信号与系统第八章考研及期末考试课件

1、第第8 8章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换8.18.1离散傅里叶变换离散傅里叶变换(dft)(dft)定义定义8.28.2离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质8.38.3用用dftdft计算线性卷积计算线性卷积8.48.4频域采样频域采样8.58.5快速傅里叶变换快速傅里叶变换(fft)(fft)8.6 fft8.6 fft的应用的应用1信号与系统第八章考研及期末考试n从理论研究到工程实际从理论研究到工程实际l t il t i系统系统( )h( )x( )x t( )( )* ( )y th tx t( )( )( )yhx计算机可以计算机可以处理的处理的数据形式数据形式 离散离散有限

2、有限：存储、运算离散：存储、运算离散：存储空间、运算速度有限：存储空间、运算速度有限时域对离散时域对离散化后的序列化后的序列截断或加窗截断或加窗 频域对离散信号的频频域对离散信号的频谱（周期）加窗即只谱（周期）加窗即只取用一个周期取用一个周期 2信号与系统第八章考研及期末考试n从理论研究到工程实际从理论研究到工程实际已有的理论基础已有的理论基础 时频域时频域均离散均离散 3信号与系统第八章考研及期末考试8.1 8.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义8.1.1 8.1.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义从离散傅里叶级数从离散傅里叶级数dfsdfs到离散傅里叶变换到离散傅里叶变

3、换 knxnxkxknnnn,e)()(dfs)(2j10 nkxnkxnxknnnk,e)(1)(idfs)(2j10dfsdfs变换对为：变换对为： knn2je)(nx)(kx 由于由于对对k k和和n n都是以都是以n n为周期的，所以当为周期的，所以当也是以也是以n n为周期时。为周期时。其本身时，可以利用其本身时，可以利用dfsdfs的周期性，只需要在时域和频域各取一的周期性，只需要在时域和频域各取一个周期，计算一个周期，将所得结果进行周期延拓，即可以得个周期，计算一个周期，将所得结果进行周期延拓，即可以得到它们。到它们。是以是以n n为周期时，则为周期时，则)(nx)(kx和和是

4、无限长的，但在计算序列的频谱和是无限长的，但在计算序列的频谱和 虽然虽然4信号与系统第八章考研及期末考试 由于在由于在dfsdfs中，只用到一个周期的中，只用到一个周期的n n个值，取它们的主值个值，取它们的主值序列：序列：x x( (n n) (0) (0 n n n n-1)-1)和和x x( (k k) (0) (0 k k n n-1)-1)，等式依然，等式依然成立，这就是成立，这就是离散傅里叶变换离散傅里叶变换，即，即nknnnknnnnwnxnxnxkx 102j10)(e)()(dft)(nknnkknnnkwkxnkxnkxnx 102j10)(1e)(1)(idft)(k k

5、=0,1, =0,1, n n-1-1 n n=0,1, =0,1, n n-1-1 nnw2je 式式中中5信号与系统第八章考研及期末考试nknnnknnnnwnxnxnxkx 102j10)(e)()(dft)(nknnkknnnkwkxnkxnkxnx 102j10)(1e)(1)(idft)(k k=0,1, =0,1, n n-1-1 dftdft并不是一个新的傅里叶变换形式，只不过是将并不是一个新的傅里叶变换形式，只不过是将dfsdfs变换对中的序变换对中的序列取主值，就得到了列取主值，就得到了dftdft，将，将dftdft进行周期延拓就得到进行周期延拓就得到dfsdfs，因此，

6、因此dftdft隐含周期性。隐含周期性。 dftdft与与dfsdfs的关系：的关系： 有限长序列有限长序列x x( (n n) )是非周期的，其频谱应该是连续的，但用是非周期的，其频谱应该是连续的，但用dftdft得得到的到的x x( (n n) )的频谱是离散频谱，这是由于将有限长序列的频谱是离散频谱，这是由于将有限长序列x x( (n n) )延拓成周延拓成周期序列而造成的。期序列而造成的。 的的主主值值，即即可可看看作作范范围围内内在在)(, )()(1-0kxkxkxnk )()()(krkxkxn 的的主主值值，即即可可看看作作范范围围内内在在)(),()(1-0nxnxnxnn

7、)()()(nrnxnxn n n=0,1, =0,1, n n-1-1 8.1.2 8.1.2 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（dftdft）与离散傅里叶级数（）与离散傅里叶级数（dfsdfs）的关系）的关系6信号与系统第八章考研及期末考试8.1.3 dft8.1.3 dft与与dtftdtft和和ztzt变换的关系变换的关系 设设x x ( (n n) )是一个长度为是一个长度为n n的有限长序列，的有限长序列， 则则x x ( (n n) )的的离散时间离散时间傅里叶变换傅里叶变换为为 将将离散化，在离散化，在0202上从上从0 0开始等间隔地取开始等间隔地取n n个点，即个点，即1jj

8、0()( )e( )ennnnnxx nx n 1, 1, 0,2 nkknk 即可得到离散傅里叶变换即可得到离散傅里叶变换dftdft。2-1j20()( )e( )knknnkknnx x nx k对对x x( () )进行进行均匀采样，均匀采样， 1. dtft1. dtft和和dftdft的关系的关系 x x( (k k) ) 是序列的傅立叶变换是序列的傅立叶变换x x( () ) 的在区间的在区间0, 20, 2 上的上的n n点等间隔采样，采样间隔为：点等间隔采样，采样间隔为： n n=2/=2/n n。7信号与系统第八章考研及期末考试为求为求dftdft的反变换，将的反变换，将d

9、ftdft两边乘以两边乘以下面证明下面证明idftidft的唯一性的唯一性nknw 并对并对k k从从0 0到到n n-1-1求和，得求和，得 -101010)()(nmknnkmnnkknnnkwwmxwkx -10)(10)(nknmknnmwmx nmnmnwnknmkn0,-10)(上式右边上式右边= =nxnx( (n n) ) 10)(1)(idft)(nkknnwkxnkxnxn=n=0 0, , 1 1, , n, , n-1-18信号与系统第八章考研及期末考试2. dft2. dft和和z z变换的关系变换的关系 10(z)z ( )( )znnnxx nx n210( )d

10、ft ( )( )njknnnx kx nx n eknjezzxkx 2)()( 2jeknz比较比较z z变换与变换与dftdft变换，可见当变换，可见当设序列设序列x x( (n n) )的长度为的长度为n n， 其其z z变换和变换和dftdft分别为：分别为：时，则有时，则有 x x( (k k) )也是也是z z变换在单位圆上的变换在单位圆上的n n点等间隔采样值，采样间隔点等间隔采样值，采样间隔为：为：n 2je9信号与系统第八章考研及期末考试10信号与系统第八章考研及期末考试例例 求求x x( (n n) = ) = r r4 4( (n n) ) 的的dtftdtft及及16

11、16点和点和3232点的点的dftdft。 解解 根据根据dtftdtft的定义得的定义得 3jj40()( )eennnnxr n )e(ee)e(eee1e12/j2/j2/j2j2j2jjj4 )2/sin()2sin(e2/3j 其频谱为连续的，如图其频谱为连续的，如图(b)(b)所示所示 )e(ee)e(eee1e12/j2/j2/j2j2j2jjj4 30jj4jee)()(ennnnnrx11信号与系统第八章考研及期末考试设变换区间设变换区间n n=16=16， 则则 30162j161504e)()(nknknnwnrkx )16/(sin)4/sin(e163jkkk ，n=

12、n=0 0, , 1 1, , , , 1515根据根据dftdft的定义得的定义得 )e(ee)e(eee1e116/j16/j16/j4/j4/j4/j162j4162jkkkkkkkk )e(ee)e(eee1e116/j16/j16/j4/j4/j4/j162j4162jkkkkkkkk 12信号与系统第八章考研及期末考试图图6-1 dft6-1 dft与与dtftdtft的关系的关系图图6-1(c) 6-1(c) 为为1616点点dftdft的频的频谱（实线），是离散的，谱（实线），是离散的，实际上是实际上是对对dtftdtft连续频谱连续频谱离散化的结果，离散化的结果，虚线虚线是是

13、dtftdtft的的频谱频谱。图图6-1(d) 6-1(d) 为为3232点点dftdft的频的频谱（其谱（其dftdft变换省略）。变换省略）。 13信号与系统第八章考研及期末考试解：解：。点点的的求求序序列列dft84sin)( nnx knnwnnkx8704sin4dftsin)( knnn82j70e4sin knnnn82j704j4jej2ee 70)1(82j70)1(82jej21ej21nnknnk例例 14信号与系统第八章考研及期末考试2j(1)82j2 (1)78j(1)822j(1)j(1)0881 e1 ee0,11 e1 ekkk nkknk27j(1)80e8k

14、 nn2j(1)82j2 (1)78j(1)822j(1)j(1)0881 e1 ee01 e1 ekkk nkkn27j(1)80e8k nn2j(1)82j2 (1)78j(1)822j(1)j(1)0881 e1 ee0,11 e1 ekkk nkknkk1 1时，时，k1 1时，时，0k7 7时，时，k7 7时，时，2277j(1)j(1)880011( )ee2 j2 jk nk nnnx k15信号与系统第八章考研及期末考试 x x(0)=(0)=x x(2)=(2)=x x(3)=(3)=x x(4)=(4)=x x(5)=(5)=x x(6)=0(6)=0当当k k=7=7时，

15、时，4j2/8jej210)7(70)71(82j nnx当当k k=1=1时，时，4j2/8j0ej21)1(70)11(82j nnx( )0,4,0,0,0,0,0, 4x kjj2277j(1)j(1)880011( )ee2 j2 jk nk nnnx k16信号与系统第八章考研及期末考试解：解：。点点的的例例：求求序序列列dft864sin)( nnxknnwnnkx87064sin64dftsin)( knnn82j70e64sin knnnn82j70)64j()64j(ej2ee 70)1(82j6j70)1(82j6jej2eej2ennknnk 17信号与系统第八章考研及

16、期末考试1, 011e)1(82j8)1(82j70)1(82j keekknnk 1, 8e70)1(82j knnk7, 011e)1(82j8)1(82j70)1(82j keekknnk 7, 8e70)1(82j knnkjj227766j(1)j(1)8800ee( )ee2 j2 jk nk nnnx k18信号与系统第八章考研及期末考试 x x(0)=(0)=x x(2)=(2)=x x(3)=(3)=x x(4)=(4)=x x(5)=(5)=x x(6)=0(6)=0当当k k=7=7时，时，6j -70)71(82j6j -e4jej2e0)7( nnx32j2 dftd

17、ft一般为复数一般为复数当当k k=1=1时，时，6j70)11(82j6j4j0ej2e)1( exnn 19信号与系统第八章考研及期末考试)(idft,0,1,74,)(nxkkkx即即的的其其它它求求 解：解： 10)(1)(idft)(nkknnwkxnkxnx2277( j)j880011( )e( )e88knknkkx kx k 782j82je )7(81e )1(81 nnxx e4e481782j82jnn 例例 ee 21)18(82j82jnn 22222jj8jjj8888811eeeee22nnnnnn4cos ee 21eee 2182j82j882j82j82j

18、nnnnn 20信号与系统第八章考研及期末考试和和 分别为分别为 和和 的的n n点点dft.dft.1( )x n2( )x n若若 和和 是两个有限长度序列，长度分别为是两个有限长度序列，长度分别为 和和 ，则其线性组合则其线性组合1n2n1 122( )( )( )x na x na x n的的n n点点dftdft为为 1122( )( )( )x ka x ka xk10nk),max(21nnn 1( )x k2( )xk1( )x n2( )x n1. 1. 线性性线性性质质8.2 8.2 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 21信号与系统第八章考研及期末考试mnknmnk

19、nknknww )(2j2jee 10)()()(nnmnknnwnxmnkx)()(10kxwnxnnnkn 当当k k的取值不受限制时，的取值不受限制时，x x( (k k) ) 以以n n为周期。为周期。2. dft2. dft的隐含周期性的隐含周期性22信号与系统第八章考研及期末考试设设x x* *( (n n) )是是x x( (n n) )的复共轭序列，的复共轭序列， 长度为长度为n n x x( (k k)=dft)=dftx x( (n n)则则 dftdftx x* *( (n n)=)=x x* *( (n n- -k k),), 00k kn n-1 -1 且且 x x(

20、 (n n)=)=x x(0)(0)3. 3. 复共轭序列的复共轭序列的dftdft证明：证明： 10*)(*)()(nnnknnwnxknx 10)(*)(nnnknnwnx 10*)(nnnnnknnwwnx 10*)(nnknnwnx1ee2j)(2j( nnnnnnnw )(dft*nx 又由又由x x( (k k) )的隐含周期性有的隐含周期性有x x( (n n)=)=x x(0),(0),它的末点就是它的起始点。它的末点就是它的起始点。10( )nnknnx n w用同样的方法可以证明用同样的方法可以证明 dftdftx x* *( (n n- - n n)=)=x x* *(

21、(k k) ) 23信号与系统第八章考研及期末考试4. dft4. dft的共轭对称性的共轭对称性l有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：有限长共轭对称序列： x xe pe p( (n n)=)=x x* *e pe p( (n n- -n n), ), 00n nn n-1-1有限长共轭反对称序列：有限长共轭反对称序列：x xo po p( (n n)= -)= -x x* *o po p( (n n- -n n), ), 00n nn n-1-1dftdft的对称性是关于的对称性是关于n n/2/2点的对称性。点的对称性。注意：注意：x

22、x( (k k) )也是序列，也是序列， 对对x x( (k k) )也成也成立。立。有限长共轭对称序列有限长共轭对称序列有限长共轭反对称序列有限长共轭反对称序列(1)1xj (7)1xj (1)1xj (7)1xj 24信号与系统第八章考研及期末考试4. dft4. dft的共轭对称性的共轭对称性l有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列和共轭反对称序列有限长共轭对称序列：有限长共轭对称序列： x xepep( (n n)=)=x x* *epep( (n n- -n n), 0), 0n nn n- -1 1有限长共轭反对称序列：有限长共轭反对称序列：x xopop( (n n

23、)= -)= -x x* *opop( (n n- -n n), 0), 0n nn n- -1 1dftdft的对称性是关于的对称性是关于n n/2/2点的对称性。点的对称性。120)2()2(* nnnnxnnxepep，120)2()2(* nnnnxnnxopop，注意：注意：x x( (k k) )也是序列，也是序列， 对对x x( (k k) )也成立。也成立。)12()12(* nxnxepep例例如如：n/2n/2左边左边n/2n/2右边右边当当n n为偶数时，为偶数时， 将上式中的将上式中的n n换成换成 可得到可得到2nn25信号与系统第八章考研及期末考试 任何有限长序列任

24、何有限长序列x x( (n n) )都可以表示成其共轭对称分都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，量和共轭反对称分量之和， 即即 x x( (n n)=)=x xepep( (n n)+)+x xopop( (n n), 0), 0n nn n-1-1 将上式中的将上式中的n n换成换成n n- -n n， 并取复共轭，并取复共轭， 可得可得 x x* *( (n n- -n n) = ) = x x* *epep( (n n- -n n) + ) + x x* *opop( (n n- -n n) ) = = x xepep( (n n) ) - - x xopop( (n n)

25、) )()(21)(*nnxnxnxep )()(21)(*nnxnxnxop x xepep( (n n)=)=x x* *epep( (n n- -n n), 0), 0n nn n- -1 1x xopop( (n n)= -)= -x x* *opop( (n n- -n n), 0), 0n nn n- -1 126信号与系统第八章考研及期末考试)()(dft21)(dft*nnxnxnxep )()(re)()(21*kxkxkxkxr )()(dft21)(dft*nnxnxnxop )(j)(imj)()(21*kxkxkxkxi )()(21)(*nnxnxnxop )()(

26、21)(*nnxnxnxep 1) 1) 如果如果 x x( (n n)=)=x xepep( (n n)+)+x xopop( (n n) )， 00n nn n-1-1其中其中4. dft4. dft的共轭对称性的共轭对称性dft ( )( )dft()( )x nx kxnnxkdft( )( )eprxnxkdft( )j( )opixnxk27信号与系统第八章考研及期末考试2) 2) 如果如果 x x( (n n)=)=x xr r( (n n)+j)+jx xi i( (n n) )()(21)(j*nxnxnxi )()(21)(*rnxnxnx ( )dft ( )dft( )

27、j( )rix kx nx nx n)()()(21*kxknxkxep )()(dft21)(dft*nxnxnxr )()()(dftj )(dftkxkxnxnxopepir *1dftj( )dft ( )( )2ix nx nxn)()()(21*kxknxkxop dft ( )( )dft( )()x nx kx nxnk*1( )( )()2epxkx kxnk*1( )( )()2opxkx kxnk28信号与系统第八章考研及期末考试其中其中 x xepep( (k k)=dft)=dftx xr r( (n n), ), 是是x x( (k k) )的共轭对称分量的共轭对称

28、分量; ; x xopop( (k k)=dftj)=dftjx xi i( (n n), ), 是是x x( (k k) )的共轭反对的共轭反对称分量。称分量。dft( )( )repx nxkdftj( )( )iopx nxk( )( )( )epopx kxkxkdft( )( )eprxnxkdft( )j( )opixnxk( )( )( )epopx nxnxn29信号与系统第八章考研及期末考试用同样的方法可以证明用同样的方法可以证明)()(21*knxkx 具有共轭反对称性具有共轭反对称性)()(*knxkxopop 即即*)()(21)(knnxknxknxep )()(21

29、*kxknx )()(*knxkxepep 证明了证明了 x xepep( (k k)=dft)=dftx xr r( (n n) ) 是是x x( (k k) )的共轭对称分量。的共轭对称分量。实际上实际上( )epxk30信号与系统第八章考研及期末考试设设x x( (n n) )是长度为是长度为n n的实序列，且的实序列，且x x( (k k)=dft)=dftx x( (n n)，对于纯，对于纯实数序列，实数序列，x x( (n n)=)=x xr r ( (n n) )，x x( (k k) )只有共轭偶对称部分，只有共轭偶对称部分，即即x x( (k k)=)=x xepep( (k

30、 k) )，表明实数序列的，表明实数序列的dftdft满足共轭对称性，故满足共轭对称性，故 x x( (k k)=)=x x* *( (n n- -k k) )，00k kn n-1-1dftdftx x( (n n)=dft)=dftx xr r( (n n)= )= x x( (k k) ) = =x xepep( (k k) ) = = x x* *epep ( (n n- -k k) ) = = x x* * ( (n n- -k k) )3) 3) 实信号实信号dftdft的共轭对称性的共轭对称性31信号与系统第八章考研及期末考试n x x( (k k)=)=x x* *( (n n

31、- -k k) )，00k kn n-1 -1 ，利用这一特性，只要知道一半利用这一特性，只要知道一半数目的数目的x x( (k k) )，就可得到另一半的，就可得到另一半的x x( (k k) )，这一特点在，这一特点在dftdft运算中可运算中可以加以利用，以提高运算效率。以加以利用，以提高运算效率。4) dft4) dft的共轭对称性的意义的共轭对称性的意义n 一次一次dftdft变换两个实序列。变换两个实序列。将两个实序列，将两个实序列， 构成新序列构成新序列x x( (n n) )如下如下 ： x x( (n n)=)=x x1 1( (n n)+j)+jx x2 2( (n n)

32、)对对x x( (n n) )进行进行dftdft， 得到得到 x x( (k k)=dft)=dftx x( (n n)=)=x xepep( (k k)+)+x xopop( (k k) ) 由由 x xepep( (k k)=dft)=dftx x1 1( (n n)=1/2)=1/2x x( (k k)+)+x x* *( (n n- -k k) x xopop( (k k)=dftj)=dftjx x2 2( (n n)=1/2)=1/2x x( (k k)-)-x x* *( (n n- -k k) 得得 x x1 1( (k k)=dft)=dftx x1 1( (n n)=1/

33、2)=1/2x x( (k k)+)+x x* *( (n-kn-k) x x2 2( (k k)=dft)=dftx x2 2( (n n)= -j1/2)= -j1/2x x( (k k)-)-x x* *( (n-kn-k) 32信号与系统第八章考研及期末考试5 5dftdft的对偶性的对偶性( )x ndft( )( )x kx n设长度为设长度为n n的序列的序列 的的dftdft为为 ，则，则dft (1)()(0) xnkkxnn33信号与系统第八章考研及期末考试对应于对应于dtftdtft的平移的平移1( )()x nx nm对应于对应于dftdft的移位的移位( )( )(

34、)nx nx nx n 周期延拓()()nx nmx nm()( )()nrnnnnm m1 1m m3 3m m2 2()()nnx nmrn圆周移位序列圆周移位序列6. dft6. dft的圆周（循环）移位性质的圆周（循环）移位性质34信号与系统第八章考研及期末考试循环移位示意图循环移位示意图右移出去的右移出去的m m个数据从左边补进来，数据不少，只是重新排队。个数据从左边补进来，数据不少，只是重新排队。123414324123 ( )x n44(1)( )x nr n44()( )xnr n35信号与系统第八章考研及期末考试36信号与系统第八章考研及期末考试dft ( )( )x nx

35、k时域循环移位特性时域循环移位特性( )()( )nny nx nmrn2( )( )( )jkmkmny kwx kex k若若时域序列的圆周位移的时域序列的圆周位移的dftdft为原来的为原来的dftdft乘以一个因子乘以一个因子kmw则则n n为偶数时为偶数时 kknkw) 1(e j2 dft ()( )( 1)( )2knnnx nrnx k njew2( )()( )nny nx nmrn( )( )kmy kwx k若若则则37信号与系统第八章考研及期末考试频域循环移位特性频域循环移位特性dft ( )( )x nx k2idft ()( )( )( )jlnlnnnnxklrk

36、x n wx n e( )()( )nny kxklrk若若则则在频域的频移在频域的频移l l，则，则idftidft在时域在时域x x( (n n) )乘以一个乘以一个lnwidft ()( )( )lnnnxklrkx n w( )()( )nny kxklrk若若则则01kn38信号与系统第八章考研及期末考试若若x x( (n n) )和和h h( (n n) )均为均为n n点有限长序列，且点有限长序列，且则则( )( )( )y kx k h k10( )( )( )( )( ) () nnnmy nx nh nh nx nx nh nx m h nmrn10( )( )( ) ()

37、( )nnnmx nh nh m x nmrm( )( )x nh nn n点的点的圆周卷积圆周卷积x x( (n n) )和和h h( (n n) )都都需是需是n n点点10 ( )( )( ) ()( )nnnmy nx nh nh nx nx nh nx m h nmrm定义为定义为圆周卷积圆周卷积两序列循环卷积的长度为两序列循环卷积的长度为n n。7 7dftdft的时域离散圆周卷积定理的时域离散圆周卷积定理39信号与系统第八章考研及期末考试用用dftdft计算循环卷积计算循环卷积则由时域循环卷积定理有则由时域循环卷积定理有 y y( (k k) = d f t ) = d f t

38、y y( (n n) =) =x x1 1( (k k) )x x2 2( (k k) , ) , 00k kn n-1-1112120( )( )( )()()()nnnmy nx nxnx m xnmrmy y( (n n)=idft)=idfty y( (k k)当当l l很大时很大时, ,在频域计算提高了运算速度。在频域计算提高了运算速度。40信号与系统第八章考研及期末考试l圆周卷积的计算特点圆周卷积的计算特点圆卷积只在圆卷积只在 区间内进行，圆卷积结果也区间内进行，圆卷积结果也为为 n n点有限长序列。点有限长序列。10nmx x( (m m) )是把是把x x( (n n ) )变

39、量代换变量代换后的后的n n点序列，点序列， 是把是把h h( (n n ) )变量代换、圆反转、圆移位后，取其前变量代换、圆反转、圆移位后，取其前n n个点后个点后 的的n n点序列。点序列。()( )nnh nmrm对每一个对每一个n n点圆移位，先计算对应各个点圆移位，先计算对应各个m m点的点的乘积乘积( ) ()( )nnx m h nmrm10nm，再对，再对 范围内的全部乘积范围内的全部乘积求和求和。每一个每一个n n点圆周卷积的计算包括：变量代换、圆反转、圆移位、点圆周卷积的计算包括：变量代换、圆反转、圆移位、相乘、求和共相乘、求和共5 5个步骤。以个步骤。以4 4点圆周卷积为

40、例，全部过程可以用点圆周卷积为例，全部过程可以用矩阵表示为：矩阵表示为：(0)(0)(3)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(3)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(3)(3)(2)(1)(0)(3)yhhhhxyhhhhxyhhhhxyhhhhx10( )( ) ()( )nnnmy nx m h nmrm4 ( ): (0) (1) (2) (3)()( ): (0) (3) (2) (1)nh mhhhhhmrmhhhh10( )( )( )( ) ()( )nnnmy nx nh nx m h nmrm41信号与系统第八章考研及期末考试n时域圆周卷积定理l 圆周卷积圆周

41、卷积5个步骤的图解举例：个步骤的图解举例： 变量代换变量代换圆反转圆反转圆移位圆移位相乘相乘求和求和 例例 用图解法求有限长序列用图解法求有限长序列 4( )(1)( ),x nnr n4( )(4)( )h nn r n的的4 4点圆卷积点圆卷积 。( )cy n解解 （1）变量代换）变量代换x x n n 、h h n n 的变量置换为的变量置换为m m，有，有 ,4321mx1234mh（2 2）圆反转）圆反转把把h h m m 圆反转圆反转为为 4() 4123hm（3 3）圆移位）圆移位相乘相乘求和求和mxmmh)0(nmh)1(nmhny*nhnx)2(nmh)3(nmh0 1 2

42、 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3n0 1 2 3n0 1 2 3 4 5 6123442信号与系统第八章考研及期末考试n时域圆周卷积定理mxmmh)0(nmh)1(nmh)2(nmh)3(nmhm0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3n0 1 2 3n0 1 2 3 4 5 6解解 （3 3）圆移位）圆移位相乘相乘求和求和12344123426120nx m4(0) hm相乘相乘求和求和 24)34()23() 12()41 (0ymxmmh)0(nmh)1(nmhny*nhnx)2(nmh)3(nmh0 1 2 3m

43、0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3n0 1 2 3n0 1 2 3 4 5 622)24() 13()42() 31 ( 1 y24) 14()43()32()21 (2y30)44()33()22() 11 (3y 24 22 24 30cy nx nh n * 411203020114ly nx nh n圆周卷积圆周卷积 线性卷积线性卷积 mxmmh)0(nmh)1(nmhny*nhnx)2(nmh)3(nmh0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3m0 1 2 3n0 1 2 3n0 1 2 3 4 5 6

44、321443信号与系统第八章考研及期末考试n时域圆周卷积定理求和求和 24)34()23() 12()41 (0y22)24() 13()42() 31 ( 1 y24) 14()43()32()21 (2y30)44()33()22() 11 (3y04 1 2 312413 4 1 222222 3 4 132431 2 3 4430yyyy ,4321mx1234mh44信号与系统第八章考研及期末考试(0)4 1 2 3124(1)3 4 1 2222(2)2 3 4 13241 2 3 4430(3)ccccyyyy ( )1234,x n ( )4321h n l圆周卷积圆周卷积5

45、5个步骤的图解举例：个步骤的图解举例： 变量代换变量代换圆反转圆反转圆移位圆移位相乘相乘求和求和 例例 求有限长序列求有限长序列 4( )(1)( ),x nnr n4( )(4)( )h nn r n的的4 4点圆卷积点圆卷积 。( )cy n解：解：( )24222430cy n 45信号与系统第八章考研及期末考试2 2 1 111 2 2 111 1 2 212 1 1 211( )2,1,1,2,x n 1( )1,1,1,1,x n 12( )( )x nx n0,2,0,2,46信号与系统第八章考研及期末考试例例 用时域卷积定理求有限长序列用时域卷积定理求有限长序列 4( )(1)

46、( ),x nnr n4( )(4)( )h nn r n的的4 4点圆卷积点圆卷积 。( )cy n解解j222j22104321j1j11111j1j11111wxxj222j22101234j1j11111j1j11111whh( )( )( )1008j48jcy kx k h k*1111100241j1j8j2211111142441j1j8j30cnyw y( )1234,x n ( )4321h n 2j( , )eknknnnk nww10nk10nn(0)(0)(3)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(3)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(3)(3)(2)

47、(1)(0)(3)ccccyhhhhxyhhhhxyhhhhxyhhhhx10( )( )nknnnx kx n w101( )( )nknccnny ny k wn47信号与系统第八章考研及期末考试若若则则( )( ) ( )y nx n h n101( )()( )nnnlx l hklrln1( )( )x kh kn1( )( )h kx kn( )dft ( )y ky n101( )()( )nnnlh l xklrln8 8dftdft的频域离散圆周卷积定理的频域离散圆周卷积定理48信号与系统第八章考研及期末考试 实际问题多数是求解线性卷积，如信号实际问题多数是求解线性卷积，如信

48、号x x( (n n) )通过系通过系统统h h( (n n) )，其输出就是线性卷积，其输出就是线性卷积 y y( (n n)=)=x x( (n n) )* *h h( (n n) )。而循环卷积比。而循环卷积比起线性卷积，在起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（傅里叶变换（fftfft）技术）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。带来很大的方便。 现在我们来讨论上述现在我们来讨论上述 x x( (n n) )与与h h( (n n) )的线性卷积，如果的线性卷积，如果 x x

49、( (n n) )、h h( (n n) )为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替而不为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真。产生失真。8.3 8.3 用用dftdft计算线性卷积计算线性卷积49信号与系统第八章考研及期末考试110( )( )* ( )( ) ()nlmy nh nx nx m h nm(1)(1) 有限长序列线性卷积与循环卷积的关系有限长序列线性卷积与循环卷积的关系线性卷积：线性卷积：10( )( )( )( ) ()( )cnnnmy nh nx nh m x nmrn循环卷积为：循环卷积为：8.3 8.3 用用dftdft计算线性卷积计算线性卷积

50、50信号与系统第八章考研及期末考试 10)()()()()()(lmllcnrmnxmhnxnhny)()()()()(nrqlnxnrnxnxlql 有限长序列有限长序列x x( (n n) )为为循环卷积为：循环卷积为： qlqlnxnxnxnx)()()()(的周期延拓序列：的周期延拓序列：51信号与系统第八章考研及期末考试 10)()()(lmlqnrqlmnxmh 10)()()(lmlqnrmqlnxmh qllmnrmqlnxmh)( )()(10 qllnrqlny)()(即即的的主主值值序序列列。为为周周期期的的周周期期延延拓拓序序列列以以等等于于lnynyl)()(c52信

51、号与系统第八章考研及期末考试如果两个序列的长度分别为如果两个序列的长度分别为n n和和m m，线性卷积后的长度为，线性卷积后的长度为 n n+ +m m-1 -1 ，因此，如果循环卷积的长度因此，如果循环卷积的长度 l l n n+ +m m-1-1，那么，那么，y yl l( (n n) )周期延拓后，周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重叠，出现混叠现象。必然有一部分非零序列值要重叠，出现混叠现象。只有只有 l ln n+ +m m- -1 1 时，才不会产生混叠，此即循环卷积等于线性卷积的条件。时，才不会产生混叠，此即循环卷积等于线性卷积的条件。(2)(2) 循环卷积等于线性卷积的条件循

52、环卷积等于线性卷积的条件(3)(3) 用用dftdft计算线性卷积的方法计算线性卷积的方法如果两个序列如果两个序列h h( (n n) )和和x x( (n n) )的长度分别为的长度分别为n n和和m m，取取l l= =n n+ +m m-1-1作为循环卷积的长度；作为循环卷积的长度；在在h h( (n n) )后补上后补上l l- -n n个零值点；个零值点；在在x x( (n n) )后补上后补上l l- -m m个零值点。个零值点。53信号与系统第八章考研及期末考试321012n1-1序号计算结果1234000 xm1234000123h0-my0=144123400012h1-my

53、1=13+241112340001h2-my2=12+23+34201234000h3-my3=11+22+33+44300123400h4-my4=21+32+43200012340h5-my5=31+42110001234h6-my6=414n1n2-1l线性卷积线性卷积1122 (0-1) (0-1)x nnnh nnn的长度为，的长度为0 * nlmmy nx nh nx m h nmx m h nm 00 0nx nh n的起点：的起点的起点。1212 112nx nh nnnnn 的终点：的终点的终点。12 :1y nlnn的长度上例线性卷积过程 1234x n 4321h n 1234 0 0 0 x n 4321 0 0 0h n 54信号与系统第八章考研及期末考试( )1234x n 4321( )( )x nh n1234( )4321h n