椭圆的几何性质课件

1、椭圆的几何性质椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质（4 4）椭圆的几何性质椭圆的标准方程椭圆的标准方程定义定义图形图形方程方程焦点焦点a、b、c之之间的关间的关系系 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2 PyxOyxO PF1F2|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|)( c,0)、(c,0)(0, c)、(0,c) a2=b2+c2 (a最大最大)分母分母哪个哪个大，焦点大，焦点就在哪一根就在哪一根坐标轴上坐标轴上 椭圆的几何性质巩固练习巩固练习22112516M_.xyPOOP、已知 在椭圆上运动， 为坐标原点，则的中点的轨迹方程为1425422yx

2、222、如图，点A在圆B:(x-2) +y =36上运动,点C(-2,0),D为线段AC的中点,过点D作线段AC的垂线交线段AB于点E,求点E的轨迹.xOBEA(2,0)yC(-2,0)D15922yx222、如图，点A在圆B:(x-2) +y =36上运动,点C(-2,0),D为线段AC的中点,过点D作线段AC的垂线交线段AB于点E,求点E的轨迹.椭圆的几何性质n n) )mm0 0, ,n n0 0, ,1 1( (mmn ny ymmx x2 22 2（1 1）（2 2）椭圆的一般方程:n n) )mm0 0, ,n n0 0, ,1 1( (mmn ny ymmx x2 22 2椭圆的

3、几何性质F2yx0PF1设设P P是椭圆是椭圆 (ab0)(ab0)上任一点上任一点F F1 1,F,F2 2为椭圆的焦点为椭圆的焦点, ,求求PFPF1 1F F2 2的周长的周长. .1 1b by ya ax x2 22 22 22 2焦点三角形的周长焦点三角形的周长=2a+2c焦点三角形的周长焦点三角形的周长椭圆的几何性质例例. .设设P P是椭圆是椭圆 上任一点上任一点.F.F1 1, ,F F2 2为椭圆的焦点为椭圆的焦点,F,F1 1PFPF2 2=,=,求求PFPF1 1F F2 2的面积的面积. .1 1b by ya ax x2 22 22 22 2焦点三角形的面积焦点三角

4、形的面积F2yx0PF1. .2 2t ta an nb bS S2 2F FP PF F2 21 1|PF1|+|PF2|=2a|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos=4c2|PF1|PF2|=c co os s1 12 2b b2 2分析分析:椭圆的几何性质变式：变式：设设F F1 1、F F2 2为椭圆为椭圆 的两焦点，的两焦点，P P为这椭圆上一点，求为这椭圆上一点，求16410022yx的最大值.的最大值.| |PF|PF| |PF|PF2 21 1|PF1|PF2|=c co os s1 11 12 28 8x xy yo oP P1F2F椭圆的几何性质 椭圆的椭圆

5、的第二定义第二定义: 平面内到一个定点平面内到一个定点(c,0)的距离的距离和它到一条定直线和它到一条定直线(x=a2/c)的距离的的距离的比是一个比是一个常数常数 e（0e1），那么这），那么这个点的轨迹叫做椭圆个点的轨迹叫做椭圆.MF1xdyF22 2e e1 1a ab ba ac ce e 椭圆的几何性质例例 已知椭圆已知椭圆 的焦点的焦点坐标是坐标是 是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，求证：求证： , , , , 其中其中e e是离心率是离心率. .1 1b by ya ax x2 22 22 22 2) 0(bac c, ,0 0) )( (F F1 1( (c c, ,0 0)

6、 )F F2 22 22 2b ba ac c) )y y, ,P P( (x x0 00 00 01 1exexa a| |PF|PF0 02 2e ex xa a| |P PF F|椭圆的几何性质例例 已知椭圆已知椭圆 ，F1、F2是它是它的两个焦点，若的两个焦点，若P是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点， 则则|PF1|2 + |PF2|2 的最小值是的最小值是 .最大值最大值是是 .1 1y y4 4x x2 22 2814椭圆的几何性质准线方程准线方程焦半径公式焦半径公式12222byaxcax2)0( ba01|exaPF02|exaPFxyOP(x0,y0)F1F2最大？最大？最小

7、？最小？c cacaca a2 2c cb b2 2椭圆的几何性质准线方程准线方程焦半径公式焦半径公式12222bxaycay2)0( ba01|eyaPF02|eyaPFxyOP(x0,y0)F1F2最大？最大？最小？最小？椭圆的几何性质_;_160200. 2_;_810. 1取取值值范范围围是是点点到到椭椭圆圆焦焦点点的的距距离离的的，则则椭椭圆圆上上的的，短短轴轴长长为为椭椭圆圆的的长长轴轴长长为为值值范范围围是是到到椭椭圆圆中中心心的的距距离离的的取取，则则椭椭圆圆上上的的点点，短短轴轴长长为为椭椭圆圆的的长长轴轴长长为为练练习习：_ _ _; ;离离心心率率为为_ _ _ _ _

8、_ _的的2 25 5| |8 84 4y y3 3x x| |2 2) )( (y y2 2) )( (x x4 4. .椭椭圆圆_ _ _ _ _。_ _离离心心率率为为_ _ _ _ _ _长长轴轴长长为为_ _ _ _ _ _ _4 4的的y y1 1) )( (x xy y1 1) )( (x x3 3. .椭椭圆圆2 22 22 22 22 22 254 ，16040，512 21 14椭圆的几何性质例例1.若椭圆若椭圆1522 myx的准线方程是的准线方程是225 x求实数求实数m的取值，并写出此椭圆的焦点坐标的取值，并写出此椭圆的焦点坐标与离心率的大小与离心率的大小分析：分析：

9、0mr00=0几何法：几何法：代数法：代数法：复习巩固复习巩固 d dd dd dd=rd0直线与椭圆相交直线与椭圆相交直线与椭圆相切直线与椭圆相切=0直线与椭圆相离直线与椭圆相离0相相 交交相相 切切相相 离离椭圆的几何性质1、直线与圆相交的弦长、直线与圆相交的弦长A（x1,y1） 直线与二次曲线相交弦长的求法直线与二次曲线相交弦长的求法dr2l2、直线与椭圆相交的弦长、直线与椭圆相交的弦长利用弦长公式利用弦长公式:21221241|xxxxkAB）（212212411yyyyk）（其中其中k 是弦的是弦的斜率斜率，(x1, y1) 、(x2, y2)是弦的是弦的端点坐标端点坐标.B（x2,

10、y2）新课讲解新课讲解 方法方法1：求出求出A、B坐标，利用两点间距离公式；坐标，利用两点间距离公式；方法方法2：A（x1,y1）B（x2,y2）设而不求设而不求y=kx+b椭圆的几何性质问题一：判断位置关系问题例1 已知直线L: y=mx+1, 椭圆 C：105222 yx（1）判断直线与椭圆的位置关系。（2）当m=1时，请求出当m=1时，请求出L被C截得的弦长。., 040200)52(20100, 0510)52(,10521:) 1 (2222222相交与得消由解CLmmmmxxmyyxmxyoyx),(11yxA),(22yxB2122122124)(11xxxxkxxkd7 730

11、304 4椭圆的几何性质问题二：问题二：中点弦问题中点弦问题例例2 已知椭圆已知椭圆 C： 。1 12 2y y4 4x x2 22 2(1)求过求过P ,且被且被P平分的弦所在直平分的弦所在直线方程；线方程；)1 , 1 (yxo)1 , 1 (Pyx0)1 , 1 (P),(11yxA),(22yxB椭圆的几何性质) )则则由由y y, ,B B( (x x) ), ,y y, ,点点分分别别为为A A( (x x设设弦弦的的两两端端1 1) ), ,k k( (x x1 1设设直直线线为为y y: :( (1 1) )解解1 12 22 21 11 1消y整理得,消y整理得,1 12 2

12、y y4 4x x1) 1)k(xk(x1 1y y2 22 20 04 4k)k)2(12(1k)xk)x4k(14k(1)x)x2k2k(1 (12 22 22 22 22 2k k1 1k k) )4 4k k( (1 11 1, ,2 2x xx x2 22 21 1, ,2 21 1k kyx0)1 , 1 (P),(11yxA),(22yxB验证验证k0 0时,时,2 21 1k k0即为所求.0即为所求.3 32y2y故x故x椭圆的几何性质)则)则y y, ,B(xB(x), ),y y, ,(x(x设弦的两端点分别为A设弦的两端点分别为A: :(1)解2(1)解22 22 21

13、 11 14 42 2y yx x4 42 2y yx x2 22 22 22 22 21 12 21 1-，整理得，整理得0 0) )y y) )( (y yy y( (y y) )x x) )( (x xx x( (x x2 21 12 21 12 21 12 21 122 2y yy y2,2,x xx x2 21 12 21 1k k2 21 1x xx xy yy y2 21 12 21 1. .0 03 32y2yx x即为所求点差法点差法椭圆的几何性质问题二：问题二：例例2 已知椭圆已知椭圆 C： 。(2)过过P(1,1)的直线的直线L与椭圆相交与椭圆相交,求求L被截得的弦的中点

14、轨迹方程。被截得的弦的中点轨迹方程。中点弦问题1 12 2y y4 4x x2 22 2yx0)1 , 1 (P),(11yxA),(22yxB椭圆的几何性质)2(则则, , ,y y) )弦弦中中点点为为MM( (x x, ,) ), ,y y, ,B B( (x x) ), ,y y, ,( (x x设设L L与与椭椭圆圆的的交交点点为为A A: :( (2 2) )解解2 22 21 11 1-，整理得整理得2 2y y, ,y yy y2 2x x, ,x xx x2 21 12 21 10 01 1x x1 1y y4 4y y2 2x x1 1x x1 1y yx xx xy yy

15、 y2 21 12 21 10 02y2yx x2y2yx x2 22 24 42 2y yx x4 42 2y yx x2 22 22 22 22 21 12 21 10 0) )y y) )( (y yy y( (y y) )x x) )( (x xx x( (x x2 21 12 21 12 21 12 21 12椭圆的几何性质问题二：问题二：例例2 已知椭圆已知椭圆 C： 。(3)斜率为斜率为2的直线的直线L与椭圆相交与椭圆相交,求求L被截得的弦的中点轨迹方程。被截得的弦的中点轨迹方程。中点弦问题1 12 2y y4 4x x2 22 2yx0),(11yxA),(22yxB椭圆的几何

16、性质则则, , ,y y) )弦弦中中点点为为MM( (x x, ,) ), ,y y, ,B B( (x x) ), ,y y, ,( (x x设设L L与与椭椭圆圆的的交交点点为为A A: :( (3 3) )解解2 22 21 11 1整理得整理得2 2y y, ,y yy y2 2x x, ,x xx x2 21 12 21 10 08 8y y2 2x x2 2x xx xy yy y2 21 12 21 14 42 2y yx x4 42 2y yx x2 22 22 22 22 21 12 21 10 0) )y y) )( (y yy y( (y y) )x x) )( (x

17、xx x( (x x2 21 12 21 12 21 12 21 12）即即为为所所求求. .3 32 24 4x x3 32 24 40 0（4 4y yx x解得,解得,4 42y2yx xx x4 4- -y y由由2 22 210 04 4y yx x3 32 24 4，x x3 32 24 4x x2 21 1yx0),(11yxA),(22yxB椭圆的几何性质问题三：问题三：例例3 已知椭圆已知椭圆 C： ，P(x,y)是是 C上任意一点。上任意一点。191622yx(1)求求P到直线到直线L：y=x-6的距离最小值；的距离最小值；22最值问题y0参数法参数法切线法切线法(2)求函

18、数求函数u=y-x的最大值；的最大值；(3)求函数求函数w = 的值域的值域86xy474,4745椭圆的几何性质求函数求函数w = 的值域的值域86xy思考yx0)6, 8( A1p2p椭圆的几何性质直线与椭圆的常见综合问题：一、判断位置关系问题； (判别式、韦达定理)二、中点弦问题； (点差法 )三、最值问题。(参数方程、数形结合)小结：椭圆的几何性质作业：1、过B(0,-1)作椭圆 的弦，求这些弦的最大值。1422 yx2、直线y=1- x 交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点，弦MN的中点为P，若Kop= ,则 的值为_.22nm223143、已知椭圆 C： 1222 yx求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。椭圆的几何性质课堂练习课堂练习 1、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线与的直线与椭圆相交于椭圆相交于A、B两点两点, 则弦长则弦长 |AB|= _ .5162、若对任意实数、若对任意实数k，直线，直线y=kx+1与椭圆与椭圆 恒有恒有公共点，则公共点，则m的范围是（的范围是（ ） A、（