二面角的求法

1、二面角的常见求法重庆市南华中学校 谭少锋二面角是空间角中三大角之一，它是立体几何中的重点，是教学中的难点，也是多年来高考中的热点。但是我们在平常求二面角大小的时候，往往不知所措，甚至找不到问题的突破口，导致得分率偏低。二面角是不能直接度量的，它的大小需要借助于二面角的平面角的大小来度量。二面角的平面角是几度，我们就说这个二面角是几度。习惯上我们把求二面角平面角的大小就是求二面角的大小。由二面角的平面角定义可知它必须具备三个条件：、角的顶点在二面角的棱上；、角的两边分别在二面角的两个面（半平面）内；、角的两边分别与二面角的棱垂直。尽管其定义很“死”，但它的应用很“活”，因为它的顶点在“棱”上没有

2、固定的位置，具有开放性，尤其是空间的两线垂直不直观的时候，难以把握住谁是我们要找的二面角。2因此如何找（或作）出二面角的平面角，便成为求二面角大小的关键。尽管二面角很难求解，但它总有其常见的解法。下面就其常见解法给予举例说明。（1）、定义法定义法就是在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作（或找）出棱的垂线，得出二面角的平面角。用定义法的关键是要认真观察图形的结构特征，在棱上选取一个适当点必须与已知条件联系起来。例1、已知三棱锥pabc的三个侧面与底面全等，且ab=ac=，bc2，则二面角pbca的大小为（ ）pcbeaa、 b、 c、 d、 分析：（如图），由三棱锥的三个侧面与底面全等，且ab

3、ac，得pb=pc=，pa=2。取bc的中点e，连结ae，pe，则符合二面角平面角的定义，所以即为所求二面角的大小。且ae=ep=。ap2=ae2pe2，。故选c。例2、四边形abcd是边长为6的正方形，sa平面abcd，sa8。求：二面角的大小。解析：（如图）过b作besc于点e，连结de，由becdec知edsc,故就是二面角bscd的平面角，在bcd中易知bd，csbdae在sbc中be=de，在bed中,用余弦定理知：。，即所求二面角bscd的大小为。（2）、垂面法垂面法就是过二面角内一点作垂直于棱的一个平面，该平面与二面角两半平面的交线所构成的角就是二面角的平面角。但为了方便计算，我

4、们往往通过某点直接作两个半平面的垂线，然后证明这两条垂线所确定的平面与二面角相交的交线就是二面角的平面角。例3、已知点p为二面角内一点，p到和的距离均为10，p到棱的距离为，求二面角的大小。解：过p分别作pa于a，pb于b，则pa=pb=10，设pa、pb所确定的平面为，则，,，故。连结op，则op，所以op=。由，oa知,则是二面角的平面角，且在rtpbo中：，得。所以，120。即二面角的大小为120。（3）、三垂线法三垂线法就是过二面角一个面内一点作另一个面的垂线，利用三垂线定理或逆定理可知，斜线和它的射影构成的角就是二面角的平面角。aa1bcdeb1c1d1例4、在正四棱柱abcda1b

5、1c1d1，底面边长为a，侧棱长为2a，（如图）求二面角ab1cb的平面角。分析：思考过点a作还是过点b作棱b1c垂线，、发现ab面bcb1（找到垂线）；、过点b作棱b1c的垂线于点e；、连点ae。则就是二面角ab1cb的平面角。上例中过b点作面acb1的垂线就面临着在空间过点作面的垂线，然后作棱的垂线，再连线就涉及到利用三垂线定理或三垂线逆定理来解题，解略。abca11b11c11ef例5、直三棱锥abca1b1c1，底面为直角三角形，棱长aa1=6,ab=4,bc=3,(如图)求面a1bc1与面acc1a1的二面角。分析：过定点b作垂线。、在面abc内过点b作be,交ac于e;、在面a1a

6、cc1内过点e作ef，交a1c1于f；、连结bf，即得为所求二面角ba1c1a的平面角。（4）、射影面积法若二面角的一个半平面内有一个面积为s的多边形，这个多边形在另一个半平面内的射影所构成的多边形的面积是s/射，则利用面积射影公式s/射，(其中为所求二面角的大小)，利用此方法可不必作（或找）出二面角的平面角。例6、棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e是cc1的中点。求二面角bb1ed的余弦值。分析(如图)：d在平面bb1e上的射影为c。在平面bb1e上的射影三角形为cb1e，设所求二面角为，由可求出角的余弦值。解：d点在平面bcc1b1上的射影为c点.a1b1c1d1abcde设二

7、面角bb1cd的平面角为，则有又在cb1e中，ec，且.而在中，db1=.db1边上的高为ef，且ef=。.。二面角bb1ed的余弦值为。本例在求二面角时用到了公式s/射。此公式也是求二面角的间接手段之一。另外，求二面角的大小还可以用向量法4、异面直线两点间距离公式等方法进行求解。特别是异面直线两点间距离公式九（a）教材已删除，不符合大纲要求，因此不赘述。而九（b）教材中介绍了向量法，即使没有学习九（b）教材，但我们仍然可以用其它方法来求解某二面角的大小。因此现将上面例2用向量法作一个简单求解。例7、题目同例2。解：（如图）建立空间直角坐标系axyz，则与的夹角就是二面角bscd的平面角。则易得ce。csbdaxyzee（），b（6，0