全程复习方略高中数学第一章121第2课时排列与排列数公式课件新人教A版选修23

1、第2课时 排列与排列数公式排列数及排列数公式排列数及排列数公式排列数排列数定义定义从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有个元素的所有_的个数叫做从的个数叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的个元素的排列数排列数排列数排列数表示法表示法排列排列不同不同 _mna排列排列数公数公式式乘乘积积式式=_=_阶阶乘乘式式性质性质=_,0!=_=_,0!=_备注备注n,mnn,mn* *,mn,mnmnamna_n!nm !n(n-1)(n-2)(n-m+1)n(n-1)(n-2)(n-m+1)nnan!n!1 1判断：判断：( (正确的打正确的打“

2、”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)对于式子对于式子 中的中的x x可以取小于或等于可以取小于或等于3 3的任意整数的任意整数.( ).( )(2)(2)排列数排列数 是有是有n n个因式的乘积个因式的乘积.( ).( )(3)0(3)0！规定等于！规定等于1 1，但它不能按阶乘的含义来解释，但它不能按阶乘的含义来解释.( .( ) )(4) (nn(4) (nn* *且且n55)( )nnmn时不成立时不成立(2)(2)排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是其特点是：第一个因数是n(n(下标下标)

3、 )，后面的每一个因数都比它，后面的每一个因数都比它前面的因数少前面的因数少1 1，最后一个因数为，最后一个因数为n-mn-m1(1(下标下标- -上标上标1)1)，共，共有有m(m(上标上标) )个连续自然数相乘个连续自然数相乘(3)(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式它是一个分式的形式，分子是下标乘式它是一个分式的形式，分子是下标n n的阶乘，分母是下的阶乘，分母是下标减上标的阶乘，即标减上标的阶乘，即(n-m)(n-m)的阶乘的阶乘(4)(4)特别地，规定特别地，规定0!0!1.1.这只是一种规定，不能按阶乘的含义

4、这只是一种规定，不能按阶乘的含义作解释作解释类型一类型一 排列数的计算问题排列数的计算问题 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013洛阳高二检测洛阳高二检测) )乘积乘积m(m+1)(m+2)(m+3)(m+20)m(m+1)(m+2)(m+3)(m+20)可可表示为表示为( )( )2.2.计算：计算：2212021mmm 20m 20a.ab.ac.ad.a 5439915651010aa1 a . 2.aa【解题探究解题探究】1.1.排列数排列数 是几个因式的乘积？最大、最小数分别是什么？是几个因式的乘积？最大、最小数分别是什么？2.2.题题2(2)2(2)中中 能否均用能否均用

5、 表示？表示？探究提示：探究提示：1.1.从从n-m+1n-m+1到到n n共有共有m m个因式相乘，其中最小数为个因式相乘，其中最小数为n-m+1n-m+1，最大，最大数为数为n.n.2.2.能能. .mna56591010aaa，49a54645499109109a5a ,a50a ,a10a .【解析解析】1.1.选选d.d.因为因为m,m+1,m+2m,m+1,m+2，m+20m+20中最大的数为中最大的数为m+20m+20，且共有，且共有m+20-m+1=21m+20-m+1=21个因式个因式. . 所以所以m(m+1)m(m+1)(m+2)(m+2)(m+20)=(m+20)=21

6、m 20a.2.(1)2.(1)(2)(2)方法一：方法一：315a15 14 132 730.5499651010aaaa9 8 7 6 59 8 7 610 9 8 7 6 5 10 9 8 7 6 9 8 7 65 13.10 9 8 7 65 120 方法二方法二：方法三：方法三：5444499999654441010999aa5aa6a3.aa50a10a40a2054996510109!9!aa4!5! 10!10!aa4!5!5 9! 9!6 9!3.5 10! 10!4 10!20【互动探究互动探究】在题在题1 1中，若将乘积改为中，若将乘积改为m(m-1)(m-2)(m-3)

7、m(m-1)(m-2)(m-3)(m-20)(m20)(m-20)(m20)，则结果如何？，则结果如何？【解析解析】因为因为m(m-1)(m-2)m(m-1)(m-2)(m-20)(m-20)中最大数为中最大数为m m，且共有，且共有m-(m-20)+1=21(m-(m-20)+1=21(个个) )因式，所以因式，所以m(m-1)(m-2)m(m-1)(m-2)(m-20)=(m-20)=21ma .【拓展提升拓展提升】排列数的计算方法排列数的计算方法(1)(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个

8、排列数，其中最大的是注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数排列元素的总个数，而正整数( (因式因式) )的个数是选取元素的个的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用数，这是排列数公式的逆用. .(2)(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. .(3)(3)当计算的式子中含有多个排列数时，一般先利用阶乘的性当计算的式子中含有多个排列数时，一般先利用阶乘的性质将其他排列数用最小的排列数表示，再计算质将

9、其他排列数用最小的排列数表示，再计算. .类型二类型二 与排列数有关的方程、不等式及证明问题与排列数有关的方程、不等式及证明问题【典型例题典型例题】 1.(1)1.(1)已知已知 则则n=_.n=_.(2)(2)不等式不等式 的解集为的解集为_._.2.2.求证求证: :332nna10a，xx 288a6ammm 1n 1nnaama.【解题探究解题探究】1.1.如何利用排列数公式将题如何利用排列数公式将题1(1)(2)1(1)(2)中的方程、不等式转化为中的方程、不等式转化为n n或或x x的代数方程、不等式求解？的代数方程、不等式求解？2.2.如何选择排列数公式由题如何选择排列数公式由题

10、2 2中待证式左端过渡到右端？中待证式左端过渡到右端？探究提示：探究提示：1.1.利用排列数公式的乘积式或阶乘式进行转化利用排列数公式的乘积式或阶乘式进行转化. .2.2.对对 分别用排列数公式的阶乘形式过渡到右端分别用排列数公式的阶乘形式过渡到右端. .mmn 1naa，【解析解析】1.(1)1.(1)因为因为 所以所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2)1)(n-2)，即，即n n2 2-9n+8=0,-9n+8=0,解得解得n=1n=1或或n=8,n=8,因为因为n3n3，所以，所以n=8.n=8.答案：答案：8 8332nn

11、a10a，(2)(2)由由 得得3x83x8，xnxn* *. .由由 得得化简得化简得x x2 2-19x+840-19x+840，解得，解得7x12,7x1)m(m1)个车站，客运车票增加了个车站，客运车票增加了6262种，问种，问原有多少个车站？现有多少个车站？原有多少个车站？现有多少个车站？【解题探究解题探究】1.1.每一个三位数对应怎样的一个排列？所求三位数的个数是每一个三位数对应怎样的一个排列？所求三位数的个数是怎样的一个排列数？怎样的一个排列数？2.2.每一种车票对应怎样的一个排列？每一种车票对应怎样的一个排列？探究提示：探究提示：1.1.每一个三位数对应从每一个三位数对应从8

12、8个不同元素任取个不同元素任取3 3个元素的一个排个元素的一个排列，故所求三位数的个数为列，故所求三位数的个数为2.2.每一种车票对应从每一种车票对应从n n个或个或(n+m)(n+m)个不同元素，任取个不同元素，任取2 2个元素个元素的一个排列的一个排列. .38a .【解析解析】1.1.按顺序，有百位、十位、个位按顺序，有百位、十位、个位3 3个位置，个位置，8 8个数字个数字中取出中取出3 3个依次排列，有个依次排列，有 个个. .答案：答案：33633638a3362.2.因为原有车站因为原有车站n n个，所以原有客运车票有个，所以原有客运车票有 种，又现有种，又现有(n+m)(n+m

13、)个车站，现有客运车票个车站，现有客运车票 种种. .所以所以 所以所以(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,所以所以 所以所以 即即62m62m2 2-m.-m.所以所以m m2 2-m-620.-m-621m1，从而得出，从而得出 所以所以1m8.1m8.即即m=2m=2时，时， 当当m=3m=3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8时，时，n n均不均不为整数，为整数，故只有故只有n=15,m=2n=15,m=2符合题意，即原有符合题意，即原有1515个车站，现有个车站，现有1717个车站个车站. .2na2m na22n mnaa

14、62,311nm10.m2311m1m2，12491m,2312 1n1522，【拓展提升拓展提升】1.1.利用排列与排列数解排列应用题的基本思想利用排列与排列数解排列应用题的基本思想2.2.解简单的排列应用题的思路解简单的排列应用题的思路(1)(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序顺序. .(2)(2)如果是的话，再进一步分析，这里如果是的话，再进一步分析，这里n n个不同的元素指的是个不同的元素指的是什么，以及从什么，以及从n n个不同的元素中任取个不同的元素中任取m(mn)m(mn)个元素的每一种个元素的每一种排列对

15、应的是什么事件排列对应的是什么事件. .(3)(3)运用排列数公式求解运用排列数公式求解. .【变式训练变式训练】有有5 5个不同的科研小课题，从中选个不同的科研小课题，从中选3 3个由高二个由高二(4)(4)班的班的3 3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？不同的安排方法？【解析解析】从从5 5个不同的课题中选个不同的课题中选3 3个，由个，由3 3个兴趣小组进行研个兴趣小组进行研究，每种选法对应于从究，每种选法对应于从5 5个不同元素中选出个不同元素中选出3 3个元素的一个排个元素的一个排列列. .因此不同的安排方

16、法有因此不同的安排方法有 ( (种种).).35a5 4 360 【易错误区易错误区】忽视排列数中的隐含条件致误忽视排列数中的隐含条件致误【典例典例】已知已知 则则n n为为( )( )a.7a.7，8 8，9 9，1010，1111，12 b.812 b.8，9 c.79 c.7，8 d.78 d.7nn 1893a4a，【解析解析】选选c.c.由排列数公式得，由排列数公式得，所以所以即即所以所以nn 1893a4a，3 8!49!,8n !10n !3 8!4 9 8!8n !10n9n8n ! 4 9310n9n，化简为化简为n n2 2-19n-19n780780，所以，所以6n13,6n13,因为因为nnnn* *，所以，所以n n7,8,9,10,11,12.7,8,9,10,11,12.由排列数的意义，可知由排列数的意义，可知n8n8且且n-19n-19，即即n8n8，所以，所以6n8.64n|n4且且nnnn* *.答案：答案：n|n4n|n4且且nnnn* * 1n 2a21n 2a2n21n4n22，5.5.方程方程 的解的解x=_.x=_.【解析解析】=(x-3)(x-4)+(x-3)=x=(