平行四边形培优讲义新打印版

1、平行四边形培优讲义新打印版01 / 22平边四边形知识点.知识框架.知识概念平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点 连成的线段叫做它的对角线。平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对

2、角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形, 有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 （根据定义）。对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形。S菱形=1/2X ab （a b为两条对角线）或底x高正方形的定

3、义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形;邻边相等的矩形是正方形；平行四边形培优讲义新打印版对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形； 梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。梯形常用辅助线：17 / 22平行四边形的判定及性质巩固练习题1、

4、如图，已知在四边形 ABCD中, AD=BCZ D=Z DCE求证：四边形 ABCD是平行四边形.2、3、有一个四边形的四边长分别是a, b, c, d,且有a2+b2+c2+d2=2 （ac+bd）.求证：此四边形是平行四边形.4、 ABCD中 ,AC、BD交于点 O, AE=CF 求证：BE=DF5、（变式练习 2） ABCD中 ,AC、BD交于点O, AE=CF BM=DN求证：四边形MFNE!平行四边形如图，在 口ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且 AE / CF , AE与CF相等吗？说明理由6、（变式练习3）如图，平行四边形 ABCD中, E、F是AC上两点，且 AE=C

5、F又点M N分别在AB CD上 , 且MF/ EN MN交AC于O。求证：EF与MN互相平分。7、（变式练习4）如图所示，口ABCD的对角线 AC、BD交于O, EF过点0交AD于E，交BC于F , G是 0A的中点，H是0C的中点，四边形 EGFH是平行四边形，说明理由8 （变式练习）口 ABCD中, DE平分/ ADC交BC的延长线于 E, BF平分/ ABC交AB的延长线于F,求证：四边形 DEBF是平行四边形9、（变式练习1）如图所示，平行四边形 ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM ,且AN、BM交于点P, CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边

6、形吗？为什么?10、（变式练习2）如图，E、F分别为口 ABCD的边AD BC的中点。求证：（1） BE=DF（2） O为GH的中点。11、 ABCD中, E在 AB上, F 在 CD上，且 AE=CF,M为 DE中点，N为 FB 中点，求证：FM=NE ME=NFC12、已知如图：在 _ABCD中，延长 AB到E,延长CD到F,使BE=DF , 则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.13、如图所示，已知点D是厶ABC的边AB上的中点，点 E是AC上的一点，DF/ BE,EF/ AB,证明：AE、DF互相平分A二/- F上EBLC14、如图,结AE,已知人。是厶ABC的边BC上的中线，求证：

7、DE=AC15、如图，在 口ABCD中，/ DAB=60 求证：四边形 AFCE是平行四边形.，点E、F分别在 CD AB的延长线上，且 AE=AD CF=CB16、如图所示，某城市部分街道示意图，AF / BC , EC丄BC, BA / DE , BD / AE , EF=FC，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是 BtAtEtF,乙乘2路，路线是 B宀D宀C宀F,假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由17、在平行四边形 ABCD中，BN = DM , BE = DF，求证：四边形 MENF是平行四边形BE C18、如图，在一 ABCD 中，AB=2

8、AD，延长 AD至U F,使DF=AD,再延长 DA至U E,使AE=AD,求证:BF丄CE.BFABD，等边三角形 BCE ,19、如图19- 1 30,分别以 ABC的三边为边长，在 BC的同侧作等边三角形 等边三角形ACF，连接DE , EF。求证：四边形 ADEF是平行四边形。20、如图3，在 ABC中，D是BC边的中点，F , E分别是AD及其延长线上的点， CF / BE ,连结BF, CE，试判断四边形 BECF是何种特殊四边形，并说明理由。21、如图2,平行四边形 ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且 AE = CF, BG = DH，试说明:EF与GH相互平分.囲

9、2矩形拓展题1、如图，四边形 ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A . AB = CDB. AD = BCC. AB= BCD . AC= BDD2、如图，矩形 ABCD AB=12cm AD=16cm现将其按下列步骤折叠： （1）将厶BAD对折，使AB落在AD上, 得到折痕AF,如图（2）将厶AFB沿BF折叠，AF与DC交点G,如图则所得梯形 BDGF勺周长等于（）D.12+4A.12+2 . 2B.24+2,2C.24+43、如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形 （不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3,则

10、另一边长是（）A . 2m+3B . 2m+6C. m+3D. m+6CB4、如图，矩形 ABCD 中，AB AD , AB=a, AN 平分/ DAB , DM 丄 AN 于点M , CN丄AN于点N .贝U DM+CN的值为（用含a的代数式表示）（）4 J 23A. a Ba C. a D. a5 225、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点,BEG 60 ,现沿直线EG6、矩形纸片 ABCD 中,AB= 3, AD = 4,将纸片折叠，使点B落在边CD上的B处，折痕为 AE .在折痕将纸片折叠，使点 B落在纸片上的点 H处，连接AH，则与 BEG相等的角的个数

11、为D.1AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为 7小明尝试着将矩形纸片 ABCD （如图，ADCD）沿过A点的直线折叠，使得 B点落在AD边上的点F 处，折痕为AE （如图）；再沿过D点的直线折叠，使得 C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上 的点M处，折痕为DG （如图）.如果第二次折叠后， M点正好在/ NDG的平分线上，那么矩形 ABCD长与宽的比值为M8如右上图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D重合，若BC=8 , CD=6，则CF= 0) 过点D作DF丄BC于点F，连接DE、EF.(1) 求证：AE=DF ;(2) 四边形AEFD能够

12、成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由(3) 当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由平行四边形培优讲义新打印版正方形练习题1、 正方形ABCD的边长为1，它的两条对角线相交于点 0,则厶ABO的周长为，面积为2、 如图，E是正方形 ABCD 边BC延长线上一点， EC=AC，AE交CD于F,则/ AFC=2题图3题图6题图19 / 22D3、如图，在正方形ABCD 中，AB=8 , AE=2, EF= 2亦点 E 在 AB 上，点 F 在 AD 上，贝U CF=4、在正方形ABCD中，E是BC上一点，AE把正方形分成两部分，且 S abe : S梯形aecd 1： 5

13、, AB=6,则AE=15、 若正方形面积缩小为原来的-，则它的边长是原来边长的 36、 如图，ABCD是正方形，M是BC中点，将正方形折起，使点 A与点M重合，设折痕为 EF,若正方形 面积为64,那么 AEM的面积是7、 如图，以正方形 ABCD的对角线 BD为边作正三角形 BDE,过E作EF丄AD,交DA的延长线于 F,则/AEF=;若正三角形 BDE的周长是12 J2，正方形面积为 DCBF7题图8、如图，在正方形 ABCD中,8题图10题图P是AD上任一点，PE丄AC,PF丄BD,点E、F分别是垂足,BD+AC=14 则PE+PF=9、正方形 ABCD边长为8, M在DC上，且DM=

14、2,N是AC上的一动点，贝U DN+MN勺最小值为 10、如图，已知边长为 1的正方形ABCD E为AD中点，P为CE的中点，贝U S BPD = 11、在厶ABC 中，AB=AC , D 是 BC 中点，DE丄AB,DF丄AC,垂足 分别为 E,F,只添加一个条件,使四边形AEDF为正方形（写出一个条件即可）12、如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60 ，至正方形 ABCD,则旋转后两个正方形重叠部分的面积是 CB平行四边形培优讲义新打印版13、如图，在正方形 ABCD中，M为BC上任一点，N是CD的中点，且 AM=DC+CM 求证：AN平分/ DAM21 / 2214、

15、已知正方形 ABCD中, M是AB的中点，E是AB延长线上一点， MNL DM且交/ CBE的平分线于 N.求证: MD=MN.若M是AB上任意一点，MD=MNE成立吗？若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。15、如图，在正方形 ABCD中，E是BC边上一点，过点G.求证：BE=BG+CFE作AE的垂线分别交 CD、AB的延长线于点F、F16、如图，在正方形 ABCD中， PAQ是正三角形，设 AB=10,求PB的长17、如图，在正方形 ABCD中，F是对角线 AC上任一点，BF丄EF,求证：BF=EFF移到什么位置时,18、如图，正方形 ABCD边长为1 , E是CD的中点，点F在BC边上

16、移动试判断当点AE是/ DAF的平分线？19、如图，在正方形 ABCD中, E是DB延长线上的一点，且/ ECB=15 .求证：EC=BD平行四边形培优讲义新打印版四边形综合培优题1、以厶ABC的边AB、AC、BC为边作等边 ABD、等边 ACE和等边 BCF。(1) 求证四边形 ADFE是平行四边形.(2) 当厶ABC满足什么条件时，四边形 ADFE是矩形；(3) 当厶ABC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；(4) 当厶ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.2、如图：正方形ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O, E是AC上的一点，连接EB,过点A作AM丄BE , 垂

17、足M , AM交BD于点F. 求证OE=OF 如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM丄EB的延长线于点 M，交DB的延长线于点F,其他条件 都不变，则结论 OE=O”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.C,AB/CD,M,N 分别是 AB,CD3、如图，在梯形 ABCD中，/ A+ / B=901的中点，求证：MN= (AB CD).4、已知：如图，在厶ABC 中, AB=AC, AD丄BC,垂足为点 D , AN是厶ABC外角/ CAM的平分线，CE丄AN ,16 / 22垂足为点E,(1) 求证：四边形 ADCE为矩形；(2) 当 ABC满足什么条件时，四边形 ADC

18、E是一个正方形？并给出证明.5、在口ABCDK/ BAD的平分线交直线 BC于点E,交直线DC于点F.(1) 在图1中证明CE= CF；(2) 若/ ABC= 90 , G是EF的中点(如图2),求/ BDG勺度数F图2图3(3) 若/ ABC= 120, FG/ CE F*CE 分别连结 DB DG(如图 3),求/ BDG勺度数.6、已知正方形 ABCD点P是对角线AC所在直线上的动点，点 E在DC边所在直线上，且始终保持 PE= PD17 / 22平行四边形培优讲义新打印版（1）如图1,当点P在对角线AC上时，观察、猜想 PE与PB有怎样的关？并证明你的结论。（2）如图2,当点P运动到C

19、A的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果 不成立，请说明理由；（3）如图3,当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系？并证明你的结论。7、如图，梯形 ABCDK AD/ BC / DCB= 45, CD= 2, BD丄 CD 过点 C作 CEL AB于 E,交对角线 BD于 F,点G为BC中点，连结 EG AF.（1 ）求EG的长；（2）求证：CF= AB+ AF.（用两种方法证明）27 / 228以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、平行四边形培

20、优讲义新打印版G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH .(1) 如图1,当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为 矩形时，请判断：四边形 EFGH的形状并说明理由；(2) 如图3,当四边形 ABCD为一般平行四边形时，设/ ADC= (0 V 90, 试用含 的代数式表示/ HAE : 求证：HE=HG : 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由.# / 229、如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, E、F分别是 AB、DC边的中点，AB=4，/ B=60 (1)求点E到BC边的距离；(2)点P为线段EF上的一个动点，过 P作PM丄BC,

21、垂足为M，过点M作MN / AB交线段AD于点N , 连接PN、探究：当点 P在线段EF上运动时， PMN的形状是否发生变化？若不变，请求出厶 PMN的面 积和周长；若变化，请说明理由.10、将一副三角尺如图拼接：含30角的三角尺( ABC的长直角边与含 45角的三角尺( ACD的平行四边形培优讲义新打印版斜边恰好重合已知 AB= 2 .,3 , P是AC上的一个动点.（1）当点P运动到/ ABC的平分线上时，连接 DP求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现 PD= BC时，求此时/ PDA勺度数；Q恰好在边BC上？求出此时口（3） 当点P运动到什么位置时，以 D, P, B, Q为顶点的平行四边形的顶点 DPBQ勺面积.（备用图）31 / 22（备用图）（第 11题图1）（第 11题图2）12已知：正方形 ABCD中,MAN 45, MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB, DC （或11、如图1，在 ABC中, AB= BC= 5, AC=6. ABC沿 BC方向平移得到的，连接 AE AC和BE相交于点Q（1）判断四边形 ABCE1怎样的四边形，说明理由；（2）如图2, P是线段BC上一动点（图2）,（不与点B、