数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性

1、第6次 数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性 (Numerical Analysis)数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性第四章第四章 数值积分数值积分数值积分引论机械求积方法以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型求积公式插值型求积公式的例子求积公式的收敛性和稳定性数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性第四章 数值积分4.0 引言若函数f(x)在区间a, b上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式:b ba aF F( (a a) )F F( (b b) )f f( (

2、x x) )d dx x求定积分的值。 评论：Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题。数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性 (1) 被积函数f(x)没有用初等函数的有限 形式表示的原 函数F(x)，例如：dxe 和dx xsinx10 x102(2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 但表 达式太复杂，例如 的原函数： 32xxf(x)22 则无法应用Newton-Leibnitz公式。在实际计算中经常遇到以下三种情况：)32xxx2ln(216932xx16332xx41F(x)2222

3、2数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。 对于以上情况，通过Newton-Leibniz公式求原函数计算积分的准确值都是十分困难的。 因而需要研究一种新的积分方法：数值解法来建立积分的近似计算方法。l将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，l用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。 Home数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性 4.1 数值积分概述baf(

4、x)dxI图4-1 数值积分的几何意义 积分值 的几何表示：由x=a, x=b, y=0以及y=f(x)这四条边所围的曲边梯形面积。该面积难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。 4.1.1 数值积分的基本思想 y = f(x)yab数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性最常用的建立数值积分公式的两种方法：f f( ( ) )本段讲授机械求积方法.ba,a)f(),(bf(x)dxba即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 的矩形面积。但点的具体位置是未知的, 因而 的值也是未知的。f f( ( ) )第1种：机械求积方法.第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法由

5、积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间a, b内存在一点，使得谜数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性三个求积分公式y构造出一些求积分值的近似公式。则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。)2baf(f()2f(b)f(a)f()梯形公式中的f f( ( ) )y中矩形公式中的例如分别取： f f( ( ) )数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性 梯形公式xabf(b)a)f(a)(b21f(x)dxbay=f(x)ab用梯形面积代表积分值数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性 中矩形公式)2baa)f(bf(x)dxbay=f(x)aby

6、x(a+b)/2ab用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性y=f(x)y Simpson公式f(b)2ba4f(a)f(a)(b61f(x)dxbaabSimpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的函数值的加权平均值作为平均高度f( ). (a+b)/2Home数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性先用某个简单函数 近似逼近f(x), 用 代替原被积函数f(x)，即 baba(x)dxf(x)dx函数 应该对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积

7、分。第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法(x)以此构造数值算法。通常，将 选取为f(x)的插值多项式, 这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。 (x)(x)(x)要求：数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性4.1.2 插值求积公式 n0kkk(x)lf(xP(x)(x)x(x(x)xxxx(x)lkknkj0jjkjk其中，对k=0,n n),0,1,(kxk)f(xk设已知f(x)在节点 有函数值 ,作n次拉格朗日插值多项式 )x(x)x)(xx(x(x)n10数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性 bakn0kkbaba(x)dxl )f

8、(x P(x)dxf(x)dxbakkbakkdx)(x)x(x(x)(x)dxlA其中 称为求积系数。取 作为 的近似值，即 baP(x)dxbaf(x)dxbakn0kk(x)dxl)f(xkn0kkbaA)f(xf(x)dx记为数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性定义4.1 求积公式 n0kkkba)f(xAf(x)dx当其系数 时，则称求积公式为插值（型）求积公式。 bakk(x)dxlA(4.1)数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性记(4.1)的余项为 ，由插值余项定理得 R(f)ba1)(nba(x)dx1)!(n()fdxP(x)f(x)R(f)b

9、a, 其中 注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时， 因此，求积公式(4.1)成为准确的等式。0(x)f1)(n0R(f)数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性例1 给定插值节点 10f(x)dx为定积分43x,21x,41x210构造插值求积公式。 43x21x843412141/43x21x(x)l043x41x1643214121/43x41x(x)l121x41x821434143/21x41x(x)l2解：以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为 数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性32dx43x21x8(x)dxl1010031-dx43x4

10、1x16)(x)dxl1010132dx21x41x8(x)dxl10102432f21f412f31f(x)dx10从而，得到插值型求积公式如下：数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性例2 设积分区间a, b为0, 2，取 x432e,x,x,xx,1,f(x)20f(2)f(0)f(x)dx20f(2)4f(1)f(0)31f(x)dx解: 梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示 计算其积分结果并与准确值进行比较。分别用梯形和辛卜生公式： 数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性f(x)1xx2 x3x4 ex定积分准确值222.6746.406.389

11、梯形公式计算值 2248168.389辛卜生公式计算值 222.6746.676.421可以看出，当f(x)是 x2 , x3 , x4 时,辛卜生公式比梯形公式更精确。20f(2)f(0)f(x)dx20f(2)4f(1)f(0)31f(x)dx梯形公式辛卜生公式同学们，自己验证数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性某求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标。代数精度的定义：如果求积公式（4.1）对于一切次数小于等于m的多项式是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度。 mm2210 xaxaxaaf

12、(x)数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性abA A An10在公式4.1中，令f(x)=1, x, x2, x3,xn若求积公式（4.1）的代数精度为n，则其系数 应满足: kA2abxAxAxA22nn1100 1nabxAxAxA1n1nnnnn11n00其系数矩阵n nn nn n1 1n n0 02 2n n2 21 12 20 0n n1 10 0 x xx xx xx xx xx xx xx xx x1 11 11 1当n n) ), ,0 0, ,1 1, ,( (k kx xk k A Ak k互异时，有唯一解 数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳

13、定性定理4.1 n+1个节点的求积公式 n0kkkba)f(xAf(x)dx为插值型求积公式公式至少具有n次代数精度。 证:必要性.设n+1个节点的求积公式n0kkkba)f(xAf(x)dxdx(x)lAbakkR(x)P(x)f(x)插值型求积公式判断条件为插值型求积公式，求积系数为： 又 ，当f(x)为不高于n次的多项式时, f(x)=P(x), 其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性nkj0jjkjkxxxx(x)ln n) ), ,0 0, ,1 1, ,( (k k充分性： 若求积公式至少具有n次代数精度, 则

14、对n次多项式精确成立，即从而0)(xk的时候，l而当j1,)(x注意ljkkk所以由（*）和(*)知： ,即求积公式为插值型求积公式 。(x)dxlAbakk其中).).).).nk1kk1-kk0kn1k1-k0kx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(xx-(x(x)ln0jjkjbak)(xlA(x)dxl(*)kn0jjkjA)(xlA(*)数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性重要结论： 梯形公式具有1次代数精度； 辛卜生公式有3次代数精度（同学们自己验证）。baf(b)f(a)2abf(x)dx取f(x)=1，显然上式两端相等。 取f(x)=x, ba2

15、2右b)(a2ab)a(b21xdx左取f(x)=x2 , 右)b(a2ab)a(b31dxx左ba22332所以梯形公式只有1次代数精度。 下面以梯形公式为例进行验证 数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性例3 试确定一个至少具有2次代数精度的公式 40Cf(3)Bf(1)Af(0)f(x)dx解: 要使公式具有2次代数精度，则对f(x)=1, x, x2 ，求积公式准确成立，即得如下方程组。 64/39CB83CB4CBA20/9C,4/3B4/9,A解之得： 20f(3)12f(1)4f(0)91f(x)dx40所求公式为

16、： 插值型求积公式系数的值与1）积分区间a,b有关，2）节点的选取有关；3）和具体的f(x)无关数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性例4 试确定求积系数A, B, C，使得11Cf(1)Bf(0)1)Af(f(x)dx32CA0CA2CBA可验证，该公式对于f(x)= x3 也成立(意外收获)，而对x4 不成立。因此，该求积公式有3次代数精度。f(1)31f(0)341)f(31f(x)dx11A=1/3, B=4/3, C=1/3具有最高的代数精度。解:分别取f(x)=1, x, x2 ，使求积公式准确成立,得:Simpson求积公式数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛

17、性与稳定性做法：选定n+1个插值节点，按照插值公式构造求积公式后，应验算该求积公式是否还有n+1次或更高的代数精度。问题：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度究竟有多高？回答：n+1个节点的插值求积公式保证了至少有n次代数精度。结论：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度至少为n，但是有可能比n还大？数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性解：该插值求积公式具有3个节点，因此至少有2次代数精度。f f( (b b) ) )2 2b ba a4 4f f( (f f( (a a) )6 6a ab bf f( (x x) )d dx xb ba a例5 已知插值求积公式（按照插值公

18、式构造的系数） 将f(x)=x3代入公式两端，左端=右端=(b4-a4)/4, 公式两端严格相等， 再代入f(x)=x4两端不相等，故该求积公式具有3次代数精度。讨论该公式的代数精度。Simpson 公式是否有3次代数精度呢？数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性的代数精度。f(1)2f(0)1)f(21f(x)dx11例6 考察求积公式评论：三个节点不一定具有2次代数精度，因为不是插值型的！解：可验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等, 再将f(x)=x2代入公式，经过计算，左端=2/3， 右端=1。所以该求积公式具有 1 次代数精度.课堂练习数值积分-插值型积分-误差-

19、求积公式的收敛性与稳定性例7 给定求积公式如下： 10)432f()21f()412f(31f(x)dx试证此求积公式是插值型的求积公式。 证明:1011dx左 1，212311，右令f(x)21xdx左 ，21432214231x，右令f(x)1031dxx左 ，3116184116231，右x令f(x)1022从而求积公式至少有2次代数精度，由定理4.1，此求积公式是插值型求积公式。可验证，该公式有3次代数精度。 课堂练习数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性上的插值基函数、和插值求积公式如下： 另外一种验证方法-具体地计算出以下插值型求积公式中的积分系数43x,21x,41

20、x210)43Cf()21Bf()41Af(f(x)dx10A, B, C. 实际上，在例1中，已经求出了在插值节点432f21f412f31f(x)dx10这和题目中所给定的求积公式相同，因此题目中的积分公式是插值型求积公式。 这个方法比较复杂。数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性f(1)2f(0)1)f(21f(x)dx11例8 求证不是插值型的。证明: 设 x0 = -1, x1 =0, x2 =1 2左2,12121右1,令f(x)0左0,10-121右x,令f(x)32左1,1121右,x令f(x)2从而求积公式拥有3个节点，但是仅有1次代数精度，由定理4.1，此求积

21、公式不是插值型求积公式。课堂练习数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性 例9 给定求积公式试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。f f( (h h) )A Af f( (0 0) )A Ah h) )f f( (A Af f( (x x) )d dx x1 10 02 2h h2 2h h1 1解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有31212h316AhAh0hAhA114hAAA101课堂练习数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性2f(h)f(0)h)2f(h34f(x)dxh38AAh,34A2h2

22、h110解之得:其代数精度至少为2,将f(x)=x3代入求积公式两端相等；将f(x)=x4代入求积公式两端不相等；所以其代数精度为3次数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性构造插值求积公式有如下特点：1）复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分；2）求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被 积函数f(x)无关，无论f(x)如何，永远可以预先 算出Ak的值；3）n+1个节点的插值求积公式至少有n次代数精度；abAn0kk4）求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性。数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性 (1) 在积分区间a,b上选取节点xk(3) 利用

23、f(x)=1, x, , xn,验算代数精度构造插值求积公式的步骤：bakk(x)dxlA) )f f( (x xA Af f( (x x) )d dx xk kb ba an n0 0k kk k(2) 求出f(xk)及利用 或解关于Ak的线性方程组求出Ak，得到:数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性例10 对 , 构造至少有3次代数精度的求积 公式。同学自己完成。3 30 0f f( (x x) )d dx x解: 3次代数精度需4个节点, 在0, 3上取0, 1, 2, 3四个节点构造求积公式f(3)Af(2)Af(1)Af(0)Af(x)dx321300确定求积系数Ak(k=0, 1, 2, 3), 利用求积系数公式3023300836)dx11x6x(x61dx3)2)(01)(0(03)2)(x1)(x(xA数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性,89dx3)2)(10)(1(13)2)(x0)(x(xA301因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度。83A,89A32f(3)3f(2)3f(1)f(0)83f(x)dx30数值积分-插值型积分-误差-求积公式