泰勒中值定理课件

1、泰勒中值定理泰勒中值定理 一. 带皮亚诺余项的泰勒公式 二. 带拉格朗日余项的泰勒公式三.泰勒公式的几何应用泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理的产生：微 分带皮亚诺余项的泰勒公式拉格朗日中值定理泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式还有带其它余项的马克劳林公式 . 0 0时的泰勒公式就是x泰勒中值定理 带皮亚诺余项的泰勒公式的产生则内可微在设 , N )()(0 xxf)(o)()()(00 xxxfxfxf)(o)()()( 0000 xxxxxfxfxf即如果我们希望提高精度, 应怎么办?)()()( 000 xxxfxfxf令)(o)(20202xxxxa?2a泰勒中值定理由极限知识可知,

2、此时应有20202000)()()()()(lim00 xxxxaxxxfxfxfxx我们先假定以下运算均成立, 计算完后再看需要补充什么条件.运用罗必达法则, 得)(2)(2)()(lim000200 xxxxaxfxfxx200)(2)()(lim0axxxfxfxx , )( 0则存在如果xf 2)(02xfa 泰勒中值定理则存在且内有定义在当 , N ,)()()(00 xfxxf )()()(000 xxxfxfxf)(o)(2)(20200 xxxxxf 该公式称为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式. )(o 20称为二阶皮亚诺余项式中xx 运用罗必达法则计算极限. 仿照以上的做法, 继续

3、进行下去, 即可得到一般的带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式.泰勒中值定理 , N ) 1, 2, 1, 0()()(0nkxCxfk设 , )(0)(则在该邻域内有存在xfn)(o)(! )()(0000)(nknkkxxxxkxfxf)()(000 xxxfxf200)(! 2)(xxxf nnxxnxf)(! )(00)()o(0nxx . 公式阶带皮亚诺余项的泰勒该公式称为n 一. 带皮亚诺余项的泰勒公式泰勒中值定理 带拉格朗日余项的泰勒公式的产生, N , N )()()(00 xxxxf则内可微在设满足拉格朗日中值 )(xf定理条件)()()(00 xxfxfxf则记 , )()( 0

4、0 xxfxR)()()(00 xRxfxf称为零阶带拉格朗日余项的泰勒公式. 上或在,00 xxxx设带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为 )()()()(1000 xRxxxfxfxf, )()()(201xxxxR不妨设 .)(是待定函数其中x想一想, 如何求出这里的待定函数.泰勒中值定理,)()()()()( 20000 xxxxxfxfxfx由于),)()()()(000 xxxfxfxfxF , 令分子如果,)()(20 xxxG分母; 0)( , 0)( 00 xGxF则 , 0)()()(000 xfxfxF, 0)(2)(000 xxxG , )(, )(, )(, )( 满足柯西

5、中值定理条件假设xGxFxGxF泰勒中值定理)()()()()()()()()( 1100GFxGxGxFxFxGxFx则!2)()()()()()()(0101fGFxGGxFF 20000)(! 2)()()()( xxfxxxfxfxf 故) , (0之间在xx. )(! 2)()(201为一阶拉格朗日余项xxfxR )()()()(000 xxxfxfxfxF20)()(xxxG 仿照以上的做法, 继续进行下去, 可得到一般的带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式.泰勒中值定理 , N ), 2, 1, 0()()(0nkxCxfk设, )()1(存在xfn则在该邻域内有)()(! )()(

6、000)(xRxxkxfxfnknkk )(! ) 1()()( 10)1(nnnxxnfxR其中) , (0之间在xx . 阶拉格朗日余项称为 n 二. 带拉格朗日余项的泰勒公式 . 勒公式阶带拉格朗日余项的泰该公式称为n1000)1()() 1()()(nnnxxnxxxfxR! 或者) 10(泰勒中值定理. )( 阶泰勒公式的带皮亚诺余项的求nexfxxnexfxfxf)( )( )( )(1)0()0()0( ）（nfff)(o! ! 3! 21 32nnxxnxxxxe故 , 1 , 得时当特别地x) 1 (o! 1! 31! 2111ne e 的近似计算公式 ! 1)( 1 nxx

7、ne估计误差解例1泰勒中值定理. sin)( 阶马克劳林公式的求nxxf)( )(2sin)( )(Nnnxxfn)( 12 ,) 1(2 , 0 )0( 1)(Nmmnmnfmnxffxf )0()0()(2 ! 2)0(xf nnxnf ! )0()(1)1( ! 1)() (nnxnxf) 10(解例2泰勒公式泰勒中值定理, ) 12 ( 2时或mnmnxx sin! 33x! 55x! 77x! ) 12() 1(121mxmm)(2xRm122 ! ) 12(2) 12( sin )(mmxmmxxR）（其中,) 10(处在由于 0 sin 0 xx的偶数阶导数为零, 故一般将展至偶

8、数项, 以提高精度.xsin! ) 12() 1(121mxmm泰勒中值定理. cos)( 阶马克劳林公式的求nxxf)( )(2cos)( )(Nnnxxfn)( 2 ,) 1(12 , 0 )0( )(Nmmnmnfmn解例31cosx! 22x! 44x! 66x! )2() 1(2mxmm)(12xRm2212 ! )22(2)22( cos )(mmxmmxxR）（其中,) 10 (泰勒中值定理实际应用中, 计算xxcos , sin的近似值时,均展开到 2m 阶马克劳林公式, 即有!) 12() 1(!5!3sin12153mxxxxxmm!)2() 1(!4!21cos242mx

9、xxxmm)(Nm它们的误差估计式均为!) 12(| )(|122mxxRmm泰勒中值定理. )1ln()( 阶马克劳林公式的求nxxf)( )(1! ) 1() 1()( 1)(Nnxnxfnnn0)0( , ! ) 1() 1()0( 1)(fnfnn)() 1(32)1ln( 132xRnxxxxxnnn故1)(0 , )1 (11) 1()( , 11nnnnxnxxR式中) 1(x请自己算一下解例4泰勒中值定理例5解. 3 ln)( 0阶泰勒公式余项的处展开为带拉格朗日在点将nxxxf ) 331 ln(3ln)3(3lnln)(xxxxf ,33 则由记xu) 1( )() 1()

10、1ln(11xxRkxunnkkknknkkuRkuuxf11 )() 1(3ln)1ln(3ln)( 得 ) 1()3() 1()3( 31) 1(3ln1111nnnknkkknxxk ) 3 (之间和介于其中x 4 参看例泰勒中值定理近似上用一个三次多项式来在 41 , 0 . , 1)(3并估计误差xxxf的二阶马克劳林公式为 113xy310332231)1 (3 ! 3741 3 ! 24131)1 (xxxx) , 0(x 为什么只要二阶？)(2xRyxxf)(解例641 , 0 , 9231 323xxxxxx故误差为3104)41(37433 ! | )(|2xRx )1 (

11、3 ! 3741 31033xx泰勒中值定理例7 . ) 1( 的幂的多项式为x表示将多项式 2531)( 32xxxxp解 , 1 0则令x,22) 1( ,13) 1( , 5) 1( ppp ),4( 0) 1( ,12) 1()( kppk得由泰勒公式 ,32) 1(! 312) 1(! 222) 1(135)(xxxxp .) 1(2) 1(11) 1(13532xxx三次多项式泰勒中值定理. ) ,( , 621 32xxxxex证明：, 0 时x该式中等号成立., 0 时x由泰勒 (马克劳林) 公式)(! 3! 21332xRxxxex0 ! 4)(43exxR) 0 (之间与在

12、x. 621 ,32xxxex此时综上所述, 即得所证.例7证证泰勒中值定理例8证证 . | )()(|)(4 | )(| ),(: , 0)()( , ),( ),()( 2afbfabfbabfafbabaCxf 使得证明且满足内可导在设 ,2 0由泰勒公式记bax ,)(! 2)()()()(201000 xafxaxfxfaf ,)(! 2)()()()(202000 xbfxbxfxfbf . ),( );,( ,0201bxxa其中 4)()()( ,22020得由两式相减abxbxa泰勒中值定理 ,)()(81)()(221abffafbf ).()()()()(8 212ffa

13、fbfab 即 | )(| | )(| | )()(| 2121ffff 由, | )(| , | )(| max2 21ff , | )(| , | )(| max| )(| 21则有记fff ).,( )()()(4 | )(|2baafbfabf 泰勒中值定理例9证证 ,2 0由泰勒公式记bax ,)(! 2)()()()(201000 xafxaxfxfaf ,)(! 2)()()()(202000 xbfxbxfxfbf 两式相加得 ,2)()(4)(22)()(212 ffabbafafbf , ),( ),()( 内二阶可导在设babaCxf ),( 使得证明至少存在一点ba).

14、(4)(22)()( 2fabbafafbf 泰勒中值定理 ),()( 21则由达布中值定理得若ff ),(4)(22)()(2fabbafafbf ).,(),( );,( );,( ,210201babxxa其中 . ),()( 2121即得所证或则取若 ff泰勒中值定理三.泰勒公式的几何应用 ,)()(00内的性状的某邻域在点函数xNxxxf , )( 0可以借附近的性状在点或者说曲线xxxfy .地加以刻划助于泰勒中值定理详细 , N ),2, 1,0()()(0nkxCxfk设, )()1(存在xfn则在该邻域内有)()(! )()(000)(xRxxkxfxfnknkk )(! )

15、1()()( 10)1(nnnxxnfxR其中) , (0之间在xx泰勒中值定理曲线接触的概念曲线接触的概念 . )( , )( )( , 00或相互接触处具有一阶接触则称它们在点处相交且有公共切线在点与如果两条光滑曲线几何上看xxxxxgyxfy ).()( ),()( : )( )( , 00000 xgxfxgxfxxxgxf满足处在点与此时函数从分析上看 . )( )( , )()( ),()( )( )( , 000000处具有一阶接触在点线与曲则称曲线处满足在点与如果函数就是说xxxgyxfyxgxfxgxfxxxgxf泰勒中值定理 , ,)( )( 2得则由泰勒公式、如果函数Cx

16、gxf21000! 2)()()()(xfxxfxfxxf 22000! 2)()()()(xgxxgxgxxg , 得两式相减21100 )()( ! 21)()(xgfxxgxxf . ,0011之间与位于与其中xxx 0)( )O()()( ,)()( , )( )( , 20020 xxxxgxxfCxgxfxxxgyxfy则、且处具有一阶接触在点与如果曲线就是说泰勒中值定理 . )( )( ),()( , )()( ),()( )( )( 00000000处具有二阶接触在点与曲线则称曲线处满足在点与如果函数xxxgyxfyxgxfxgxfxgxfxxxgxf 0)( )O()()(

17、)()( ! 31)()( ,)()( , )( )( 3003210030 xxxxgxxfxgfxxgxxfCxgxfxxxgyxfy即有则、且处具有二阶接触在点与如果曲线泰勒中值定理一般地, . )( )( ), 2 , 1( )()( ),()( )( )( 00)(0)(000阶接触处具有在点与曲线则称曲线处满足在点与如果函数nxxxgyxfynkxgxfxgxfxxxgxfkk 0)( )O()()( )()(! ) 1(1 )()( ,)()( , )( )( 10012)1(1)1(0010 xxxxgxxfxgfnxxgxxfCxgxfnxxxgyxfynnnnn即有则、且阶

18、接触处具有在点与如果曲线泰勒中值定理 ,)()( , )( )( 10则有、且阶接触处具有在点与如果曲线nCxgxfnxxxgyxfy ),()()()(10010 xRxxaxxaaxfnn ),()()()(20010 xRxxaxxaaxgnn . ,)()( 0010次“抛物线”称之为令nxxaxxaaynn泰勒中值定理 , ) 1, 2 , 1 , 0( )(U()( 0nkxCxfk设)()(! )()( )( 000)(xRxxkxfxfxfnknkk的泰勒公式为则函数 )(! ) 1()()( 10)1(nnnxxnfxR其中) , (0之间在xx ”.“密切抛物线次的为曲线称此时 )( )(! )( ,000)(nxfyxxkxfynkkk泰勒中值定理Oxy! 212xxyxy1! 3! 2132xxxyxey 12! ) 1(! ! 21nnxxnenxxxe 3 次密切抛物线的曲线xey 00 x泰勒中值定理偶阶接触、奇阶接触偶阶接触、奇阶接触)o( )()(! ) 1(1 )()(! ) 1(1 )()(