现代数字信号处理数字信号处理

1、现代数字信号处理实验报告 题 目：基于LMS和RLS的自适应滤波器应用仿真基于LMS和RLS的自适应滤波器应用仿真一、自适应滤波器自适应滤波器是指利用前一时刻的结果，自动调节当前时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知或随机变化的特性，得到有效的输出，主要由参数可调的数字滤波器和自适应算法两部分组成，如图1.1所示图1.1 自适应滤波器原理图x(n)称为输入信号，y(n)称为输出信号，d(n)称为期望信号或者训练信号，e(n)为误差僖号，其中，e(n)=d(n)-y(n)，自适应滤波器的系数(权值)根据误差信号e(n)，通过一定的自适应算法不断的进行更新，以达到使滤波器实际输出y(n)与期望响应

2、d(n)之间的均方误差最小。1.1 自适应滤波器原理图中参数可调的数字滤波器和自适应算法组成自适应滤波器。自适应滤波算法是滤波器系数权值更新的控制算法，根据输入信号与期望信号以及它们之间的误差信号，自适应滤波算法依据算法准则对滤波器的系数权值进行更新，使其能够使滤波器的输出趋向于期望信号。记数字滤波器脉冲响应为：h(k)=h0(k) h1(k) hn-1(k)T输入采样信号为：x(k)=x(k) x(k-1) x(k-n-1)误差信号为：优化过程就是最小化性能指标J(k),它是误差的平方和：求使J(k)最小的系数向量h(k),即使J(k)对h(k)的导数为零，也就是。把J(k)的表达式代入，得

3、：和 由此得出滤波器系数的最优向量： 这个表达式由输入信号自相关矩阵和输入信号与参考信号的相关矩阵组成，如下所示，维数都为（n,n）:系数最优向量也可以写成如下形式：自相关和互相关矩阵的递归表达式如下：把的递归表达式代入系数向量表达式，得：即考虑到可以记用前面得到的表达式求出，并代入上式：或 则滤波器系数的递归关系式可以记作其中e(k)表示先验误差。只因为它是由前一个采样时刻的系数算出的，在实际中，很多时候由于h(k)计算的复杂度而不能应用于实时控制。用,I代换，其中：为自适应梯度，I为辨识矩阵（n，n）这时这时就是一个最小均方准则问题。二、自适应算法自适应算法中使用最广的是下降算法，下降算法

4、的实现方式有两种：自适应梯度算法和自适应高斯-牛顿算法。自适应高斯-牛顿算法包括RLS算法及其改进型，自适应梯度算法的典型例子即是LMS算法1。 2.1 LMS算法最陡下降算法不需要知道误差特性曲面的先验知识，其算法就能收敛到最佳维纳解，且与起始条件无关。但是最陡下降算法的主要限制是它需要准确测得每次迭代的梯度矢量，这妨碍了它的应用。为了减少计算复杂度和缩短自适应收敛时间许多学者对这方面的新算法进行了研究。1960年，美国斯坦福大学的Windrow等提出了最小均方（LMS）算法，这是一种用瞬时值估计梯度矢量的方法，即可见，这种瞬时估计法是无偏的，因为它的期望值E确实等于矢量。所以，按照自适应滤

5、波器滤波系数矢量的变化与梯度矢量估计的方向之间的关系，可以先写出LMS算法的公式如下：将式e(n)=d(n)-y(n)和e(n)=d(n)-wHx(n)代入到上式中，可得到图2.1 自适应LMS算法信号流图由上式可以得到自适应LMS算法的信号流图，这是一个具有反馈形式的模型，如图2.1所示。如同最陡下降法，我们利用时间n=0的滤波系数矢量为任意的起始值w(0),然后开始LMS算法的计算，其步骤如下。(1) 由现在时刻n的滤波器滤波系数矢量估值，输入信号矢量x(n)以及期望信号d(n)，计算误差信号：(2) 利用递归法计算滤波器系数矢量的更新估值：将时间指数n增加1，回到步骤(1)，重复上述计算

6、步骤，一直到达稳态为止。由此可见，自适应LMS算法简单，它既不要计算输入信号的相关函数，又不要求矩阵之逆，因而得到了广泛的应用。但是，由于LMS算法采用梯度矢量的瞬时估计，它有大的方差，以致不能获得最优滤波性能2。2.2 RLS算法递推最小二乘(RLS)算法是一种在自适应迭代的每一步都要求最优的迭代算法，滤波器输出信号法，滤波器输出信号等于输入信号与冲激响应序列的卷积和，即 (2-1)误差信号。由此可以得到自适应横向滤波器按最小均方准则设计的代价函数 (2-2)式中与分别为自适应滤波器的期望相应于输出信号。为误差信号。其目的在于确保滤波器能够忘记“过去的”数据以确保算法适用于非平稳的环境，n为

7、可变的数据长度。将式（2-1）带入式(2-2)并展开，得到 (2-3)式中M=N。为了简短地表示滤波器地代价函数，将上示中有关项定义为以下参数：(1) 确定性相关函数表示输入信号在抽头k与抽头m之间两信号的相关性，即：(2) 确定性相互关系函数表示期望响应与在抽头k输入信号之间的互相关姓，即：(3) 期望响应序列的能量为：将上述定义的三个参数代入式(2-3)中，得到为了估算滤波器的最佳滤波器系数,把上示对滤波器系数(权系数)微分一次，并令其导数等于零:得到 这是最小二乘法自适应滤波的正则方程，其所用输入信号确定性自相关函数，期望响应序列与输入信号之间的确定性互相关函数都是在有限观察范围内的时间

8、平均值，而不是总体平均(数学期望)值。 (2-4)式中为Ml维最小均方估计的滤波器系数，为延迟线抽头输入信号的确定性相关函数MM维矩阵，为冲激响应序列与输入信号之间确定性互相关函数Ml维矢量。假定矩阵是非奇异的，其逆矩阵存在，则由(2-4)求得最小平方自适应滤波的权矢量为式中，是确定性相关矩阵之逆。确定性相关函数表达式可以重新写成这是一个更新确定性相关函数的递推方程。相关函数更新公式可以写成矩阵形式: 式中，矩阵代表相关函数的更新校正项。为了计算方便。令则这里矢量称之为增益矢量。如果将上式两边右乘以延迟线抽头输入信号矢量。得到简化为：可得到时间递归形式：表示确定性互相关函数递归计算方程式中的更

9、新校正项。由上式可以得到确定性互相关矢量递归计算公式:将代入上式得到：得到滤波系数矢量的递归计算公式为：式中，是真正的估计误差，RLS算法的主要优点是收敛速度快，且对自相关矩阵特征值的分散性不敏感，其缺点是计算量比较大。三、仿真模型图3.1 自适应滤波仿真模型滤波器输入为N个单频信号之和，其中。根据滤波器的设计要求可以得到理想的目标信号，其中为增益， 为相移。同时让x(t) 输入到自适应FIR 滤波器。通过使期望信号d(t)与自适应滤波器的输出y(t)之间的误差平方最小化来调节权系数，以完成实际滤波器的设计。设计伪滤波器为线性相位低通滤波器，在的增益为1，在的增益为-50dB，线性相位表示，其

10、中为常数。四、实现代码及仿真结果4.1 基于LMS算法自适应滤波器仿真1、基于LMS算法自适应滤波器的Matlab实现程序程清单如下： N=500;M=20;n=1;a1=-0.8;h=zeros(M,n+1,3);e=zeros(M,n,3);for d=1:3 if d=1 delta=0.01; else delta=0.05*(d-1); end; for k=1:M b=0.2*randn(1,N); y(1)=1; for i=2:N y(i)=-a1*y(i-1)+b(i); end for i=n+1:N e(k,i,d)=y(i)-h(k,i,d)*y(i-1); h(k,i

11、+1,d)=h(k,i,d)+delta*y(i-1)*e(k,i,d); end endendfor d=1:3 for i=1:N em(i,d)=0; hm(i,d)=0; for j=1:M em(i,d)=em(i,d)+e(j,i,d)2; hm(i,d)=hm(i,d)+h(j,i,d); end endend figure(1) semilogy(1:150,em(1:150,1),hold on semilogy(1:150,em(1:150,2),r),hold on semilogy(1:150,em(1:150,3),g),hold off axis(0 150 0.0

12、1 1),grid title(Mean square error ) xlabel(Samples) gtext(leftarrowd=0.01); gtext(leftarrowd=0.05); gtext(leftarrowd=0.1); figure(2),plot(1:N,hm(1:N,1),hold on plot(1:N,hm(1:N,2),r),hold on plot(1:N,hm(1:N,3),g),hold off,grid title(Filter coeffcient evalution) xlabel(Samples), gtext(d=0.01), gtext(d

13、=0.05), gtext(d=0.1)2、仿真结果如图4.1所示：图4.1 平均方差误差根据图4.2所示，可知系数以时间常数的指数曲线收敛，越大，时间常数越小： 图4.2 滤波器系数曲线4.2 RLS算法自适应滤波器仿真1、基于RLS算法自适应滤波器的Matlab实现程序见清单如下：N=1000;n=200;k=12;Ts=1e-1b=0.8*randn(1,N);for i=1:N xr(1,i)=sin(k*2*pi*i/N); x(1,i)=xr(1,i)+b(i);end Cxx=10000*eye(n);g=zeros(N,n);h=zeros(N,n);e=zeros(1,N);

14、y=zeros(1,N);tr=zeros(1,N); for i=n+1:N g(i,:)=(Cxx*x(i-n+1:i)./(1+x(i-n+1:i)*Cxx*x(i-n+1:i); e(1,i)=xr(i)-h(i-1,:)*x(i-n+1:i); h(i,:)=h(i-1,:)+e(1,i)*g(i,:); Cxx=Cxx-g(i,:)*x(i-n+1:i)*Cxx; y(1,i)=h(i,:)*x(i-n+1:i); tr(1,i)=trace(Cxx);end figure(1)plot(0:N-n,x(1,n:N),gridtitle(x(k) input singnal in

15、V)xlabel(Samples) figure(2)plot(0:N-n,xr(1,n:N),r),gridaxis(0 800 -1.2 1.2)title(xr(k) reference singnal in V)xlabel(Samples) figure(3)plot(0:N-n,e(1,n:N),hold onplot(0:N-n,y(1,n:N),r),hold on gridtitle(e(k) error and y(k) output in V)xlabel(Samples)gtext(e(k),gtext(y(k) figure(4)plot(0:N-n,h(n:N,1)

16、,hold onplot(0:N-n,h(n:N,2),r),hold offgridtitle(a(n-1) and a(n-2) coeffcients evolution)xlabel(Samples) figure(5)num1=fliplr(h(N,:);sys1=tf(num1,1,Ts);bode(sys1),hold offtitle(Synthesized filter)xlabel(Frequency in rad/s)ylabel(Phase in degree;Module in dB) figure(6)semilogy(0:N-n,tr(n:N),gridtitle

17、(Cxx matrix trace)xlabel(Samples)2、仿真结果如图所示下：图4.3 输入信号x(k)图4.4 参考信号xr(k)图4.5 误差e(k)和输出信号y(k) 图4.6 滤波器系数a(n-1)和a(n-1)变化曲线系数的变化曲线在200步时有一个超调，这是由于h(k)向量为零，所以200步以后仅代表x值。获得的滤波器的传递函数也类似于LMS滤波器的传递函数，相应的预测也类似。它的中心频率调整为正弦信号频率，即75rad/s，如下图所示图4.7 合成滤波器传递函数的幅频特性和相频特性图4.8 Cxx矩阵曲线Cxx曲线在采样步数n=200时突变。200步以后曲线值变小，使

18、滤波器不能再根据输入信号的统计变换进行调整。五、总结由于LMS 算法只是用以前各时刻的抽头参量等作该时刻数据块估计时的平方误差均方最小的准则，而未用现时刻的抽头参量等来对以往各时刻的数据块作重新估计后的累计平方误差最小的准则，所以LMS 算法对非平稳信号的适应性差。而RLS算法的基本思想是力图使在每个时刻对所有已输入信号而言重估的平方误差的加权和最小，这使得RLS 算法对非平稳信号的适应性要好。与LMS 算法相比，RLS 算法采用时间平均，因此，所得出的最优滤波器依赖于用于计算平均值的样本数，而LMS算法是基于集平均而设计的，因此稳定环境下LMS算法在不同计算条件下的结果是一致的。在性能方面，

19、RLS 的收敛速率比LMS 要快得多，因此，RLS在收敛速率方面有很大优势。RLS 算法和LMS 算法在处理过程中的误差曲线的仿真结果中，指出了在迭代过程中的误差减少过程。由图可见，RLS 算法在迭代过程中产生的误差明显小于LMS 算法。由此可见，RLS 在提取信号时，收敛速度快，估计精度高而且稳定性好，可以明显抑制振动加速度收敛过程，故对非平稳信号的适应性强，而LMS 算法收敛速度慢，估计精度低而且权系数估计值因瞬时梯度估计围绕精确值波动较大，权噪声大，不稳定。自适应滤波是信号处理的重要基础，近年来发展速度很快，在各个领域取得了广泛的应用。在实际问题中，迫切需要研究有效、实用的自适应算法。本文在对自适应滤波的两种算法进行了比较。比较的内容主