2004年北京市高考数学试卷(理科)

1、2004年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. （5 分）已知全集 U=R, M=x| -2x2, N=x|x1,那么 M n N=（）A. x|x 1B. x| - 2x 1 C. x| x -2 D. x| -2x12. （5分）满足条件| z - i| =| 3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A. 一条直线B.两条直线C圆 D.椭圆3. （5分）设m、n是两条不同的直线，民、秋丫是三个不同的平面.给出下列 四个命题，其中正确命题的序号是（）若 m a, n / % 则 m，n若 all 0, y, mX a,则 m，丫若 m / a, n

2、 / % 则 m / n若 aX y, pX y,则 all 0A. B.C.D.4. （5分）如图，在正方体 ABCD- AiBiCiDi中，P是侧面BBGC内一动点，若P 到直线BC与直线GDi的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A,直线 B,圆 C.双曲线D,抛物线5. (5分)函数f (x) =x2-2ax- 3在区间i, 2上存在反函数的充分必要条件 是()A. a (-oo? i b. a 2, +oo)C.1,2 D. a (-oo? i u 2,+OO)6. (5分)如果a, b, c满足cba且acac B. c (b a) 0 C. cb2ab2D. ac (a c)

3、 0)上一定点 P (xo, yO) (yo0),作两条直线分别交抛物线于 A (xi, y1)，B(X2, y2)(I)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离2(II)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值,并证明直线 AB的斜率是非零常数.18. (14分)函数f (x)是定义在0, 1上的增函数，满足fG)二2f借)且f (1)=1,在每个区间八了 (i=1, 2)上，y=f (x)的图象都是斜率为同一常2121-1数k的直线的一部分.(1)求f (0)及总), 合)的值，并归纳出f=)(E 2,)的表达式 (2)设直线乂乂丁, x轴及y=f(x)的图象围成的矩形的面积为 ai

4、(i=1, 2121-12),记$(k)=Um (a1 + a2+an),求S ( k)的表达式，并写出其定义域和最 8小值.19. (12分)某段城铁线路上依次有 A、B、C三站，AB=5km, BC=3km,在列车 运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟， 8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从 A站正点发车，在B站停留1 分钟，并在行驶时以同一速度 vkm/h匀速行驶，列车从 A站到达某站的时间与 时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.(I)分别写出列车在 R C两站的运行误差(II)若要求列车在B, C两站的运行误差之和不超过2分钟

5、，求v的取值范围. 20. (13分)给定有限个正数满足条件 T:每个数都不大于50且总和L=1275.现 将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组 的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为2；如此继续构成第三组(余差为3)、第四组(余差为4)、，直至第N组(余差为小) 把这些数全部分完为止.(I)判断1,，N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个 数；(II)当构成第n (nN)组后，指出余

6、下的每个数与 rn的大小关系，并证明 、150n-L n 1：；n-1(m)对任何满足条件T的有限个正数，证明：N11.第3页(共17页)2004年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. （5 分）（2004?北京）已知全集 U=R M=x| - 2x 2, N=x| x 1,那么MA N=（）A. x|x 1B. x| - 2x 1 C, x| x - 2 D. x| -2x1【解答】 解；V M=x| -2x2 , N=x|x1M n N=x| - 2x2或a i .答案：D6. （5分）（2004?北京）如果a, b, c满足cba

7、且acac B. c （b a） 0 C. cb2ab2D. ac （a c） 0【解答】解：对于A, cba且ac0, cac,故A一定成立对于 B,cbab- a0,又由c0,故B一定成立，对于C,当b=0时，cb2ab2不成立，当b w 0时,cb2 ab2成立,故C不一定成立，对于 D,c b a且 ac0ac （a-c） 0,故 D 一定成立故选C.7. （5分）（2004?北京）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的 不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个 数为m,则叫等于（ ）n_1_1_3A. 0 B.C.D -424【解答】解：由题

8、意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件有n=C43=4种结果，满足条件的事件是在 气2、3、4”这四条线段中， 由三角形的性质两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的有 工3、4”，m=1.n-1 一n 4故选B.8. (5分)(2004?北京)函数f (x) = 其中P、M为实数集R的两个非1r M空子集，又规定 f (P) =y| y=f (x), x P , f (M) =y| y=f (x), x M.给出下列四个判断，其中正确判断有()若 pnm=?,则 f(P)n f(M)=?；若 pnmw?,则 f(P)nf(M)w?；若 PU M=R,贝 U f (

9、P) U f (M) =R;若 PU M WR,则 f (P) Uf (M)半 R.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解答】解：由题意知函数f (P)、f (M)的图象如图所示.设P=X2, +00) , M= (一 0, Xi,|x2| | Xi| , f (P) =f(X2), +00),f (M) =f(X1), +8),则 PAM=?.而f(P)nf(M)=f(xi), +oo)w?,故错误.同理可知正确.设P=X1, +00) , M= ( 8, X2,V | X2| | Xi| ,则 PU M=R.f (P) =f (Xi), +8), f (M) =f(X2), +8),

10、f (P) Uf (M) =f (xi), +)丰 R, 故错误.由的判断知，当PU MWR,则f (P) Uf (M) WR是正确的. 故对故选B第7页（共17页）二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分)9. (5分)(2004?北京)函数f (x) =cos2x 2日sinx?cosx的最小正周期是 兀【解答】 解：由题意知，f (x) =cos2x 2企sinx?cosx=cos2xVsin2x_， tt、=2cos (2x+-),3.函数的最小正周期是冗.故答案为九.10. (5分)(2004?北京)学校篮球队五名队员的年龄分别为15, 13, 15, 14,13,其方差为0.8

11、,则三年后这五名队员年龄的方差为0.8 .【解答】解：根据方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，只要数据没有倍数关系的变化，其方差就不会变；由题意知，新数据是在原来每个数上加上3得到，原来的平均数为 7,新数据是在原来每个数上加上3得到，则新平均数变为 x+3,则每个数都加了 3,原来 的方差 S12一工(刈-7)2+ (x2-7)2+T (xn- 7)2 =0.8,现在的方差 S22= (x+3 nn2222 ,一、 2 3)+(x2+3 工3)+(xn+3 工3) =(x1 一工)+(x2 1)+ 十n(xn-) 2 =0.8,方差不变.故三年后这五名队员年龄的方差不变，仍是 0

12、.8.故答案为：0811. (5分)(2004?|匕京)某地千封Z上北纬30纬线的长度为12冗cm该地球仪的 半径是_4正_cm,表面积是 1927r cm2.【解答】解：地球仪上北纬30纬线的长度为12：tcm则纬圆半径r, 2冗二12冗 r=6,地球仪的半径 R=cosSO地球仪的表面积：4冗0192冗 故答案为：飞192冗12. （5分）（2004?北京）曲线C:二csS （ 8为参数）的普通方程是 x2+（y+1） 2=1 ,如果曲线C与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是【解答】解：卜土口三8（8为参数）|y=-l+sin B消参可得x2+ （y+1） 2=1利用圆心到

13、直线的距离d&r得上毕或V2解得：一 ： : + :故答案为：x2+ （y+1） 2=1；6.13. （5分）（2004?北京）在函数f （x） =ax2+bx+c中，若a, b, c成等比数列且f （0） =-4,则f （x）有最 大 俏（填大”或小”），且该佰为-3【解答】解：:a, b, c成等比数列且f （0） =-4,- b2=ac, c=-4.a 0, .f （x）有最大值，最大值为：四工二塔工二华二t.4a 4a 4故答案为：大；-3.14. （5分）（2004?北京）定义 等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的 后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫

14、做该数列 的公和.已知数列an是等和数列，且a1=2,公和为5,那么a18的值为3 、这个数列的前n项和Sn的计算公式为当n为偶数时.1门1：当n为奇数时.【解答】解：由题息知，4+今+1=5,且a二2,所以，aI+a2=5,得a2=3,a3=2,a4=3,317=2,a18=3,当 n 为偶数时 Sn=(2+3) + (2+3) + (2+3) + (2+3) =5x丹当 n 为奇数时 sn= (2+3) + (2+3) + (2+3) +2=5X+2=近二22 2故答案为：3;当n为偶数时与包，当n为奇数时与包1L22三、解答题（共6小题，满分80分）15. （13 分）（2004?北京）

15、在 ABC中，sinA+cosA巫，AC=2 AB=3,求 tanA2的值和 ABC的面积.【解答】 解：（1） ; sinA+cosA=/sin （A+45） =丫2,2sin （A+45 ） 口.2又 0 A0)上一定点 P (xo, yo)(yo0),作两条直线分别交抛物线于 A (xi, yi), B (x2, v2(I)求该抛物线上纵坐标为号的点到其焦点F的距离(II)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 + y 2 P值,并证明直线 AB由抛物线定义得，所求距离为 _(为)喈(II)设直线PA的斜率为kpA,直线PB的斜率为kpB由 yi2=2pxi, yo2=2pxo相减得(

16、yi -yo) (yi+yo) =2p (x1-刈)2PVl + 北同理可得二 2P由PA, PB倾斜角互补知kPA= - kPB叩 2P 二 _ 2P力十几一万+ 口所以 yi+y2= 2yo力+旷2故.： 设直线AB的斜率为kAB由 y22=2px2, yi2=2pxi所以相减得(V2 V1) (y2+y1) =2p d%)(x 叼)将y1+y2=- 2yo (yo0)代入得二二一匕，所以kAB是非零常数 触Vl + 乃V。第17页（共17页）18. (14分)(2004?北京)函数f(x)是定义在0, 1上的增函数，满足=2f管)且f (1) =1,在每个区间一丁 (i=1, 2)上，y

17、=f (x)的图象都是斜率 2工2工7为同一常数k的直线的一部分.(1)求f(0)及 )，豆工)的值，并归纳出2,)的表达式2421(2)设直线乂-L, :x轴及y=f (x)的图象围成的矩形的面积为 ai (i=1,2121-12-),记S(k)=Hid (、+ 及+1),求S (k)的表达式，并写出其定义域和最8小值.【解答】解：(1)由 f (0) =2f (0),得 f (0) =0, 由号)及f(1)=1，得工号)4f， 同理，吟T吟)十归纳得f(工)2,), 2121(2)f(x) =ir+k(Ktr) ai41廿?十, (4tr(i=L 3 )，x-21+k (-yhr21 21

18、 121-1)(2* 21所以4是首项为1（1上），公比为工的等比数列，2 u 4 74（1 上）所以 （k）= lim （21 + &2+ + &11），S4（1T）S（k）的定义域为 0k&1,当k=1时取得最小值1. 219. （12分）（2004?北京）某段城铁线路上依次有 A、B、C三站，AB=5km, BC=3km 在列车运行时刻表上，规定列车 8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车 1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从 A站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度 vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某站 的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在

19、该站的运行误差.（I）分别写出列车在 B C两站的运行误差（II）若要求列车在B, C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围. 【解答】解：（I）由题意可知：列车在 B, C两站的运行误差（单位：分钟）分 别是 | 迎-R ft|-11l vv（II）由于列车在B, C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 |迎”鲤_尸2（*） vv当0产犁时，（*）式变形为卫蚣一74型亚ii42 7v v解得.二.当嘤翌时，（*）式变形为7二妈厘_i2711v v解得-当审等时，（*）式变形为7望1一姆2 11v v解得二二；一114综上所述，v的取值范围是39,号20. （13分）（2004?北京）给定有限个正数满足条件 T:每个数都不大于50且总和L=1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r