运用勾股定理证明与计算

1、勾股定理 学习目标掌握勾股定理，会用面积法证明勾股定理。导学过程一、 忆一忆1、直角ABC的主要性质是：C=90（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系： （2）若D为斜边中点，则斜边中线是 （3）若B=30，则B的对边和斜边的关系是： 二、学一学1、（1）、画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC，用刻度尺量出AB的长。（2）、再画一个两直角边为5和12的直角ABC，用刻度尺量AB的长问题：你是否发现+与，+和的关系，即+ ，+ ，命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 。三、合作探究： 方法1、已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。求证： 证明：4

2、S+S小正=S大正根据的等量关系：由此我们得出勾股定理的内容是 方法2、已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。求证：a2b2=c2。根据如图所示，利用面积法证明勾股定理推荐精选四、练一练：1、在RtABC，C=90（1）已知a=b=5,求c。（2）已知a=1,c=2, 求b。（3）已知c=17,b=8, 求a。已知a：b=1：2,c=5, 求a。已知b=15，A=30，求a，c2、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的长为 。3如图,三个正方形中的两个的面积S125，S2144，则另一个的面积S3为_4.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_

3、。5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A、56B、48C、40D、326、已知，如图在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高求 AD的长；ABC的面积7如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积. 3m 4m 20m勾股定理（二）学习目标：1会用勾股定理进行简单的计算。学习过程：一忆一忆1.勾股定理的内容 2.在直角三角形ABC中，C=90，如果a=3,c=6,求b二、解决实际问题1.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长推荐精选问题（1）在长方形ABC

4、D中AB、BC、AC大小关系？（2）一个门框的尺寸如图1所示若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长3米，宽1.5米呢？若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？BC1m 2mA2、如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米求梯子的底端B距墙角O多少米？如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C. 算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）OBDCACAOBOD三、练一练如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 5m13m 四、学习检测：

5、1有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。2山坡上两株树木之间的坡面距离是4 米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是推荐精选 米。3、如图1所示，一个梯子AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得DB的长为1米，则梯子顶端A下落了 米.8kmCAB6km（1） （2）4、如图2所示12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。5、如图3，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑

6、船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？勾股定理（三）学习目标: 1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；2、能在在数轴上表示无理数。学习导学过程一、 忆一忆1.勾股定理： 。2.在直角三角形中，（）=( ) +( ) （）=( ) +( ) ，（）=( ) +( ) （）=( ) +( ) (注意括号里要填正整数哦)二、探究.三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？三、学一学如图，已知OA=OB， (1)说出数轴上点A所表示的数推荐精选（2

7、）在数轴上作出对应的点四、试一试利用尺规，在数轴上做出五、学习检测：1、如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为（ ）（A）-10 （B） -10 （C） 8 （D） -122. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3ABCD7cmABC3. 如图所示，在ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）A.abc B. cab C. cba D. bac4等边ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .5如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为

8、7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_6ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，SABC= 。7ABC中，若A=B=C，AC=10 cm，则A= 度，B= 度,C= 度，BC= ，SABC= 。8在ABC中，C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要_分的时间.9有一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm在A点处有一只蚂蚁，它想吃到B点处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？推荐精选勾股定理的逆定理（一）学习目标1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾

9、股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。导学过程一忆一忆勾股定理：二、学一学阅读教材31页-32页内容，结合教材完成下面问题，十分钟后看哪组能借助例子给大家讲得清楚明白1、画出6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗？ 图18.2-22、如图18.2-2，若ABC的三边长、满足，试证明ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程3、三角形三边满足什么条件是直角三角形 4、.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？（1）什么叫互为逆命题（2）什么叫互为逆定理（3）任何一个命题都有 _，但任何一个定理未必都有 _5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？（1

10、） 两直线平行，内错角相等；（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3） 全等三角形的对应角相等；（4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。推荐精选三、练一练：1：判断由线段、组成的三角形是不是直角三角形：（1）； （2）（3）； （4）；2.如果三条线段长a,b,c满足，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？3.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？4.思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾

11、股数吗？四.学习检测1.若ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定ABC的形状2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？3.已知：如图，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD。求证：ABC是直角三角形。五、反思：推荐精选勾股定理逆定理（2）学习目标：1、 会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，2、 能够理解勾股定理及其逆定理解决实际问题。导学过程一、 忆一忆用字母表示勾股定理及逆定理二、试一试结合提示试着完成下面两题看谁完成得好已知：如图，四边形ABCD，ADBC，AB=

12、4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD的面积。解析：求不规则图形的面积时，要把不规则图形 如图所化辅助线图18.2-32“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90。三、练一练1一个三角形三边之比为3：4：5，

13、则这个三角形三边上的高值比为 A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12 D 10:8:22.如果ABC的三边a,b,c满足关系式 +（b-18）2+=0则ABC是 _三角形。3.若ABC的三边a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC是（ ）A等腰三角形； B直角三角形；推荐精选C等腰三角形或直角三角形； D等腰直角三角形。4.若ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：，试判断ABC的形状。5.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且ABBC。求：四边形ABCD的面积。6.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

14、小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。5.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。7.已知ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定ABC的形状。 8.如图，在正方形中，为的中点，为上一点且，求证：90。.五、教学反思：勾股定理复习（1）学习目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.推荐精选2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.一、知识回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用

15、拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的_和等于_的平方就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有： 这就是勾股定理(2)勾股定理揭示了直角三角形_之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据,勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为_.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的

16、关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示（n为正整数）的点勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：

17、利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想(3)三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若，则三角形是直角三角形；若，则三角形是锐角三角形；若，则三角形是钝角三角形所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边二、合作交流：推荐精选例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?三、质疑导学：例2：如图，在四边形ABCD中，C=90，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：ADBD 四、学习检测：1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A7，24，25 B3，4，5 C3，4，5

18、D4，7，82.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A1倍 B2倍 C3倍 D4倍3.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）A6cm B85cm Ccm Dcm4.在ABC中，三条边的长分别为a，b，c，an21，b2n，cn2+1(n1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角5两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A50cm B100cm C140cm D80cm6等腰ABC的面积为12cm2，底上的高AD3cm，则它的周长为 7等

19、边ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为8一个三角形的三边的比为51213，它的周长为60cm，则它的面积是勾股定理复习(2)学习目标1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理考点一、已知两边求第三边1在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_推荐精选2已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是_3在数轴上作出表示的点4已知，如图在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高求 AD的长；ABC的面积考点二、利用列方程求线段的长ADEBC1如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使