限元解一定是收敛的协调单元的有限元解一定是收敛的,但非协调单元的解不一定不收敛。但非协调单元的解不一定不收敛。3. 尽量保证位移的尽量保证位移的连续性连续性 弹性体实际变形时各点位移弹性体实际变形时各点位移是连续的是连续的,即弹性体内部不会出现材料的裂缝和重叠即弹性体内部不会出现材料的裂缝和重叠,因此因此离散后的组合体位移也应该连续。对于多项式位移

37、函数离散后的组合体位移也应该连续。对于多项式位移函数,它在单元内部的连续性是自然满足的它在单元内部的连续性是自然满足的,关键是要求跨单元关键是要求跨单元之间也应连续即变形后相邻单元之间既不互相脱离之间也应连续即变形后相邻单元之间既不互相脱离,又不又不互相嵌入。互相嵌入。满足上述三个条件的目的就是要满足有限元解的满足上述三个条件的目的就是要满足有限元解的收敛性收敛性。704. 几何几何各向同性各向同性 单元的位移分布不应与人为选单元的位移分布不应与人为选取的坐标方位有关取的坐标方位有关,即位移函数中坐标即位移函数中坐标x,y应该是能应该是能够互换的。为满足这种几何各向同性要求够互换的。为满足这种

38、几何各向同性要求,位移多位移多项式应按下图所示的巴斯卡三角形来选择项式应按下图所示的巴斯卡三角形来选择.223223432234543223451xyxxyyxx yxyyxx yx yxyyxx yx yx yxyy巴斯卡三角形巴斯卡三角形712.2.单元应变和应力单元应变和应力知道了单位位移函数知道了单位位移函数,就可根据几何方程和物理方程就可根据几何方程和物理方程求得单元应变和应力。求得单元应变和应力。123456uxyvxy 00 xyxyxuvyyx 将位移函数将位移函数代入几何方程代入几何方程得得,72 263510()210()21()()200010002iijjmmxyiij

39、jmmxyiijjmmiijjmmijmijmiibub ub uxAuc vc vc vvyAc uc uc ubvb vb vAyxbbbcccAcbc iiejjjjmmmmuvuBqvbcbuv 00010002ijmijmijmiijjmmbbbBcccBBBAcbcbcb其中其中,称为应变矩阵称为应变矩阵,其中每个子矩阵为其中每个子矩阵为0102lllllbBcAcb(, ,)li j m73应力应变的关系为应力应变的关系为 eeDDBqSq ijmSDBSSS 22(1)1122lllllllbcESbcAcb(, ,)li j m 应变矩阵应变矩阵B的每个非零元素均是由节点坐标

40、决定的常数的每个非零元素均是由节点坐标决定的常数,由于节点坐标为定值由于节点坐标为定值,所以矩阵所以矩阵B为常数矩阵为常数矩阵,因此三节点三角因此三节点三角形单元为形单元为常应变单元常应变单元。这是由于单元线性位移函数所引起的。这是由于单元线性位移函数所引起的。式中式中称为应力矩阵称为应力矩阵.其中每个矩阵其中每个矩阵由于矩阵由于矩阵D、 B均为常数矩阵均为常数矩阵,所以应力矩阵所以应力矩阵S也是常数矩也是常数矩阵阵,故三节点三角形单元也是故三节点三角形单元也是常应力单元常应力单元。由于相邻单元的应。由于相邻单元的应力是不同的常数力是不同的常数,故单元边界的应力值将发生突变。故单元边界的应力值

41、将发生突变。743.3.单元刚度矩阵单元刚度矩阵 单元分析的目的是建立单元的刚度矩阵。建立单单元分析的目的是建立单元的刚度矩阵。建立单元刚度矩阵的方法有直接法、变分法等元刚度矩阵的方法有直接法、变分法等,下面利用变下面利用变分原理中的虚位移原理来建立。分原理中的虚位移原理来建立。设作用在单元节点上的力为设作用在单元节点上的力为Fi,Fj,Fm,则单元节点力列则单元节点力列阵为阵为 TTeijmixiyjxjymxmyFFFFFFFFFFTeiijjmmquvuvuv若单元在节点处发生虚位移若单元在节点处发生虚位移75Texyxy iixiiyjjxjjymmxmmyeTeWu Fv Fu Fv

42、 Fu Fv FqF相应的虚应变为相应的虚应变为则节点力在虚位移上所做的虚功为则节点力在虚位移上所做的虚功为76单元内存储的应变能为单元内存储的应变能为 TTVUdVtdxdy eBq TTeTqB eTTTeTUqBtdxdyqBtdxdy TeTeeTqFqBtdxdy由于由于所以所以且节点位移仅与节点坐标有关且节点位移仅与节点坐标有关,因此因此根据虚位移原理有根据虚位移原理有 TeFBtdxdy考虑到虚位移的任意性考虑到虚位移的任意性,两边两边 同时消去同时消去,则有则有eTq77 由于三角形单元为常应变和常应力单元由于三角形单元为常应变和常应力单元,且厚度且厚度t也为常数也为常数,设单

43、元面积为设单元面积为A,则上式变为则上式变为 TTeeFBtdxdyBDBqtA eeeFkq eTkBDB tA简写为简写为式中式中单元特性方程单元特性方程单元刚度矩阵单元刚度矩阵 当矩阵当矩阵D,B的表达式代入到单元刚度矩阵的表达式代入到单元刚度矩阵,可得单元刚可得单元刚度矩阵的分块表达形式为度矩阵的分块表达形式为 iiijimejijjjmmimjmmkkkkkkkkkk78 iiiiijjimmjjiijjjjmmmmiimjjmmmFkqkqkqFkqkqkqFkqkqkq 从上式可以看出从上式可以看出,单元刚阵每个分块阵的单元刚阵每个分块阵的物理意义物理意义为为:当在当在一个节点处

44、产生单位位移而其他节点位移为零时一个节点处产生单位位移而其他节点位移为零时,在该节点上在该节点上需要的力的大小。需要的力的大小。 例如例如:kij表示在表示在j节点产生单位位移、其他节点位移为零时节点产生单位位移、其他节点位移为零时,需要在需要在i节点上施加的力。节点上施加的力。 因此单元刚阵中每一个元素的物理意义是因此单元刚阵中每一个元素的物理意义是:当节点在某一当节点在某一方向方向(x或或y)发生单位位移而其他方向位移和其他节点位移为零发生单位位移而其他方向位移和其他节点位移为零时时,在一个节点处某一方向上需要施加的节点力。在一个节点处某一方向上需要施加的节点力。(2-55)79以式以式(

45、2-55)的第一行的第一行为例为例,当当Fi为零时为零时,单元仍可以作刚体运单元仍可以作刚体运动动,因此有因此有单元刚阵具有以下两个特性单元刚阵具有以下两个特性:(1) 对称性对称性 eeTkk0ekijmqqq上述特性是由弹性力学中功的互等定理决定的上述特性是由弹性力学中功的互等定理决定的.(2) 奇异性奇异性()0iiijimikkkq0iiijimkkk则则由于由于qi是任意数是任意数,所以只有所以只有 ek为奇异阵的物理意义是为奇异阵的物理意义是:在无约束的条件下在无约束的条件下,单元可以作单元可以作刚体运动。刚体运动。80三、总刚集成三、总刚集成总刚集成的任务总刚集成的任务:将所有单

46、元的刚度矩阵集成为整个将所有单元的刚度矩阵集成为整个结构的刚度矩阵结构的刚度矩阵,称为总刚度矩阵称为总刚度矩阵,简称总刚简称总刚.1.总刚集成原理总刚集成原理单元分析时已对单元的每一个节点建立了平衡方程单元分析时已对单元的每一个节点建立了平衡方程.如如i节点的平衡方程为节点的平衡方程为 eiiiiijjimmissFkqkqkqkq(, ,)si j m 上式就是式上式就是式(2-55)中的第一式。它表明单元在任一节点发中的第一式。它表明单元在任一节点发生位移时生位移时,都将在节点都将在节点i处产生节点力处产生节点力(实际上是节点力引起位实际上是节点力引起位移移),且力的大小等于各个节点位移所

47、引起节点力的叠加。且力的大小等于各个节点位移所引起节点力的叠加。(2-56)81 在整体结构中在整体结构中,一个节点往往为几个单元所共有一个节点往往为几个单元所共有,根根据线性叠加原理据线性叠加原理,该节点上的节点力应为所有单元引该节点上的节点力应为所有单元引起的节点力之和。结构平衡时起的节点力之和。结构平衡时,每个节点也是平衡的。每个节点也是平衡的。设作用在节点设作用在节点i上的载荷为上的载荷为Ri,则节点则节点i处的平衡方程处的平衡方程为为 eiieFR将式将式(2-55)代入上式代入上式,得得 , ,eissies i j mkqR 82 1, ,1nneissiies i j mikq

48、R KqR对结构中的所有节点对结构中的所有节点,则有则有式中式中,n为节点总数。将上式记为为节点总数。将上式记为整个结构的平衡方程整个结构的平衡方程称为有限元方程称为有限元方程( (刚度方程刚度方程) )83式中式中, 是所有节点的位移分量组成是所有节点的位移分量组成的列阵的列阵,称为称为节点位移列阵节点位移列阵; 是所有是所有作用在节点上的载荷组成的列阵作用在节点上的载荷组成的列阵,称为称为节点载荷列节点载荷列阵阵;K就是要求的就是要求的总刚矩阵总刚矩阵,表达式为表达式为 12,Tnqq qq 12,TnRR RR 1, ,nsies i j mKk K 中每个元素中每个元素kij的物理意义

49、和单刚元素相同的物理意义和单刚元素相同,即在节即在节点点j发生单位位移而其他节点位移为零时发生单位位移而其他节点位移为零时,在节点在节点i处产处产生的节点力。生的节点力。84 式式(2-61)中第一个求和表示按节点编号顺中第一个求和表示按节点编号顺序依次形成序依次形成K中的某一行。对于节点中的某一行。对于节点1(n=1),它只通过单元与节点它只通过单元与节点2,3有关有关,而与节点而与节点4,5,6不直接相关不直接相关,因此有因此有,借助模型说明总刚形成过程借助模型说明总刚形成过程: 1, ,nsies i j mKk 1415160,kkk(2-61)11111,kk11212,kk1131

50、3kk其中上标表示单元编号。其中上标表示单元编号。 对于节点对于节点2,它与节点它与节点6不直接相关不直接相关,而与其他节点均相关而与其他节点均相关.其其中和节点中和节点3是通过单元是通过单元,相关的即当节点相关的即当节点3产生位移时产生位移时,它将它将通过单元在节点通过单元在节点2处产生节点力处产生节点力,也会通过单元在节点也会通过单元在节点2处处产生节点力产生节点力,因此因此 简记为简记为 ,这就是式这就是式(2-61)中的第二个求和中的第二个求和,即对围绕一个节点的所有单元求和即对围绕一个节点的所有单元求和.12232323,kkk1 22323kk85同理同理,1 2 42 42222

51、2525,kkkk 其他总刚元素分别为其他总刚元素分别为142121242426,0kkkkk按上述原理依次形成对应节点按上述原理依次形成对应节点3,4,5,6的刚阵元素的刚阵元素,就就可以得到下面的可以得到下面的总刚矩阵总刚矩阵 11111121311 2 41 242 4212223242511 21 2 32 3331323335364444244452 42 342 3 435253545556333636566000000000000kkkkkkkkkkkkkKkkkkkkkkkkk 862.总刚集成过程总刚集成过程根据上面介绍的总刚形成原理根据上面介绍的总刚形成原理,总刚矩阵可按下

52、面两步总刚矩阵可按下面两步进行集成进行集成.(1)扩阶过程扩阶过程 将各个单元刚阵按节点总数将各个单元刚阵按节点总数n扩大为扩大为n*n阶方块阵阶方块阵,并将单刚元素送入该单元节点对应的节并将单刚元素送入该单元节点对应的节点总码的行和列点总码的行和列,其余元素置为零其余元素置为零.如单元如单元, 的刚的刚阵扩阶后变为阵扩阶后变为 1112132122231313233000000000000000000000000000kkkkkkkkkk 2223252323335525355000000000000000000000000000kkkkkkkkkk87(2)叠加过程叠加过程 扩阶后的单元刚

53、阵具有相同的阶数扩阶后的单元刚阵具有相同的阶数和节点排列顺序和节点排列顺序,将各个单元刚阵按式将各个单元刚阵按式 1eneeKk(ne为单元总数为单元总数)进行叠加进行叠加,即相同位置的元素相加即相同位置的元素相加,就可得到总刚矩就可得到总刚矩阵。阵。883.总刚矩阵的特点总刚矩阵的特点总刚矩阵总刚矩阵K具有以下特点具有以下特点.(1)对称性对称性 总刚矩阵是由单元刚阵叠加形成的总刚矩阵是由单元刚阵叠加形成的,所以它与单元所以它与单元刚阵一样也是对称阵刚阵一样也是对称阵,即即 ,利用这一特性利用这一特性,计算时就只计算时就只需要存储矩阵主对角线一侧的元素需要存储矩阵主对角线一侧的元素,从而可以

54、节省近一半的存从而可以节省近一半的存储容量。储容量。 TKK(2)稀疏性稀疏性 从前面的总刚矩阵的形成原理可知从前面的总刚矩阵的形成原理可知,对应于某一对应于某一节点的矩阵元素中节点的矩阵元素中,与该节点无关的节点所对应的元素为零。与该节点无关的节点所对应的元素为零。而大型结构离散后而大型结构离散后,单元和节点数往往很多单元和节点数往往很多,而某一节点仅与而某一节点仅与周围少数单元和节点相关周围少数单元和节点相关,因此因此K中存在大量的零元素中存在大量的零元素,这种这种矩阵称为稀疏阵。矩阵称为稀疏阵。89(3)带状性带状性 总刚矩阵不仅具有稀疏性总刚矩阵不仅具有稀疏性,而非零元素集而非零元素集

55、中分布在主对角元素附近中分布在主对角元素附近,这种分布特点称为带状分这种分布特点称为带状分布。布。(4)奇异性奇异性 结构不加任何约束或约束不足时结构不加任何约束或约束不足时,其总其总刚矩阵是奇异阵刚矩阵是奇异阵,即即 ,物理上表现为结构整体物理上表现为结构整体可以作刚体运动可以作刚体运动,这时有限元方程这时有限元方程(2-60)的解不唯一。的解不唯一。因此为了得到惟一的有限元解因此为了得到惟一的有限元解,就应限制结构的刚体就应限制结构的刚体运动运动,消除总刚矩阵的奇异性。消除总刚矩阵的奇异性。0K 90四、载荷移置四、载荷移置 通过总刚集成形成了有限元方程通过总刚集成形成了有限元方程 ,其中

56、列阵其中列阵R的元素为节点载荷的元素为节点载荷,是集中力。但载荷除了集中力外是集中力。但载荷除了集中力外,还有面还有面力和体力力和体力,即使是集中力也不一定作用在节点上。因此需要即使是集中力也不一定作用在节点上。因此需要将将各种载荷转化为节点载荷各种载荷转化为节点载荷,这就是载荷移置的目的和任务。这就是载荷移置的目的和任务。 KqR 载荷移置载荷移置遵循能量等效原则遵循能量等效原则,即原载荷与移置产生的节点载即原载荷与移置产生的节点载荷在虚位移上所做的虚功相等。对于给定的位移函数荷在虚位移上所做的虚功相等。对于给定的位移函数,这种移这种移置的结果是惟一的。在线性位移函数情况下置的结果是惟一的。

57、在线性位移函数情况下,也可按静力等效也可按静力等效原则进行移置。原则进行移置。 载荷移置是在结构的局部区域内进行的。根据圣维南原理载荷移置是在结构的局部区域内进行的。根据圣维南原理,这种移置可能在局部产生误差这种移置可能在局部产生误差,但不会影响整个结构的力学特但不会影响整个结构的力学特性。性。911.集中力的移置集中力的移置集中力的移置是面力和体力移置的集中力的移置是面力和体力移置的基础。基础。 cP TccxcyPpp如右图所示如右图所示,设平面单元设平面单元e中某中某一点一点(x,y)作用一集中力作用一集中力 cTeixiyjxjymxmyPRRRRRRR cP设设 移置后产生的等效节点

58、载荷为移置后产生的等效节点载荷为如果节点发生虚位移如果节点发生虚位移 ,则单元内任一点的虚位移为则单元内任一点的虚位移为eq eedNq92由于虚位移是任意的由于虚位移是任意的,可从上式两边同时消去可从上式两边同时消去,则有则有集中力集中力 所作的虚功为所作的虚功为 cP eTcdP等效节点载荷所作的虚功为等效节点载荷所作的虚功为 ceTePqR根据能量等效原则根据能量等效原则,有有 cTeTeeTeTccPqRdPqNP cTecPRNP也可写成也可写成 cceiicejjcPmmcPRNPRRNPRNP集中载荷的集中载荷的移置公式移置公式载荷移置的结果仅与单元形函数有关载荷移置的结果仅与单

59、元形函数有关,当形函数确定后当形函数确定后,移置的移置的结果是唯一的。结果是唯一的。932.面力的移置面力的移置设厚度为设厚度为t的平面单元单位面积上作用的面力为的平面单元单位面积上作用的面力为 ,如图所示。从网格图上看如图所示。从网格图上看,面力作用在棱边上面力作用在棱边上,但实际单元有但实际单元有一定厚度。若将微元面积一定厚度。若将微元面积 上的面力上的面力 视为集中视为集中力力,利用式利用式 并积分并积分,可得与面力等效的移置节点可得与面力等效的移置节点载荷为载荷为 ssxsyPppddAt l dsPA cTecPRNP dcTesPRNP t l dddcseisiejjsPmPms

60、NP t lRRRNP t lRNP t l也可写成也可写成 根据形函数的特点根据形函数的特点,在在ij边上有边上有 ,所以所以 .因此因此在在ij边上作用的面力只能移置到该边的两个节点上边上作用的面力只能移置到该边的两个节点上.0mN0semPR94若将微元体若将微元体 上的体力上的体力 视为集中力视为集中力,则利用式则利用式(2-64)并积分并积分,可得与体力等效的移置节点载荷为可得与体力等效的移置节点载荷为3.体力的移置体力的移置设单元单位体积内作用的体力为设单元单位体积内作用的体力为 vvxvyPppd dt x y d dvP t x y d dvTevPRNP t x y d dd