1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)B提高练

1、1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（1） -B 提高练1 （ 2020乐清市知临中学高二期末）已知平面的一个法向量是（2, 1,1），/ ，则下列向量可作为平面 的一个法向量的是（A4,2，2B2,0,4C2，1， 5D 4，2,2的一个法向量是（2, 1,1），/ / ，设平面的法向量为x,y,z ，则（2, 1,1） x, y, z ,0，对比四个选项可知，只有D 符合要求，故选：D.2 （ 2020 三明三中高二期末（理）如图，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，以D 为原点建立空间直角坐标系， E 为 B B1 的中点，F 为 A1D1 的中点，则下列向量中，能作为平面

2、AEF 的法向量的是（）A（1，2，4）B（4,1，2）C（2，2，1）D（1，2，2）【答案】B【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1， 0， 2） ， AE=（0，2，1）， AF=（1，0，2）,设向量n=（ x，y，z）是平面AEF 的一个法向量n AE 2y z 0则，取 y=1 ，得x=4，z=2,n=（4，1，2）是平面AEF 的一个法向量,因n AF x 2z 0此可得：只有B 选项的向量是平面AEF 的法向量,故选：B3（ 2020 北京高二期末）已知直线l 的方向向量为m,平面的法向量为n ,则 “m n 0”是 “l ”的 （B 必要不充分

3、条件D 既不充分也不必要条件A 充分不必要条件C充要条件【答案】Bmn0,n , m n0,即m n ,不一定有l ,也可能 l0”是 “ l ”的不充分条件, l ,可以推出n,m n 0”是 “l ”是必要条件,综上0”是 “l ”必要不充分条件.故选 :B.4 （ 2020浙江高二月考）如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1 中，点E, F 分别是棱BC,CC1的P 是侧面BCC1B1 内一点，若A1P 平行于平面AEF ，则线段A1P 长度的最小值为（B 3 22C3D5DA 为 x轴，DC 为 y轴，DD1为 z轴，建立空间直角坐标系，D 为原点，A 2,0,0 , E

4、1,2,0 ,F 0,2,1 , A12,0,2 ， AE( 1,2,0), AF( 2,2,1)，设平面 AEF 的法向量nx,y,zx 2y 02x 2y z，取 y 1 ，得 n 2,1,2 ， 0设 P a,2, c ,0 a 2,0c 2 ，则A1Pa 2,2, c 2 ，A1P 平行于平面AEF ，n 2a 22 2c20 ，整理得a c 3 ，线段A1P 长度a 2)2 22 (c 2)2(a 2)2 4 (1 a)22 a 39 ， 当且仅当 a c 3时， 线段222（2,1,1），平面过A1P 长度取最小值3 22 .故选：B.5.（多选题）（ 2020怀仁市一中高二期末）

5、已知直线l 过点 P（1,0, 1），平行于向量直线 l 与点 M（1,2,3） ，则平面的法向量可能是（）111A （1, 4,2）B （ , 1, ）C （,1,424【答案】ABC【解析】由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量a而 PM =（ 1， 2，3）-（1，0，-1） =（0，2，4），选项A，（1-4， 2） =0 满足垂直，故正确；选项B， （ 2， 1， 1）（41) D (0, 1,1)2（2,1,1） ，和向量2， 1， 1）（ 1， -4， 2） =0， （0， 2， 4）（ 1，-1，1 ）=0， （0，2， 4）（1， -1，1 ） =0242满足垂直，故正确；

6、选项C， （ 2， 1， 1）- ，1，-）=0，（ 0，2，4）（ - ，1，-） =0 满足垂直，4242故正确；选项D， （ 2，1， 1）（ 0， -1， 1）=0，但（0， 2， 4）（ 0， -1 ， 1 ） 0 ，故错误D(0,2,0) ， A1(0,0,4) ，B1(2,0, 4)， E (0,2,2) ，所以B1E( 2,2, 2)， A1B (2,0, 4)，因为6 （多选题）（ 2020 河北省盐山中学高一期末）若长方体 ABCD A1B1C1D1 的底面是边长为2 的正方形，高为4， E 是 DD 1的中点，则（A B1E A1BC 三棱锥C1 B1CE 的体积为83【

7、答案】CD【解析】B平面B1CE /平面A1BDD 三棱锥C1 B1CD1 的外接球的表面积为24 AB, AD, AA1为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， C(2,2,0) ，B1E A1B 4 0 8 4 0，所以B1E 与 A1 B不垂直，故 A 错误；CB1(0,2,4)，( 2,0,2) ,设平面 B1CE 的一个法向量为n (x1, y1, z1)，则由CB1 01 ，得CE 02 y1 4z12 x1 2z10，所以0y1 2z111 ，不妨取x1 z1z11，则x11 ， y12 所以(1,2,1)，同理可得设平面A1BD 的一

8、个法向量为m (2,2,1)，故不存在实数 使得 n m， 故平面B1CE 与平面A1BD 不平行，故 B 错误； 在长方体ABCD A1B1C1D1 中， B1C1平面CDD1C1 ，故B1C1是三棱锥B1 CEC1 的高，所以111V三棱锥C1B1CEV三棱锥B1CEC1SCEC1B1C14233288，故 C 正确；三棱锥C1B1CD 1的外接球即为3长方体 ABCDA1 B1C1D1 的外接球，故外接球的半径2222 426 ， 所以三棱锥C1B1CD1的外接球的表面积S 4 R2 24 ，故 D 正确.故选：CD.二、填空题7 给出下列命题：若为共面向量，则所在的直线平行；若向量所在

9、直线是异面直线，则u1( 3, y,2) ， 平面 的一个法向量为 u2(6, 2, z)，且 / ，则 y1,u1 u2 ，存在实数使得u1= u2，即(3，y，2)=(6，2，z)，1， y=1 ， z= 429.在空间直角坐标系中，已知三点A(1, 2,1)， B(0, 3,1)， C(2, 2,1)，若向量与平面ABC 垂直，且8.( 2020 上海市青浦区第一中学高二期中)若平面n 21 ，则 n(2, 4, 1) 或 2,4,1n AB 0x y 2z 0设 n x,y,z ，根据题意可得n AC 0 ，可得x 2z 0 ，解得n 21x2 y2 z2 21所以 n 2, 4, 1

10、 或 n (2, 4,1) .x2 x 2y4或y 4 .z1z110 .如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD= 1,E 为 CD 的中点,点P 在棱 AA1 上,且DP平面B1AE,则AP,建立分别以AB,AD,AA1 所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系?设 AB=a,P(0,0,b),则A(0,0,0),B1(a,0,1),D(0,1,0),E(2,1,0).于是?1?=?(?a?,0,1), ?= (2 ,1,0),?=?(0,-1,b).?DP平面B1AE, 存在实数,使 ?=? ?1?+? ?,?即 (0,-1,b)= (a,0,1)+(?2?,1 ,0) =

11、 (?+ ?2?,?,?).?+? ?2?= 0, ?= -1,?= ?,11 b= 12,即 AP=21 .11 .已知 M 为长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱BC 的中点,点 P 在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D 内 ,且 PM平面BB1D1D,试探讨点P 的确切位置.【解析】以D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.1根据题意可设A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),则 M(2?,?,?0) .又 PM平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得?=m?+?n ?1? ,?= 12,?= 1 ?2,?= -?,? R,1?= ?12,即 (2 ?,?-?,-?)= (ma,mb,nc),即 ?-?= ?,?解得-?= ?, ?则点 P 的坐标为(0 , 2 ,-?. )所以点 P 在平面 DCC1D1 的边 DC 的垂直平分线EF 上 .12 （ 2020 银川一中中学高二月考）已知三棱锥P-ABC,D,E,F 分别为棱PA,PB,PC 的中点 ,求证:平面DEF平面 ABC.设 ?=?a,?=?b,?=?c,则 ?=?2a,?=?2b,?=?2c,所以?=?b-a,?=?c-