221椭圆及其标准方程第一课时

1、12一一椭圆的定义椭圆的定义 平面上到两个定点的平面上到两个定点的距离的和（距离的和（2a）等于）等于定长（大于定长（大于|f1f2 |）的点的轨迹叫椭圆。的点的轨迹叫椭圆。 定点定点f1、f2叫做椭圆叫做椭圆的焦点。的焦点。 两焦点之间的距离叫两焦点之间的距离叫做焦距（做焦距（2c）。）。f1f2m椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：1222mfmfac3满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ 1平面上平面上-这是大前提这是大前提 2动点动点 m 到两个定点到两个定点 f1、f2 的距离之的距离之和是常数和是常数 2a

2、 3常数常数 2a 要大于焦距要大于焦距 2c1222mfmfac4二二椭圆方程推导的准备椭圆方程推导的准备1建系设点建系设点2列式列式3代换代换4化简化简5检验检验5怎样选择坐标系才能使椭圆的怎样选择坐标系才能使椭圆的 方程简单？方程简单？化化 简简列列 式式设设 点点建建 系系f1f2xy 以以f1、f2 所在直线为所在直线为 x 轴，线段轴，线段 f1f2的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系p( x , y )设设 p( x，y )是椭圆上任意一点是椭圆上任意一点设设f1f=2c，则有，则有f1(-c，0)、f2(c，0)- , 0c , 0cf1f2xyp

3、( x , y )- , 0c , 0c 椭圆上的点满足椭圆上的点满足pf1+pf2为定值，设为为定值，设为2a，则，则2a2c则：则：2222+-+= 2xcyx cya2222+= 2 -+xcyax cy2222222+= 4-4-+-+xcyaax cyx cy222-c =-+axax cy22222222-+=-acxa yaac设设222-= 0acbb得得即：即：2222+=1 0 xyababoxyof1f2pb2x2+a2y2=a2b2二二椭圆的标准方程椭圆的标准方程1) 0(12222babyax它表示：它表示：1椭圆的焦点在x轴2焦点是f1（-c，0）、f2（c，0）3

4、c2= a2 - b2 f1f2m0 xy6二二椭圆的标准方程椭圆的标准方程2)0(12222babxay它表示：它表示：1椭圆的焦点在y轴2焦点是f1（0，-c）、f2（0，c）3c2= a2 - b2 mf1f20 xy72222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点f1，f2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于f1f2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，fcfc120,-0,，fcfc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点

5、图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系根据所学知识完成下表根据所学知识完成下表xyf1 1f2 2poxyf1 1f2 2poa2-c2=b2判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标1162522yx 答：答：在 x 轴。（-3，0）和（3，0）116914422yx 答：答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）112222mymx 答：答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。8判断正误 到两定点距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆。

6、 椭圆 的焦点坐标为22221( ,0)xya bab22(,0)ab 椭圆m2x2+(m2+1)y2=1的焦点在y轴上。9例例1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是、已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点，并且经过点(5/2，-3/2)，求它的标准，求它的标准方程。方程。写出适合下列条件的椭圆的标准写出适合下列条件的椭圆的标准方程方程1 a=4，b=1，焦点在 x 轴2 a=4，c=2，焦点在 y 轴上3两个焦点的坐标是（-2，0）和（2，0）并且经过点（2.5，-1.5）求一个椭圆的标准方程需求几个量？求一个椭圆的标准方程需求几个量？答：两个。答：两个。a、b或或a、c

7、或或b、c注意：注意：“椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是个专有名词，是个专有名词，就是指上述的两个方程。形式是固定的。就是指上述的两个方程。形式是固定的。101 椭圆的标准方程有几个？椭圆的标准方程有几个？答：两个。焦点分别在答：两个。焦点分别在 x 轴、轴、y 轴轴。2给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上答：在分母大的那个轴上。答：在分母大的那个轴上。cbyax223什么时候表示椭圆？什么时候表示椭圆？答：答：a、b、c同号且同号且ab不相等时。不相等时。4求一个椭圆的标准方程需求几个量？求一个椭圆的标准方程需求几个量？答：两个。答：两个。a、 b

8、或或a、c或或b、c 11例例 平面内有两个定点的距离是平面内有两个定点的距离是8，写出到这，写出到这两个定点的距离的和是两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程的点的轨迹方程。解：解：1判断：和是常数；常数大于两个判断：和是常数；常数大于两个定点之间的距离。故，点的轨迹是椭圆。定点之间的距离。故，点的轨迹是椭圆。 2取过两个定点的直线做取过两个定点的直线做 x 轴，它的轴，它的线段垂直平分线做线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。从而保证方程是标准方程。 3根据已知求出根据已知求出a、c，再推出，再推出a、b写写出椭圆的标准方程。出椭圆的标准方程

9、。12练习：练习：1椭圆椭圆 上一点上一点p到一个到一个焦焦 点的距离等于点的距离等于3，则它到另一个焦点的距，则它到另一个焦点的距离是（离是（ ） a.5 b.7 c.8 d.102212 51 6xy13练习练习：2 已知三角形abc的一边 bc 长为6，周长为16，求顶点a的轨迹方程答：答：)0(1162522yyx变式变式1：已知：已知b(-3,0)，c(3,0)，ca,bc,ab的的长组成一个等差数列，求点长组成一个等差数列，求点a的轨迹方程。的轨迹方程。变式变式2：在：在abc中，中， b(-3,0)，c(3,0)， ，求，求a点的轨迹方程。点的轨迹方程。sinsin2sinbca14练习：练习：3将将 所表示的椭圆绕原所表示的椭圆绕原点旋转点旋转90度，所得轨迹的方程是什么？度，所得轨迹的方程是什么？2212 51 6xy2212516yx答：15 例题与练习的求椭圆方程的方法叫做例题与练习的求椭圆