新课标版数学理高三总复习题组层级快练56

1、题组层级快练(五十六)(第一次作业)1(2015·合肥一检)已知正方体abcda1b1c1d1，e，f分别是正方形a1b1c1d1和add1a1的中心，则ef和cd所成的角是()a60°b45°c30° d90°答案b解析连接a1d，dc1，a1c1，e，f为a1d，a1c1中点，efc1d.ef和cd所成角即为c1dc45°.2(2015·济宁模拟)在正方体abcda1b1c1d1中，m是ab的中点，则sin，的值等于()a. b.c. d.答案b解析分别以da，dc，dd1为x，y，z轴建系，令ad1，(1,1,1)，(

2、1，0)cos，.sin，.3.如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90°，点e，f分别是棱ab，bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是()a45° b60°c90° d120°答案b解析以bc为x轴，ba为y轴，bb1为z轴，建立空间直角坐标系设abbcaa12，c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)(0，1,1)，(2,0,2)·2，记，所成角为.cos.ef和bc1所成角为60°.4(2015·沧州七校联考)已知正三棱柱abca1b1c1所有棱长

3、都相等，d是a1c1的中点，则直线ad与平面b1dc所成角的正弦值为()a. b.c. d.答案d解析取ac中点e，令ab2，分别以eb，ec，ed为x，y，z轴建立空间直角坐标系b1(，0,2)，c(0,1,0)，a(0，1,0)，d(0,0,2)，(，0,0)，(0,1，2)，(0，1，2)，平面b1dc法向量为n(0,2,1)，cos，n.ad与面b1dc所成的角正弦值为.5已知长方体abcda1b1c1d1中，abbc4，cc12，则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为()a. b.c. d.答案c解析连接a1c1交b1d1于o点，由已知条件得c1ob1d1，且平面bdd1b1

4、平面a1b1c1d1，所以c1o平面bdd1b1.连接bo，则bo为bc1在平面bdd1b1上的射影，c1bo即为所求，oc1a1c1ac2，bc12.计算得sinc1bo.6过正方形abcd的顶点a作线段pa平面abcd，若abpa，则平面abp与平面cdp所成的二面角为()a30° b45°c60° d90°答案b解析以a点为坐标原点，ap，ab，ad分别为x，y，z轴建系且设ab1，c(1,1,0)，d(0,1,0)，p(0,0,1)设面cdp的法向量为n(x，y，z)令y1，n(0,1,1)又为面abp的一个法向量，cosn，.二面角为45

5、76;.7若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是()a. b.c. d.答案b解析以正三棱锥oabc的顶点o为原点，oa，ob，oc为x，y，z轴建系(图略)，设侧棱长为1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)侧面oab的法向量为(0,0,1)，底面abc的法向量为n(，)cos，n.8如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，若e，f分别是bc，dd1的中点，则b1到平面abf的距离为()a. b.c. d.答案d解析方法一：由vb1abfvfabb1可得解方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,1)，b1(1,1,0)设f(

6、0,0，)，e(，1,1)，b(1,1,1)，(0,1,0)(，0,1)，(1,0，)·(1,0，)·(，0,1)0，.又，平面abf.平面abf的法向量为(，0,1)，(0,1，1)b1到平面abf的距离为.9.如图所示，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e为pb的中点，cos，若以da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点e的坐标为_答案(1,1,1)解析连接ac，bd交于o，连接oe，cos，cosaeo.又oa，oe1，e为(1,1,1)10如图所示，直角梯形abcd与等腰直角三角形abe所在的平面互相垂直abcd，abbc，ab2c

7、d2bc，eaeb.(1)求证：abde；(2)求直线ec与平面abe所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：取ab的中点o，连接eo，do.因为ebea，所以eoab.因为四边形abcd为直角梯形，ab2cd2bc，abbc，所以四边形obcd为正方形，所以abod.所以ab平面eod.因为ed平面eod，所以abed.(2)方法一：因为平面abe平面abcd，且abbc，所以bc平面abe.则ceb即为直线ec与平面abe所成的角设bca，则ab2a，bea，所以cea.则在直角三角形cbe中，sinceb，即直线ec与平面abe所成角的正弦值为.方法二：因为平面abe平面abcd

8、，且eoab，所以eo平面abcd，所以eood.由ob，od，oe两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系因为三角形eab为等腰直角三角形，所以oaobodoe.设ob1，则o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，e(0,0,1)所以(1,1，1)，平面abe的一个法向量为(0,1,0)设直线ec与平面abe所成的角为，所以sin|cos，|.即直线ec与平面abe所成角的正弦值为.11(2015·河南内黄一中摸底)如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，a1b平面abc，abac.(1)求证：acbb1；(2)若abaca1b2，在

9、棱b1c1上确定一点p，使二面角paba1的平面角的余弦值为.答案(1)略(2)p为棱b1c1的中点时满足题意解析(1)证明：在三棱柱abca1b1c1中，因为a1b平面abc，a1b平面abb1a1，所以平面abb1a1平面abc.因为平面abb1a1平面abcab，abac，所以ac平面abb1a1，所以acbb1.(2)如图所示，以a为原点建立空间直角坐标系axyz，则c(2,0,0)，b(0,2,0)，a1(0,2,2)，b1(0,4,2)，(2，2,0)设(2，2，0)，0,1，则p(2，42，2)设平面pab的一个法向量为n1(x，y，z)，因为(2，42，2)，(0,2,0)，所

10、以即所以令x1，得n1(1,0，)而平面aba1的一个法向量是n2(1,0,0)，所以|cosn1，n2|，解得，即p为棱b1c1的中点12.(2014·福建理)在平面四边形abcd中abbdcd1，abbd，cdbd.将abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如图所示(1)求证：abcd；(2)若m为ad中点，求直线ad与平面mbc所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，ab平面abd，abbd，ab平面bcd.又cd平面bcd，abcd.(2)过点b在平面bcd内作bebd，如图所示由(1)知ab平面bcd，be平面bcd，b

11、d平面bcd，abbe，abbd.以b为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得b(0,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，a(0,0,1)，m，则(1,1,0)，(0,1，1)设平面mbc的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面mbc的一个法向量n(1，1,1)设直线ad与平面mbc所成角为，则sin|cosn，|，即直线ad与平面mbc所成角的正弦值为.13(2014·陕西理)四面体abcd及其三视图如图所示，过棱ab的中点e作平行于ad，bc的平面分别交四面体的棱bd，dc，ca于点f，g，h.(1)证明：四边形efg

12、h是矩形；(2)求直线ab与平面efgh夹角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)由该四面体的三视图可知，bddc，bdad，addc，bddc2，ad1.由题设，bc平面efgh，平面efgh平面bdcfg，平面efgh平面abceh，bcfg，bceh，fgeh.同理efad，hgad，efhg.四边形efgh是平行四边形又addc，adbd，ad平面bdc.adbc，effg.四边形efgh是矩形(2)方法一：如图，以d为坐标原点建立空间直角坐标系，则d(0,0,0)，a(0,0,1)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面efgh的法向量n(x，y，z)，efad，fgbc，n·0，n·0.取n(1,1,0)