三棱锥顶点射影问题.PPT

1、.1三棱锥顶点射影问题.2三角形的三角形的“心心”1、重心、重心:三条中线的交点三条中线的交点2、垂心、垂心:三条高的交点三条高的交点3、外心、外心:三条边垂直平分线的交点（或三条边垂直平分线的交点（或说外接圆的圆心）说外接圆的圆心）4、内心、内心:三个角平分线的交点（或说三个角平分线的交点（或说内接圆圆心）内接圆圆心）5、中心中心（正正 特有特有）正的重心、垂正的重心、垂心、内心、外心重合的点心、内心、外心重合的点.3例例1 1：已知三棱锥：已知三棱锥p-abcp-abc的三条侧棱的三条侧棱pa=pb=pcpa=pb=pc试判断点试判断点p p在底面在底面abcabc的射影的位置？的射影的位

2、置？pabcooa=ob=oco为三角形为三角形abc的的外心外心.4例例2 2：已知三棱锥：已知三棱锥p-abcp-abc的三条的三条侧棱侧棱pa,pb,pcpa,pb,pc两两垂直两两垂直, ,试判断点试判断点p p在底面在底面abcabc的射影的位置？的射影的位置？pabco o为三角形为三角形abcabc的的垂心垂心doadbcpadbcppopabcpobcpa平面.5例例3 3：已知三棱锥：已知三棱锥p-abcp-abc的的顶点顶点p p到底面到底面三角形三角形abcabc的三条边的距离相等的三条边的距离相等, ,试判断试判断点点p p在底面在底面abcabc的射影的位置？的射影的

3、位置？pabco o为三角形为三角形abcabc的的内心内心oef.6典型：典型：四面体四面体p-abc的顶点的顶点p在平面上的射影为在平面上的射影为o(1)p到三顶点距离相等到三顶点距离相等(3)p到三边到三边ab、bc、ac距离相等距离相等(2)侧棱两两垂直侧棱两两垂直pabco外外垂垂内内 o是是 abc的的心心 o是是 abc的的心心 o是是 abc的的心心.7对棱两两垂直对棱两两垂直opabc例：四面体例：四面体p-abc中，中，acpbbc,paabpc求证：若三棱锥有两组对边互相垂直，则若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直另一组对边必然垂直o o是垂心是垂心垂垂 o是

4、是 abc的的心心.8(1)若若pa=pb=pc，则，则o是是abc的的 . .pabc o外心外心关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题 设设o为三棱锥为三棱锥pabc的顶点的顶点p在底面上的射影在底面上的射影.9(2)若若pa=pb=pc,c=900,则则o是是ab的的_点点.中中pabc o关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题.10垂心垂心efpabc o (3)若三条側棱两两互相垂直若三条側棱两两互相垂直, ,则则o是是abc的的 . .关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题.11efpabc o (5)若三条側棱与底面成相等的角，则若三条側棱与底面成相等的角，则o是是abc的

5、的_. 外心外心关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题.12abcd证明：e 例例： 在空间四边形在空间四边形abcd中，中，ab=ad，cb=cd， 求证：对角线求证：对角线ac bd。 ceaeebd,连接的中点取acbdaceac,平面qacebdeceae,平面又qbdcedcbc,qbdaeadab,q.13.14练习.15例例1、已知直角、已知直角abc所在平面外有一点所在平面外有一点p，且，且pa=pb=pc，d是斜边是斜边ab的中点，的中点，求证：求证：pd平面平面abc.abcpd 证明：证明：pa=pb，d为为ab中点中点 pdab，连接，连接cd， d为为rtabc斜边

6、的中点斜边的中点 cd=ad, 又又papc,pd=pd pad pcd 而而pdab pdcd, cdab = d pd平面平面abc.16例例2、如图、如图 平面平面、相交于相交于pq，线段线段oa、ob分别垂直平面分别垂直平面、，求证：求证：pqabpqoab证明：证明：oa pq oapq ob, pq obpq 又又oaob=0 pq平面平面oab 而而ab平面平面oab pqabsabcsbsbscscsahabcshabc作业：如图 是所在平面外一点，sa， 是的垂心，求证；平面sabchsabcsbsbscscsahabcshabc作业：如图 是所在平面外一点，sa，是的垂心，

7、求证；平面sasbsascsasbcsbscs平面sabcahbcsaahabcsha面sabchhabc是的 垂 心abshbcabb同理bcshshabc面1.如图,已知点m是菱形abcd所在平面外一点，且ma=mc求证：ac平面bdmmabcdobd acbdaco证明：连接，设，连接moabcdacbdo四边形是菱形acbdoac是中点moacacbdbdmoomamcamc是等腰acmbd面pabco3.如图，圆如图，圆o所在一平面为所在一平面为 ，ab是圆是圆o 的直径，的直径，c 在圆周上在圆周上, 且且pa ac, pa ab,求证：（求证：（1）pa bc （2）bc 平面平面pac ,解：（1）且又abacabacapaac paabpabcpabc qqqq pacbcaacpapabcacbc，aboc面又得由为直径上一点为圆qq,1)2(例：平面内有一个三角形abc，平面外有一点p，自p向平面作斜线pa，pb，pc，且papbpc，若点o是abc的外心，求证：po平面abc.【解】如图所示，分别取ab，bc的中点d，e，连接