函数的连续性下PPT课件

1、三、函数的间断点一、变量的改变量二、连续函数的概念四、初等函数的连续性五、函数的连续性在求极限中的应用Continuity of Function六、闭区间上连续函数的性质第1页/共39页1.1、变量的改变量一、变量的改变量1.2、函数的改变量二、连续函数的概念2.1、f(x)在一点处连续性2.2、f(x)在区间上连续性三、函数的间断点3.1、间断点定义3.2、间断点分类四、初等函数的连续性4.1、连续函数的性质第2页/共39页.)0)()()(),()(),()()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点商商积积差差则它们的和则它们的和连续连续在点在点若若xxgxgxfxgxfxgxfx

2、xgxf 性质14.1、连续函数的性质即“连续函数四则运算后的新函数仍连续。”)()(lim)(000 xfxfxxfxx 连连续续在在点点)()(lim)(000 xgxgxxgxx 连连续续在在点点)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 第3页/共39页.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数且且连续连续在点在点连续连续在点在点若若xxfyuxxxuuufy 性质2性质3（反函数的连续性）三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.(复合函数的连续性)即“连续函数经复合后的新函数仍连续。”xyoab)(xfy )(1xfy 单调连续函数的反函

3、数仍为单调连续函数。第4页/共39页4.2、定义区间连续性1.1、变量的改变量一、变量的改变量1.2、函数的改变量二、连续函数的概念2.1、f(x)在一点处连续性2.2、f(x)在区间上连续性三、函数的间断点3.1、间断点定义3.2、间断点分类四、初等函数的连续性4.1、连续函数的性质第5页/共39页4.2、定义区间连续性结论1 基本初等函数在定义域内是连续的.结论2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.其中定义区间是指包含在定义域内的区间._321)(2是是的连续区间的连续区间 xxxf例如：)3)(1(1 xx321)(2 xxxf), 3()3 , 1()1,( fD), 3()3 ,

4、 1()1,( 、第6页/共39页4.2、定义区间连续性结论1 基本初等函数在定义域内是连续的.结论2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.其中定义区间是指包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;注意:例如:, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在0点的邻域内没有定义.), 1上上连连续续函函数数在在区区间间 第7页/共39页例1。在其定义域内的连续性在其定义域内的连续性讨论讨论 1 210 10 )(2xxxxxxxf), 1( 1 , 0)0 ,( fD解：),( 都都是是初

5、初等等函函数数内内，、在在)(), 1(1 , 0)0 ,(xf .), 1(1 , 0)0 ,()( 内内均均连连续续、在在故故 xf处处在在0 x)(lim0 xfx )(lim0 xx 0 )(lim0 xfx 1)1(lim20 xx不不存存在在)(lim0 xfx处处不不连连续续。在在故故0)( xxf第8页/共39页例1处处在在1 x)(lim1xfx )1(lim21 xx2 )(lim1xfx 22lim1 xx2)(lim1 xfx处处连连续续。在在故故1)( xxf。在其定义域内的连续性在其定义域内的连续性讨论讨论 1 210 10 )(2xxxxxxxf综上知f(x)的连

6、续区间是),0)0,( 、2)1()1(12 xxf第9页/共39页四、初等函数的连续性4.1、连续函数的性质4.2、定义区间连续性五、函数连续性在求极限中的应用代入法求极限1.1、变量的改变量一、变量的改变量1.2、函数的改变量二、连续函数的概念2.1、f(x)在一点处连续性2.2、f(x)在区间上连续性三、函数的间断点3.1、间断点定义3.2、间断点分类第10页/共39页例2. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例3.11lim20 xxx 求求解：解：) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 .0 )()()

7、(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx1、“代入法”求极限的理论基础初等函数求极限的方法代入法.第11页/共39页)()(lim)(000 xfxfxxfxx 连续连续在在2、极限符号与函数符号的可交换性00limxxxx )lim()(lim00 xfxfxxxx 例4xxx10)1ln(lim )1(limln)1ln(lim1010 xxxxxx 解：解：eln 1 例5121arctanlim22 xxx121limarctan22 xxx21arctan 第12页/共39页例6xxx)1ln(lim0 xxxxxx100)1ln(lim)1ln(lim 解：解：eln 1 例

8、7ln)1ln(limnnnn )1(limln10 xxx )11ln(limln)1ln(limnnnnnnn 解：解：nnn)11ln(lim )11(limlnnnn 1ln e第13页/共39页例8xexx1lim0 tex 1 令令解：解：)1ln(tx 则则时时且且0 x0t)1ln(lim1lim00ttxetxx 于是于是ttt10)1ln(1lim 1ln1 e第14页/共39页*._)21(12lnlim21 nnannana，则，则设设nnan)21(11lnlim 原式原式解：解：aannan211)21()21(11 lnlim aannan211)21()21(1

9、1 limlnae211ln a211 a211 第15页/共39页四、初等函数的连续性4.1、连续函数的性质4.2、定义区间连续性五、函数连续性在求极限中的应用代入法求极限六、闭区间上连续函数的性质(最值;有界;介值;零点)1.1、变量的改变量一、变量的改变量1.2、函数的改变量二、连续函数的概念2.1、f(x)在一点处连续性2.2、f(x)在区间上连续性三、函数的间断点3.1、间断点定义3.2、间断点分类第16页/共39页 f(x)在a,b上连续，在点 x1处取得最大值M，在点x2处取得最小值m。6.1、最大值与最小值定理定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，它在这个区间上一定有最大值

10、和最小值。几何解释xy)(xfy MmabO x x注函数的最值可能在区间内取得，也可能在区间的端点处取得。第17页/共39页注若f(x)在开区间(a,b)内连续，则不一定有最大最小值；注若f(x)在a,b内不连续，则不一定有最大最小值。xy)(xfy Obcaxy1 xyOxyxy abO第18页/共39页6.2、有界性定理定理: 若f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上必有界.证明: 由最值定理易证之.6.3、介值定理定理: 若f(x)在a,b上连续, M和m分别f(x)在a,b上的最大值与最小值, 则对介于m与M之间的任一实数c(mcM), 至少存在一点(a,b), 使f()=c.

11、几何意义: 闭区间上连续曲线 y=f(x)与平行于x轴的直线y= c(mcM)至少相交一次，而且交点的横坐标为x =(a,b).xy)(xfy MmabOc )( f)( f 第19页/共39页)(xfy 12xyO1 )( f例91)()2 , 0(3)2()1()0(2 , 0)( ffffxf使使证明：至少存在一点证明：至少存在一点上连续，且上连续，且在在Mm分析：只要让值 1 在f(x)的最大最小值之间。第20页/共39页例91)()2 , 0(3)2()1()0(2 , 0)( ffffxf使使证明：至少存在一点证明：至少存在一点上连续，且上连续，且在在证：上连续上连续在在2 , 0

12、)(xfmMxf最小值最小值上必有最大值上必有最大值在在2 , 0)(Mfm )0(Mfm )1(Mfm )2(Mfffm3)2()1()0(3 Mm 11)()2 , 0( f使使在一点在一点由介值定理知：至少存由介值定理知：至少存得证。第21页/共39页6.4、零点定理定理: 若f(x)在a,b上连续, 且f(a)与f(b)异号,即f(a)f(b)0, 则至少存在一点(a,b), 使得 f()=0.即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根。 几何意义: 连续曲线弧的两个端点分别位于 x 轴的上、下两侧，则该曲线弧与x轴至少相交一次。xy)(xfy abO第22页/共39页应用: (1

13、)可以证明方程根的存在性。 例10至少存在一个实根。至少存在一个实根。内内在在证明：方程证明：方程)2,0(01cos2 xx证：1cos2)( xxxf设设显显然然连连续续，在在则则2, 0)( xf310cos20)0( 且且 f0 1212cos22)2( f0 0)()2, 0(00 xfx使使在一点在一点由零点定理知：至少存由零点定理知：至少存故故 01cos2 00 xx即即上式表明 x0 是原方程得一个实根，得证。第23页/共39页应用: (2)的的证证明明。或或等等式式 )( 0)( Cff 证：MxfxF )()(设设辅辅助助函函数数显显然然连连续续，在在则则,)(baxFM

14、afaF )()( 且且0 MbfbF )()(0 0)(),( Fba使使在在一一点点由由零零点点定定理理知知：至至少少存存于于是是0)( Mf 即即得证。例11MfbabfMafbaxf使使证明至少存在一点证明至少存在一点上连续，且上连续，且在在设设)(),()()(,)( Mf )( 亦亦即即第24页/共39页的方法：的方法：或或的等式的等式或或证明含证明含 )()( ) 0)(0)( 000CxfCfxffx (1)将要证的等式改写为等号右边为零的形式，并将 或x0改写为x，则左边的表达式就是辅助函数F(x)；),( 0)(baF (2) 验证F(x) 是否在闭区间连续； 是否端点函数

15、值异号若满足，直接使用零点定理得：(3) 转化为要证等式。第25页/共39页例12证：xexFx 2)(设设辅辅助助函函数数上上显显然然连连续续，在在则则2 , 0)(xF0102)0( 0 eF且且0422)2(22 eeF0)()2 , 0(00 xFx使使在一点在一点由零点定理知：至少存由零点定理知：至少存于是于是02 00 xex即即得证。02 0 xex 亦亦即即002 )2, 0(0 xexx 使使内内至至少少存存在在一一个个证证明明在在第26页/共39页作业：P75 1，6(2)，8 第27页/共39页Continuity of Function二、等价无穷小在求极限中的应用一、

16、无穷小量的比较第28页/共39页1.1、问题的提出一、无穷小量的比较第29页/共39页1.1、问题的提出无穷小的和、差、积仍为无穷小.无穷小的商是什么？引例:.,2 ,02都都是是无无穷穷小小时时当当xxxx 趋向于零的“快慢”程度不同.结论:x10.50.10.010.001002x210.20.020. 00200 x210.250.010.00010.00000100第30页/共39页1.1、问题的提出一、无穷小量的比较1.2、两个无穷小的关系第31页/共39页1.2、两个无穷小的关系:);(;, 0lim)1( o 记作记作高阶的无穷小量高阶的无穷小量是比是比则称则称若若.个无穷小量个

17、无穷小量为同一变化过程中的两为同一变化过程中的两设设、;,lim)2(低低阶阶的的无无穷穷小小量量是是比比则则称称若若 ;),1 , 0(lim)3(同阶无穷小量同阶无穷小量与与则称则称若若 cc;, 1lim)4( 记为记为是等价无穷小量；是等价无穷小量；与与则称则称若若 定义：第32页/共39页1.2、两个无穷小的关系:22lim)1(0 xxxxxxsinlim0, 1 ).0( sinxxx引例：是同阶无穷小是同阶无穷小与与时，时，在在xxx200lim)2(20 xxx的高阶无穷小的高阶无穷小是是时，时，在在xxx20)0( )( 2 xxox或或第33页/共39页例1解.)(,速度

18、的快慢速度的快慢趋于零趋于零与与试比较无穷小试比较无穷小时时当当 xxx,lim)(lim xxxxxx)()()( xxox.)( ,的高阶无穷小的高阶无穷小是是时时即即 xxx:)(,趋趋于于零零的的速速度度快快得得多多要要比比趋趋于于零零的的速速度度从从下下表表可可以以看看出出事事实实上上 xxx21.51.11.011.00111(x- -1)210.25 0.01 0.00010.000001 00 x2- -131.25 0.21 0.02010.002001 00第34页/共39页例2比比较较试试将将下下列列无无穷穷小小与与时时当当xx,0解：xx 11)1()1ln()2(x xxsin)3()1()4(2 xx)11(