初等变换与初等矩阵PPT课件

1、 1.2 初等变换与初等矩阵1.2.1 初等变换1.2.2 初等矩阵及其性质1.2.3 初等变换与逆矩阵第1页/共24页11112211211222221122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb(1)m m个方程，个方程，n n个未知数个未知数对此线性方程组,可做如下三种同解变换:(1) 互换两个方程的位置;(2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c;(3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍.这三种变换都称为初等变换.这三种变换都是可逆的1.2.1 初等变换初等变换第2页/共24页设方程组 (1) 经过某一初等变换后变为另一个方程组,则新方程组与

2、原方程组同解. 解线性方程组2312312321022xxxxxxxx 021111102112一一对应 方程之间的变换 一一对应 矩阵的行之间的变换 方程组的增广矩阵 第3页/共24页 定义定义下面三种变换称为矩阵的行（列）初等变换: 交换矩阵的两行（列）; 以任意非零数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素; 某一行（列）的每个元素乘以同一常数加到另一行（列）的对应元素上去。矩阵的行初等变换、列初等变换统称为矩阵的初等变换。 定义定义若矩阵A经过有限次的初等变换后化为矩阵B，则称矩阵A与B等价（equation），记为 A B第4页/共24页行变换 Row列变换Column交换i, j两行第

3、i 行乘数K第 i行乘数K后加到第 j 行上去ijrrikr交换i, j两列第 i 列乘数K第 i 列乘数K后加到第 j 列上去ijccikcijkrr ijkcc 矩阵初等变换的符号表示 第j行变 第j列变 第i行变 第i、j行变 第i列变 第i、j列变 第5页/共24页021111102112111002112112111002111110021112rr312rr32rr例 利用矩阵的行初等变换解方程组 2312312321022xxxxxxxx 解 将方程组的增广矩阵作行初等变换 03320132第6页/共24页1110021101231110012302111110012312323

4、302337xxxxxx 23rr322rr续解 得同解方程组 原方程组的解为 1232 3,5 3,7 3xxx 0073第7页/共24页1.2.2 初等矩阵及其性质初等矩阵及其性质定义定义由单位阵I I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有三种类型:(1) 对调I I 中的第 i, j 行,得到的矩阵记为ijR对调I I 中的第 i, j 列,得到的矩阵记为ijC10111101ijRIijrrijccijC第8页/共24页(2) 用不为零的数乘以I I 中的第i i行, ,得到的矩阵记为( )iR用不为零的数乘以I 中的第 i i 列,得到的矩阵记为( )iC11( )11

5、iRIiric( )iC第9页/共24页(3) 以数乘以I 中的第i i行加到第j j行去, ,得到的矩阵记为 ( )ijR以数乘以I 中的第j列加到第i列去,得到的矩阵记为( )jiC11( )11ijRIjirrijcc( )jiC注意！ 结论：初等矩阵可逆, 并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵1ijijRR11( )( )iiRR1( )()ijijRR第10页/共24页性质 用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等价于对该矩阵作相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等效于对该矩阵作相应的初等列变换.123135159A12301215921( 1)rr 例 12100123( 1)110

6、135001159RA 123012159定理 有限个初等矩阵的乘积必可逆.第11页/共24页用初等矩阵左乘(右乘)一个矩阵, 相当于对该矩阵施行了使单位阵变成这个初等矩阵的同一行(列)的初等变换, 即 （） （）,;ijijR AAijBCBij 对 换的 第 行 和 第 行对 换的 第 列 和 第 列( )(0),( )(0);iiRk AAik kBCkBik k 的 第 行 乘的 第 列 乘（） (),.ijjiRkAAikjB CkBjki 的 第行 乘加 至 第 行的 第 列 乘加 至 第 列第12页/共24页111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa

7、例我们将第一行和第三行交换一下, 可以用111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa001010100而得到.31a32a33a34a21a22a23a24a11a12a13a14a第13页/共24页111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa例我们将第二列和第三列交换一下, 可以用111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa得到.同学们可以验证一下.1000001001000001第14页/共24页小结 矩阵A左乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的初等行变换；右乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的列初等变换。即如

8、下式子成立：A（1）A（2）（3）AijckcijR AAijrrijACijccA( )iR k A iAC kik r ik c ( )ijR k Ajirk r( )jiAACk 第15页/共24页111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa证明12121222121nnnnnnbbbbbbbb 1212222100nnnnnbbcccc 121221010nnnnnbbddd121210100nnnnbbdd 1212101001nnbbd 121001001nndd 定理1.3 可逆矩阵A可以经过有限次初等行变换化为单位阵I I，即可逆矩阵A与单位矩阵I 等价.第16页/

9、共24页定理1.4 为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵1212, llP PPAPPP 使证明：（必要性） 因为为可逆方阵, ,故存在初等矩阵12 , , , lQQQ使得12 lQ QQ AI-11121 lAQQQ故12 lAP PP即 现在给出求逆阵的另一种方法: : 111111llP PP IA11111llP PP AI因为原理:11121 lQQQI1112112( ) llQQQQ QQ A第17页/共24页由定理得出求逆矩阵的另一种方法: : 111111llP PP IA11111llP PPAI1IA实际做法实际做法: :1AIIA行原理:1.2.3 初等变换与

10、逆矩阵初等变换与逆矩阵11111llP PP AI第18页/共24页例 求下列矩阵的逆221122443解解3 4 4 1 0 0 2 2 1 0 1 01 2 2 0 0 1A I13122001221010344100rr 2131( 2)( 3)1220 01 rrrr 0230 120221033212( 1) 1023 012 rrrr 001 111101011132313 001 111rrrr 10010202032521()21 0 0102350 1 01220 0 1111r 第19页/共24页课堂练习：123(1) 221343A1、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵2、利用初等变换求解线性方程组1231231232312252353xxxxxxxxx第