截长补短法例题精编版

1、最新资料推荐截长补短法例1.已知，如图1-1，在四边形 ABCDK BO AB A=DC BD平分/ ABC求证：/ BAD +/ BCD180° .分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图 中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点 D作DE垂直BA的延长线于点 E作DF丄BC于点F,如图1-2A/ BD平分/ ABC： DE=DF在 RtA ADE与 RtA CDF中,'DE = DFAD =CD Rt ADE RtA CDF HD，/-Z DAE/ DCF又/ BADZ D

2、AE180°,/.Z BABZ DCF=180即Z BADZ BCD180°例2.已知，如图3-1 , Z仁Z 2, P为BN上一点，且 POL BC于点D, ABBC=2BD求证：Z BAF+ Z BCP180° .分析：与例1相类似，证两个角的和是 180°,可把它们移到一起，让它们是邻补角, 即证明Z BCPZ EAP因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点 E,如图3-2图3-1Z 1 = Z 2, 且 P丄 BC, PE=PD在 RtA BPE与 RtA BPD中,：PE = PD.BP = BPE图3-2

3、DC Rt BPE RtA BPD HD， BE=BD/ ABfBC=2BD / ABfB&DCB&BE / ABfD(=BE即DC=BEAB=AE6 Z DCEZ CDE90° ,在 RtA APE与 RtA CPD中,PE = PD /PEA =/PDCAE =DC Rt APERtACPDSAS), / PAEZ PCD又/ BAF+Z PAE180 ° ,/ BAF+Z BCP=180°例3.如图 2-1 , AD/ BC 点 E在线段 AB上, Z ADEZ CDE Z DCEZ ECB求证：COABBC分析：结论是COADBC可考虑用“

4、截长补短法”中的“截长”，即在CDh截取CF=CB 只要再证D巨DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC如图2-2在厶 FCE BCE中,CF 二 CB&FCE =NBCECE =CE FCEA BCE(SAS , Z 2=Z 1.又 AD/ BC / ADGZ BCD180°,. Z 2+Z 3=90 ° ,Z 1 + Z 4=90 °,.Z在厶 FDE与 ADE中,FDE =ZADEDE =DE±3 =N4 FDEA ADE( ASA , DF=DA/ Ct=DF+CF, CDA>B

5、C例4.已知：如图 4-1，在 ABC中，/ C= 2/ B,/ 1 = Z 2.求证：A&AGCD分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至 E使CE=CD或在AB上截取AF=AC证明：方法一（补短法）延长 AC到 E,使 DGCE 则/ CDE=Z CED 如图 4-2图4-2/ ACB= 2/ E/ ACB= 2/ B / B=Z E,在厶 ABDW AED中 ,.1 =/2E2B =NE.AD = AD ABD AED( AAS，二 AB=AE又 AEAC+C=AGDC - AB=A(+DC方法二(截长法)在AB上截取 AF=AC如图4-3在厶AFD与 ACC中,AF =AC山=N2AD = AD AFDA ACD