下半连续映射及相关问题

1、 南 京 师 范 大 学毕 业 设 计（论 文）（ 2008 届）题 目： 下半连续映射及相关问题 学 院： 数学科学学院 专 业： 数学与应用数学（师范） 姓 名： 学 号： 指导教师： 南京师范大学教务处 制目录1.绪论4课题研究背景及目的：4研究方法：42.下半连续性的相关定义5定义2.15例2.1.15例2.1.25例2.1.35例2.1.45定义2.2：6定义2.3：63.半连续的等价条件63.1在某一点上的半连续的等价条件6定理3.1.1：6定理3.1.2：73.2在闭集上的半连续性等价条件7定理3.2.1：74.下半连续函数的性质84.1四则运算性质84.2局部保号性94.3有界

2、性9定理4.3.19定理4.3.210例4.3.310例4.3.4114.4保半连续性12定理4.4.1：12定理4.4.2134.5与连续函数相比的其他不同性质15例4.5.115例4.5.2155.拓广到度量空间15定义5.1.115定义5.1.216结论：16参考文献：17致谢17下半连续映射及相关问题（南京师范大学数学科学学院，）摘要：在函数论中，连续函数和它的性质占有相当重要的地位，有一类函数虽不连续，但却具有一些与连续函数类似的性质这就是所谓半连续函数。半连续的概念在最优化问题、对策论问题及变分不等式问题等诸多方面都已得到了广泛的应用。本文主要研究的是下半连续的概念，给出下半连续函

3、数的定义，探讨下半连续函数的性质，如运算性质、闭区间下半连续的有界性、介值性等，最后再将下半连续函数的概念推广至度量空间中。通过对下半连续函数进行讨论，可以使我们了解到比连续函数更广泛的一类函数的性质，从而，在对整个函数的研究中起到一定作用。关键词：连续函数 下半连续函数 性质 度量空间Lower semi continuous mapping and related issuesZhiyuan Wu( Nanjing Normal University Academy of mathematics and science,06080216)Abstract: in the theory of

4、 functions, continuous function and its property occupies a very important position, there is a kind of function is not continuous, but it has some of the continuous function of similar nature. This is the so-called semi continuous function. Semi continuous concept in optimization problems, game the

5、ory problem and variational inequality problem etc has been widely used. This paper mainly studies the lower semi continuous concept, given the lower semi continuous functions defined on the lower semi continuous functions, such as the nature, properties, the closed interval lower semicontinuous bou

6、nded, intermediate value property, then the lower semi continuous function concept promotion to the metric space. Through to the lower semi continuous functions are discussed, which enables us to understand than continuous function for a broader class of functions, thereby, the function of role.Key

7、words: Continuous function The lower semi continuous functionsNature Metric space1.绪论课题研究背景及目的：数学分析是理科学生一门十分重要的基础课程，也是各校各专业学生的基础理论课。通过这门课的学习，使学生受到必要的数学理论和数学方法的训练，它为许多包括专业课在内的后续课程做下铺垫。由于它的理论性强，概念抽象而生刻，十分重要。而函数的连续性问题是函数理论中最基本最重要的问题之一，连续性是自然界中广泛存在的一种性质，是描述变量之间最基本的连续关系的概念。学习函数连续性的重要性在于：数学分析中的函数连续性与间断点等内

8、容具有承上启下的作用，对于函数连续性的掌握，函数极限的运算，零点的定理，介值定理以及一直连续性等方的学习都有至关重要的意义，因此，研究函数的连续性在具有理论和应用的双重意义。半连续的概念在最优化问题、对策论问题及变分不等式问题等诸多方面都已得到了广泛的应用。1951年，Fort证明了拓扑空间上半连续集值映射的通有连续性，1993年，Aubin证明了从度量空间到可分度量空间的上半连续集值映射的通有连续性，这些结果被广泛应用于解的通有稳定性和通有唯一性的。下半连续函数是连续函数的推广, 它在线性拓扑空间，泛函分析，积分论等数学分支中有着广泛地应用。本文通过对下半连续函数进行讨论，可以使我们了解到比

9、连续函数更广泛的一类函数的性质，从而，在对整个函数的研究中起到一定作用。研究方法：查询法：通过文献调研有目的有计划有系统的收集并整理资料，了解上（下）半连续的相关概念，定理。分析法：通过对实数空间的上（下）半连续的研究，分析其与连续，一致连续的异同。类比归纳法：通过对实数空间的研究，猜测度量空间中的相关性质，并加以证明。2.下半连续性的相关定义首先来回忆下连续函数的定义：设函数fx在集合上有定义，x0E为的一个聚点。fx在x0处连续，用-语言描述，即：0,0，当xE，x-x0时，有 fx0-fx0,0，当xE，x-x0时，有 fx0,0，当xE，x-x0时，有 fx0-0,0，当x1,x2I，

10、x1-x2时, 恒有fx10,0，当x1,x2I，x1-x2fx2+则称函数f (x)在区间I 上一致下半连续；3.半连续的等价条件3.1在某一点上的半连续的等价条件首先给出在某一点上上半连续的等价条件：定理3.1.1：设函数f (x)在集合E上有定义，x0E为E的一个聚点，则下列说法等价：（i）f (x)在x0处上半连续；（ii）(iii) ，必有证明：12 明显，因当时，有 对上式取极限，并注意的任意性，即得。23由 ，直接可得。 31（用反证法）设在处不上半连续，则，使得。这与已知条件矛盾。同理我们可以得到在某一点上下半连续的等价条件：定理3.1.2：设函数f (x)在集合E上有定义，x

11、0E为E的一个聚点，则下列说法等价：（i）f (x)在x0处下半连续；（ii）（iii），必有3.2在闭集上的半连续性等价条件定理3.2.1：设函数f (x)在闭集E上有定义，则：（1）f (x)在E中的上半连续的充要条件是：，集合为闭集。（2）f (x)在E中的下半连续的充要条件是：，集合为闭集。证明：下面以（1）为例(必要性)xnFc，xnx0，有xnE，而E为闭集 x0E 又fxnc，(n=1,2,3) f (x)在x0处上半连续 x0Fc(充分性)利用反证法，假设f (x)在E中的不上半连续则x0E使f (x)在x0不上半连续即：，虽然0xn-x0cfx0，于是根据F(c)的定义xnF

12、c，x0Fc，但xnx0（当n），Fc为闭集，应有x0Fc矛盾故假设不成立，原命题成立。4.下半连续函数的性质4.1四则运算性质（1）若f(x)、g(x)在a,b上下半连续，则它们的和f(x)+g(x)在a,b上也下半连续；（2）若f(x)在a,b上下半连续，则-f(x)在a,b上为上半连续；（3）若在a,b上f(x)0，g(x)0，且上半连续（f(x)0，g(x)0，且上（下）半连续，g(x)0，且上（下）半连续，则1f(x)在a,b上为下（上）半连续。证明：（1）因为f(x)、g(x)在a,b上下半连续，根据下半连续定义，即0,0，当xa,b，x-x0fx0-2，gxgx0-2，所以两式相

13、加可得fx+gx0,0，当xa,b，x-x0fx0-；此不等式两边同时乘以-1得：-fx0,0，当xa,b，x-x0时，均有-fx0,0，当xa,b，x-x0时，均有fx0,0，当xa,b，x-x0时，均有gx0, g(x)0，故可将上述所得两不等式相乘，得到：fxgx fx0gx0+1gx0+2fx0+12，令=1gx0+2fx0+12，即得fxgx0,0，当xa,b，x-x0时，均有fx0，则有1f(x)1fx0-1fxfx0，令=1fxfx0，即得1f(x)1fx0-，所以1f(x)在a,b上为下半连续。其他情形类似可证。4.2局部保号性上半连续函数有局部保负性（即：若在处上半连续，则，

14、使得时有）。同样，下半连续函数有局部保正性。证明：下面就证下下半连续函数有局部保号性即：若f(x)在x0处下半连续f(x0)0，则，使得时有f(x)0）因为f(x0)0，不妨令=f(x0)20又f(x)在x0处下半连续，由定义可知 0,0，当xa,b，x-x0fx0-，将=f(x0)2代入可得fxfx0-f(x0)20，即证。同理可证上半连续函数的拒不保负性。4.3有界性定理4.3.1 有界闭区间上的上半连续函数，必有上界，且达到上确界，具体来说，若在上上半连续，则（1）在上有上界（使）。（2）在上达到上确界（即使得）证明 先证明（1）（反证法）若无界，则，使得由致密性原理，在中存在收敛的子序

15、列，使（当）。因为闭的，故，但，当时，所以 。但在上上半连续，应有，故=+矛盾。下证（2）因上有界，若在上达不到上确界，则所以在上上半连续（定理3），从而有上界，即使有 即： 这与矛盾。定理4.3.2 有界闭区间上的下半连续函数，必有下界，且达到下确界，具体来说，若在上下半连续，则（1）在上有下界（使）。（2）在上达到下确界（即使得）例4.3.3假定为紧集，是上半连续的，则在上必有最大值。证明：因是上半连续的实值函数故，必在的某一邻域内有上界，故，必在的某一邻域内有上确界，设在的邻域内的上确界为构造邻域簇 ，显然 而由条件为紧集，故存在自然数使得： 用分别表示在中的上确界，其中令 显然必为在上

16、的最大值。例4.3.4若函数在内半连续，则必存在内闭区间，使在上保持有界。证：以下半连续为例进行证明。设在内下半连续，来证使得在上有界，用反证法，设，总在上无上界，于是：1、使得，因下半连续，故（不妨令），使得且有2、因在任何内闭区间上无上界，所以对，使得进而由的下半连续性，知（不妨令）使得时，有。3、如此继续下去，我们得到一串闭区间：，区间长（当时）且在每个区间上，恒有。 4、根据区间套定理。因此，矛盾。4.4保半连续性我们已经知道，连续函数单调序列的极限不一定是连续的。比如下面的例子：例：给定一函数列fnx=x,x2,xn,，x0,1，试讨论其极限函数的连续性。解：因为当x0,1时有xx2

17、xn；所以fnx=x,x2,xn,是区间0,1上的单调递减函数列。又因为xn在区间0,1上是连续函数且xn1，所以fnx=x,x2,xn,是区间0,1上连续的单调递减函数列且为有界函数列。根据有界性可知函数列fnx必存在极限函数。分段讨论可得极限函数：fx=0, 0x11, x=1 可见：f(x)在分段点x=1处f(1)=1,，因为，所以f(x)在分段点x=1处不连续，即f(x)在-,1上不是连续函数。 但是半连续函数却有保半连续性。定理4.4.1：若fnx是a,b上对n而言的单调递增（减）的下（上）半连续函数列且有上（下）界，则limnfnx=f(x)存在，且f(x)在a,b上下（上）半连续

18、。证明：不妨我们证下上半连续，即在于证明：，当时有，因，所以，当时有将固定，因在上上半连续，所以，当时有。又 ，故更有 这就证明了在上上半连续。下面，我们提出相反的问题：是否半连续函数一定可以作为连续函数的单调极限呢？回答是肯定的。定理4.4.2 设在上有定义，且上半连续，则存在一个递减的连续函数序列 使得 （即：上半连续函数，总可用连续函数从上方逼近）证明：首先构造函数序列，然后证明连续，有下界，从而，然后证明。 1、 构造（）对于固定的与，函数是的连续函数，所以上半连续，已知是上半连续的，是的上半连续函数（定理3），从而在上有上界，且达到上确界（定理4），即使得 （1）（注意实际与有关，）

19、今定义 （2）下面证明满足各项要求。(证明连续）由（1）、（2）式知 （3）从而所以 此式对任意的都成立，互换也成立，因而得 此式表明在上连续。3、（证明）设，则 （由式3） （因） 所以。4、（序列有下界）对任一固定的，在（3）式中令，可知（对一切成立），故，有下界。5、由3、4知;存在且。6、（证明）因上半连续，当，时有 (4)又因为上半连续，所以在上上有界，因此对固定的，当时有。这是因为若不收敛于，则的邻域，使得在此邻域之外（这里是的某一子序列）。但在上有上界，即：，使得（当时），因此 这与（当时矛盾 。由此可知，当时，于是由（4）式 但 从而更有 令取极限，得由的任意性，知再由5的结论

20、可得。证毕。4.5与连续函数相比的其他不同性质（1）一个上半连续函数和一个下半连续函数代数和不一定为半连续函数。（2）连续函数具有介值性，而半连续函数的介值定理不成立。例4.5.1 设fx=2, 0x10, 1x2 ，gx=-1, 0x1/23, 1/20,0，当xE，x-x0时，有 fxfx0+ ，由半连续函数的定义可知f(x)在0,2上是上半连续的；同理我们可以知道g(x)在0,2上是下半连续的；而fx+gx=1 0x1/2 5 1/2x13 1x2，我们发现它在点x=1处不满足下半连续，在点x=1/2不满足上半连续，所以它不是个半连续函数。例4.5.2 设fx=2, 0x10, 10,存

21、在x0的邻域U(x0)，使得对任意的xU(x0)，有fx-f(x0)，则称f在点x0处上半连续；如果，即对任意-，则称f在点x0处下半连续。结论：由半连续函数的定义可以看出：它不同于连续函数，也有别于分段函数。对于连续函数可直接用其性质处理；对于不连续函数，若其为半连续的函数，则可以运用半连续函数的相关性质来解决相关问题。在实际分析过程中，应利用半连续函数的性质来研究连续函数；反之，也可以从连续函数的角度去探索半连续函数某些特有的性质，通过知识间的迁移、交融最终达到我们研究问题、解决问题的目的。参考文献：【1】 华东师范大学数学系.数学分析, 高等教育出版社,2002.【2】 裴礼文,数学分析中的典型问题和方法,高等教育出版社,1993.【3】 刘玉莲,傅沛仁,数学分析讲义(第四版), 高等教育出版社,2002. 【4】 钱吉林,数学分析题解精粹, 崇文书局, 2003.【5】 孙本旺，数学分析中的典型例题和解题方法，湖南科学技术出版社，1987.【6】 郑步南,数学分析典型题选讲,广西师范大学出版社, 2002.【7】 徐利志，王兴华, 数学分析的方法及例题选讲,高等教育出版社.1983.【8】 张恭庆，泛函分析讲义，北京大学出版社