函数的极值与最大值最小值94806PPT课件

1、极值定义极值定义 ,)()(00内有定义内有定义的某邻域的某邻域在在设函数设函数xUxxf)(小小一、一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 如果对如果对 , )(00 xUx 有有 )()(0 xfxf ),)()(0 xfxf 或或点取得极点取得极在在则称函数则称函数0)(xxf大大,值值的极的极为为称点称点)(0 xfx,值点值点)(小小大大函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值. .函数的极大值点与极小值点统称为函数的极大值点与极小值点统称为极值点极值点. .1x4x3x2xabxoy31xx ,为极大值点为极大值点42xx ,为极小值点为极小值点注注: :函数

2、的极大值和极小值是局部性概念。函数的极大值和极小值是局部性概念。 极值点一定在区间内部取得极值点一定在区间内部取得, ,不能在区间端点取得不能在区间端点取得. .极值点不唯一极值点不唯一, , 极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大. . 最大最大( (小小) )值若在区间内部取得值若在区间内部取得, ,则它一定是极大则它一定是极大( (小小) )值值. .第1页/共21页费马费马( Fermat )( Fermat )引理引理若若点可导点可导在在0)()1(xxf. 0)(0 xf则则,)()(00内有定义内有定义的某邻域的某邻域在在设函数设函数xUxxf点取得极大值或极小值点取得极大

3、值或极小值在在0)()2(xxf( (山峰、山谷若有切线必有水平切线山峰、山谷若有切线必有水平切线) )通常称导数为零的点通常称导数为零的点为函数的为函数的驻点或稳定点驻点或稳定点费马引理指出：费马引理指出：可导函数可导函数 f (x) 的极值点必定是该函数的驻点的极值点必定是该函数的驻点. .但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点 不可导点也可能取得极值不可导点也可能取得极值例如例如, ,3xy , 00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x例如例如, ,xy ,0不可导不可导在在 x第2页/共21页),(,)(0000 xxxxf的某去心邻域的某去心邻域且在且在连续连续在在设函数设函数内

4、可导内可导,0)( xf(自证自证)处处取取得得极极小小值值在在则则0)(xxf定理定理 1 (极值第一充分条件极值第一充分条件)符符号号保保持持不不变变时时当当)(,),()3(00 xfxx xyO0 x)(xfy xyO0 x)(xfy ,),()1(00时时当当若若xxx 0)( xf处处取取得得极极大大值值在在则则0)(xxf0)( xf,),(00时时当当若若 xxx0)( xf,),()2(00时时若当若当xxx ,),(00时时若当若当 xxx处处无无极极值值在在则则0)(xxf第3页/共21页xyoxyo0 x0 x ( (是极值点情形是极值点情形) )xyoxyo0 x0

5、x ( (不是极值点情形不是极值点情形) )第4页/共21页32)1()(xxxf 的极值的极值 .解解: 32)(xxf3132)1( xx35235xx 2) 求极值可疑点求极值可疑点令令,0)( xf得驻点得驻点;521 x为不可导点为不可导点另另02 x3) 列表判断列表判断x)(xf )(xf 0520 033. 0 )0,( ),0(52),(52 0 x是极大点，是极大点， 其极大值为其极大值为0)0( f是极小点，是极小点， 其极小值为其极小值为52 x33. 0)(52 f),()1( 函函数数的的定定义义域域为为例例1. 求函数求函数内连续内连续且在且在),(第5页/共21

6、页确定函数极值点和极值的步骤确定函数极值点和极值的步骤 );(,)1(xf 并并求求导导数数确确定定函函数数定定义义域域 ; )()2(的的全全部部驻驻点点与与不不可可导导点点求求出出xf ,.)()4(的全部极值的全部极值就得就得求出各极值点的函数值求出各极值点的函数值xf(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间，驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间，列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点是否是极值点是否是极值点 如果是极值点如果是极值点 是极大值还是极小值是极大值还是极小值; ;第6页/共21页定理2 (极值第二判别法)二阶导

7、数二阶导数 , 且且处具有处具有在点在点设函数设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若若则则 在点在点 取极大值取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若若则则 在点在点 取极小值取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx ,0)(0知知由由 xf存在存在,0 ,00时时当当 xx0)(0 xxxf时，时，故当故当00 xxx ;0)( xf时，时，当当 00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知由第一判别法知.)(0取极大值取极大值在在xxf(2) 类似可证类

8、似可证 . 定理定理2 2表明表明：f (x0) 0 那么该点那么该点x0一定是极值点一定是极值点 但如果但如果f (x0) 0 定理定理2失效失效 如果函数如果函数 f (x)在驻点在驻点x0处的二阶导数处的二阶导数第7页/共21页1)1()(32 xxf的极值的极值 . 解解:,)1(6)(22 xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点求驻点令令,0)( xf得驻点得驻点1,0,1321 xxx3) 判别判别 因因,06)0( f故故 为极小值为极小值 ;0)0( f又又,0)1()1( ff故需用第一判别法判别故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号左右邻域内不变号在

9、在由于由于 xxf.1)(没有极值没有极值在在 xxf1xy1),()1(函数的定义域为函数的定义域为例例2. 求函数求函数定理定理2 2失效失效第8页/共21页内除有限内除有限上连续上连续在闭区间在闭区间若函数若函数),( ,)(babaxf其最值可能在其最值可能在极值点极值点在在驻点、不可导点处取得驻点、不可导点处取得.,)(上的最值上的最值在在求函数求函数baxf在上述条件下在上述条件下且至多有有限个驻点且至多有有限个驻点个点外可导个点外可导,二、最大值与最小值问题二、最大值与最小值问题.,)(则最值一定存在则最值一定存在上连续上连续在闭区间在闭区间若函数若函数baxf区间的内部（即极值

10、点处）取得。区间的内部（即极值点处）取得。区间的端点处取得，区间的端点处取得，第9页/共21页,)(上的最值上的最值在闭区间在闭区间因此函数因此函数baxf一定是在所有的极值点和区间的端点处取得一定是在所有的极值点和区间的端点处取得 . .求函数最值的方法求函数最值的方法: :（1）求出函数所有的驻点和不可导点）求出函数所有的驻点和不可导点（2）求出函数所有的驻点、不可导点和端点的）求出函数所有的驻点、不可导点和端点的函数值比较大小，其中最大者为最大值，最小者函数值比较大小，其中最大者为最大值，最小者为最小值为最小值第10页/共21页 当当 在在 上单调时上单调时,)(xf,ba最值必在端点处

11、达到最值必在端点处达到. 对实际问题求最值对实际问题求最值 , 往往根据实际意义断定函数往往根据实际意义断定函数,),()(上可导上可导半开半闭半开半闭闭闭开开在区间在区间当函数当函数Ixf特别特别:该函数在区间内部只有一个驻点，则该唯一驻点该函数在区间内部只有一个驻点，则该唯一驻点的极值点的极值点且该驻点是且该驻点是且只有一个驻点且只有一个驻点)(,xf确有最大或最小值，且一定在区间内部取得，若确有最大或最小值，且一定在区间内部取得，若.)(的最值点的最值点它必是它必是xf一定是最值点，不必讨论是否为极值点。一定是最值点，不必讨论是否为极值点。第11页/共21页.4 , 323)( 2最大值

12、与最小值最大值与最小值上的上的在在求函数求函数 xxxf例例3 3又又 ).2 , 1(, 234 , 21 , 3, 23)(22xxxxxxxf ).2 , 1(, 32)4 , 2()1 , 3(, 32)(xxxxxf ;23 )( , )4 , 3( xxf的驻点为的驻点为内内在在为不可导点为不可导点2, 1 xx 解解: 显然显然, 4, 3)( Cxf一定取得最大值与最小值一定取得最大值与最小值. )1)(2()( xxxf为不可导点为不可导点2, 1 xx 第12页/共21页因为因为 )3(f;20 )2(f; 0 )1(f; 0, 6 )4(f,20)3( f最大值最大值比较

13、得比较得. 0)2()1( ff最小值最小值 23f;41-3-2-112342468.4 , 323)( 2最大值与最小值最大值与最小值上的上的在在求函数求函数 xxxf例例3 3 ;23 )( , )4 , 3( xxf的驻点为的驻点为内内在在为不可导点为不可导点2, 1 xx 第13页/共21页)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041 x250 x041 x250 x例4. 求函数求函数xxxxf1292)(23 在闭区间在闭区间,2541 上的最大值和最小值上的最大值和最小值 .解解: 显然显然, ,1292()(25412 Cxxxxf且且 )

14、(xf, )1292(23xxx ,129223xxx )(xf121862 xx121862 xx内有极值可疑点内有极值可疑点在在,)(2541 xf0, 2, 1132 xxx,3)(321941 f,0)0( f,5)1( f,4)2( f5)(25 f故函数在故函数在0 x取最小值取最小值 0 ;在在1x及及25取最大值取最大值 5., )2)(1(6 xx, )2)(1(6 xx为不可导点为不可导点0 x 第14页/共21页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)(1)建立目标函数建立目标函数; ;(2)(2)求最值求最值; ;值值或最小或最小值即为所求的最值即为所求的最

15、则该点的函数则该点的函数点点若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻)(,应用问题应用问题第15页/共21页 某房地产公司有某房地产公司有5050套公寓要出租套公寓要出租, , 当租金定为当租金定为每月每月180180元时元时, , 公寓会全部租出去公寓会全部租出去. . 当租金每月增当租金每月增加加1010元时元时, , 就有一套公寓租不出去就有一套公寓租不出去, , 而租出去的房而租出去的房子每月需花费子每月需花费2020元的整修维护费元的整修维护费. . 试问房租定为多试问房租定为多少可获得最大收入？少可获得最大收入？例例5.5.解解设房租为每月设房租为每月x元元, , 租出去的房子有租

16、出去的房子有 ,1018050套套 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20( x 1018050 x),180( x第16页/共21页,1068)20()( xxxR 101)20(1068)(xxxR,570 x 0)( xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为 350 350 元时收入最高元时收入最高. .最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR).(10890 元元 第17页/共21页例例6.6.围成一个围成一个及抛物线及抛物线由直线由直线28, 0 xyxy 解解如图如图, ,),(00yxP设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy 因为因为TxyoPABC,0,210 xA所以所以)16, 8(200 xxB ),0, 8(C使曲线在该使曲线在该上求一点上求一点在曲边在曲边曲边三角形曲边三角形 , ,2xy 所围成的三角形所围成的三角形及及点处的切线与直线点处的切线与直线80 xy面积最大面积最大第18页/共21页, 0)316)(16(41)( xxxS令令解得解得).(16,31621舍去