逆矩阵ppt课件

1、四、小结四、小结 思考题思考题二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法一、概念的引入一、概念的引入第二章 矩阵及其运算第三节第三节 逆矩阵逆矩阵机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 111 aaaa,11EAAAA 则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.A1 A一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有aa11 a其中其中 为为 的倒数，的倒数，a （或称（或称 的逆）；的逆）； 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，E单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，A那么，对于矩阵那么，对于矩阵

2、，1 A如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、概念的引入一、概念的引入二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是可逆的，并把矩阵是可逆的，并把矩阵 称为称为 的逆矩阵的逆矩阵.nAB,EBAAB BAnA, ,使得使得.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作例例 设设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵

3、是唯一的的逆矩阵是唯一的.AA若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，BCA则有则有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC .CCE 所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即A.1 ACB机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 设设,0112 A.的逆阵的逆阵求求A解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, dcbaBA则则 dcbaAB0112 1001 100122badbca利用待定系数法利用待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因为又因为 0112 2110 0112 2110,

4、1001 所以所以.21101 AABAB机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A证明证明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即即有有, 11 EAA故故. 0 A所所以以.的的伴伴随随矩矩阵阵为为矩矩阵阵其其中中AA ,0时时当当 A机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0时时当当 A nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOO机动 目录 上页 下页 返回 结束 EAAAAA

5、按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕.,0,0非非奇奇异异矩矩阵阵称称为为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.为为非非奇奇异异矩矩阵阵是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是由由此此可可得得AA机动 目录 上页 下页 返回 结束 .1AA*A1 1 EAAAAAA *1*1, 1 EBA, 0 A故故,1存在存在因而因而 A于于是是EBB BAA1 ABA1 EA1 .1 A证证毕毕 .,1 ABEBAEAB则则或或若若推论推论证明证明 .,1111AAAA 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质

6、机动 目录 上页 下页 返回 结束 且且可可逆逆则则数数可可逆逆若若, 0,2AA 且且亦亦可可逆逆则则为为同同阶阶方方阵阵且且均均可可逆逆若若,3ABBA 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明 1ABB1 1 A .111 AA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA .,0,10kkAAEAA 定定义义时时当当另另外外证明证明 为为正正整整数数k .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若TT1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .AA,A115

7、 则则有有可可逆逆若若证证明明EAA 111 AA.AA11 因此因此有有为整数时为整数时当当, 0 A, AAA . AA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321A解解343122321 A, 0 .1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A三、逆矩阵的求法机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 机动 目

8、录 上页 下页 返回 结束 ,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩阵矩阵求出其逆求出其逆若可逆若可逆是否可逆是否可逆下列矩阵下列矩阵BA例例2 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 010430321 0143 4 , 0 .A可可逆逆所所以以, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A.A,A,A,A,A,A341103333231232221 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 315404133411151531132 B由由于于, 0 .B不不可可逆逆故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 3

9、3231332221231211111*1AAAAAAAAAAAAA,130231,3512,343122321 CBA例例3 3 设设.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵解解, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又又由由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得, 0 AEEAA )(21 121 EAA.,

10、2,:, 022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例4 4 2513202011.41041012 .可可逆逆故故A1 A机动 目录 上页 下页 返回 结束 022 EAA又又由由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且).3(41AE .211EAA 12 EA , 13412 EAEA机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;5104023211120111112 X .1125103241230111111120111113 X ;412341511 X解解矩矩阵阵方方程程例例5

11、 5机动 目录 上页 下页 返回 结束 412341514151415111X得得 41231154.642817 解解 412341511X给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵,41511 412341511XE机动 目录 上页 下页 返回 结束 5104023211120111112 X1112011111510402321 X给方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵,1120111111 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 1125103241230111111120111113X.9144682592 给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵,1230111111 机动 目录 上页 下页

12、返回 结束 251121131112510324251121131.471202121529307513 11123011111112510324123011111 X得得给方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵,1230111111 机动 目录 上页 下页 返回 结束 714121,61ABAABAA且且oo.B求求ABABAA61 ABAEA61 EBEA61 .611 EAB解解:,满满足足关关系系设设三三阶阶矩矩阵阵BA例例6 6机动 目录 上页 下页 返回 结束 11000100017000400026 16000300016 16000300016 610003100016.10002

13、0006 116 EAB机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 0! 5 A因因由由伴伴随随矩矩阵阵法法得得解解.1存在存在故故 A.50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例7 7机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1AA*A1 432100000532100000542100000543100000543251!.51000004100000310000021000001 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、小结逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质. 0 A逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法 ;21AA*A1 利用公式利用公式逆矩阵逆矩阵 存在存在1 A ;1 待定系数法待定系数法 .3