曲面曲线及其方程最新课件

1、曲面曲线及其方程最新第五节第五节 空间曲面、曲线及其方程空间曲面、曲线及其方程一一. 空间曲面及其方程空间曲面及其方程二二. 空间空间 曲线及其方程曲线及其方程第六节第六节 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程曲面曲线及其方程最新一一. 曲面及其方程曲面及其方程1. 曲面及其方程2. 球面及其方程4. 二次柱面5. 旋转曲面及其方程3. 柱面及其方程第五节第五节 空间曲面、曲线及其方程空间曲面、曲线及其方程曲面曲线及其方程最新1. 曲面及其方程 ,建点就与有序的三个实数系后在空间中建立直角坐标 立了对应关系。 , , 的方程来描述。含变量空间中的曲面可以用包zyx 程的解析究可归结为对相应的方

2、对曲面的几何性质的研 性质的研究。曲面曲线及其方程最新 曲面方程 ) , ,( , 3上的位于一张曲面点中在空间zyxMR , , 满足方程的坐标充要条件是点zyxM 0) , ,(。zyxF 0) , ,( 的曲面方程。称为方程zyxF : 3是指空间中的点集中的曲面R ),( , 0) , ,( | ) , ,(3。RzyxzyxFzyx曲面曲线及其方程最新例例解解 )2, 4 , 1 ( ),2 , 3, 2( ),( BAzyxM恒保持与两定点已知动点 , 求动点的轨迹方程。等距 , | | : 即有应满足条件动点MBMAM )2()4() 1()2()3()2(222222。zyxz

3、yx ,的轨迹方程为整理后得动点两边平方M 0247。zyxMAB 的垂直平分平面。这是线段 AB曲面曲线及其方程最新2. 球面及其方程 球面及其方程 ) , ,( , 00003的距离到定点中在空间zyxMR 该球面的方程为为半径的球面。以r , , 0为中心称为一个以点的点的集合等于Mr )()()(2202020。rzzyyxx , 的球面的方程为半径等于球心位于坐标原点r 2222。rzyx曲面曲线及其方程最新 , )()()( 2202020得展开将球面方程rzzyyxx 02222202020000222。rzyxzzyyxxzyx :由此发现 , , , . 1其二次项系数相等。

4、的二次方程球面方程是一个关于zyx , , . 2。项球面方程不含二次混合xzyzxy ? . 3面方程的三元二次方程必为球任何一个满足上述两条曲面曲线及其方程最新 2 1 的三元二次方程和设有满足条件)0( , 0222AGFzEyDxAzAyAx , 0 222AGzAFyAExADzyx则 , 得配方后 ; , 04 222为一球面时当AGFED ; , 04 222为一点时当AGFED , 442222222222AAGFEDAFzAEyADx曲面曲线及其方程最新例例解解 086 222表示什么曲面？方程yxzyx , 得将方程配方后 , 25)4()3(222zyx的球面。半径等于为

5、中心故原方程表示以点 5 , )0 4, , 3( M曲面曲线及其方程最新3. 柱面及其方程 柱面的概念 , * , 3LLR平行的直线与某定直线中在空间 , 称为柱面。平行移动所生成的曲面沿已知曲线 柱面上与定直称为柱面的准线；已知曲线 * 母线。平行的直线称为柱面的线 L 称来命名。柱面通常以其准线的名* LL曲面曲线及其方程最新柱面的方程柱面的方程 , 0),( : yxFxyS平面上的曲线的准线为设柱面 , 求此柱面的方程。轴柱面的母线平行于 z , ),( 0000zyxM在柱面上任取一点 , 0平面交轴作直线平行于过点xyzM ) 0 ,( 00。于点yxMOxyz0MM , 其坐

6、标满足上必在准线点M 0),(00。yxF. 0),( 00yxFM 的坐标满足方程故点曲面曲线及其方程最新柱面的方程柱面的方程 , 0),( : yxFxyS平面上的曲线的准线为设柱面 , 求此柱面的方程。轴柱面的母线平行于 zOxyz0MM)0 ,(111yxP),(11zyxP ),(上在柱面SzyxM 0),( ),(。的坐标满足yxFzyxM曲面曲线及其方程最新 , , 3的方程而缺少变量只含变量中在空间zyxR , 0),(yxF , 平面上的曲线准线为轴为母线平行于xyz 0),(yxF 0z )( 柱面方程的柱面的方程。曲面曲线及其方程最新 :类似地 0),(。轴的柱面方程为母

7、线平行于 xzyF 0),(。轴的柱面方程为母线平行于 yzxF曲面曲线及其方程最新例例 , 3？下列方程表示什么曲面中在 R 1 . 122。 yx 14 . 222。 zx 0 . 3。 yz : , 平面上的单位圆准线为轴母线平行于xyz122 yx。 0z 圆柱面 : , 平面上的椭圆准线为轴母线平行于xzy1422 zx。 0y 椭圆柱面 : , 平面上的直线准线为轴母线平行于yzx0 yz。 0 x 。轴的平面实际上是平行于 x曲面曲线及其方程最新二次柱面及其方程二次柱面及其方程 , 称为二次柱面。曲线的柱面准线为坐标面上的二次 : . 1 圆柱面 )()(222。rbyax )(

8、)(222。rbzay )()(222。rbzaxOxyz )()( :222rbyax曲面曲线及其方程最新二次柱面及其方程二次柱面及其方程 , 称为二次柱面。曲线的柱面准线为坐标面上的二次 : . 2椭圆柱面 12222。byax 12222。czby 12222。czax 1 :2222byaxOxyz曲面曲线及其方程最新二次柱面及其方程二次柱面及其方程 , 称为二次柱面。曲线的柱面准线为坐标面上的二次 : . 3抛物柱面 22。xpy 22。xpz 22。zpx : . 4双曲柱面 12222。byax 12222。czby 12222。czax 曲面曲线及其方程最新例例解解 2 , 与

9、曲面准线为平面轴求母线平行于zz 194222的交线的柱面方程。zyx 准线方程194222zyx 2z 2 上的曲线即为平面z ) 2 ( , 59422上在平面zyx 故所求柱面方程为 ) ( 59422轴的椭圆柱面母线平行于。zyx曲面曲线及其方程最新旋转曲面及其方程旋转曲面及其方程 旋转曲面的概念 , 3旋转一周绕某一定直线由一条曲线中在空间LR , 称为旋转曲面。所生成的几何体 。称为旋转曲面的旋转轴直线 L 的名称来命名。旋转曲面通常以曲线 周。旋转曲面的交线为一圆垂直于旋转轴的平面与Oyzx曲面曲线及其方程最新旋转曲面的方程旋转曲面的方程 : Lyz 平面上的曲线求将 0),(z

10、yF 0 x 轴旋转一周所生成的绕 z 旋转曲面的方程。OyzxL曲面曲线及其方程最新OyzxL , ), 0( 00zyNL上任取一点在曲线 . 0),( 00zyFN 的坐标满足方程点), , 0(00zyN 2022yyx 0zz 0) ,(22。zyxF NzL轴旋转一周时，点绕当曲线 ：轴旋转一周生成一圆周绕z220 yxy z 0z ),(满足关系式：圆周上点的坐标zyx 0),(00得到旋转曲面方程：将上述关系式代入方程yxF曲面曲线及其方程最新 旋转曲面的方程 : Lyz 平面上的曲线 0),(zyF 0 x 轴旋转一周绕 z 程为所生成的旋转曲面的方 0) ,(22。zyxF

11、 , , 22代替。用不动轴绕yxyzz 0),(zyF 0 x 0),(zyF 0 x , , 22代替。用不动轴绕zxzyy曲面曲线及其方程最新 旋转曲面的方程 : Lxy平面上的曲线 0),(yxF 0z 轴旋转一周绕 x 程为所生成的旋转曲面的方 0) ,(22。zyxF , , 22代替。用不动轴绕zyyxx 0),(yxF 0z 0),(yxF 0z , , 22代替。用不动轴绕zxxyy曲面曲线及其方程最新 旋转曲面的方程 : Lxz 平面上的曲线 0),(zxF 0y 轴旋转一周绕 x 程为所生成的旋转曲面的方 0) ,(22。zyxF , , 22代替。用不动轴绕zyzxx

12、0),(zxF 0y 0),(zxF 0y , , 22代替。用不动轴绕yxxzz曲面曲线及其方程最新例例解解求 12222czby 0 x 面方程。轴旋转一周所生成的曲绕 z 所生成的曲面方程为 , 1) (222222czbyx 1 222222。即czbybx )(旋转椭球面面方程轴旋转一周所生成的曲绕 y 1222222。czbycx曲面曲线及其方程最新例例 曲面？下列方程是否表示旋转 ,。请说明它是如何产生的如果是 1 . 1222222。czayax 0 . 222。zyx 0 . 3222。zyx 1754 . 4222。zyx 是 不是 是 是曲面曲线及其方程最新二二. 空间曲

13、线及其方程空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程2. 空间曲线的参数方程3. 空间曲线在坐标面上的投影曲面曲线及其方程最新 , 3条曲线。相交的两张曲面确定一空间中在 R 0),( : 0),( : 21zyxGzyxF与相交的两曲面 的方程为所确定的曲线 , 0),(zyxF 0),(。zyxG 3中曲线的一般方程。该方程组称为空间R 3不止一对曲面的交线。中的一条曲线可以作为空间R1. 空间曲线的一般方程曲面曲线及其方程最新例例解解 , 3空间中写出R 心的单位圆的方程。平面上以坐标原点为圆xy 1 22与轴的圆柱面看成母线平行于 yxz , 则所求方程为坐标面的交线xy , 122 yx

14、 0。z曲面曲线及其方程最新例例解解 , 3空间中写出R 心的单位圆的方程。平面上以坐标原点为圆xy 1 222与的单位球面看成以坐标原点为中心zyx , 则所求方程为坐标面的交线xy , 1222zyx 0。z曲面曲线及其方程最新例例解解 , 3空间中写出R 心的单位圆的方程。平面上以坐标原点为圆xy 1 1 22222的交线与球面看成圆柱面zyxyx 则所求方程为 , 122 yx 1222。zyx , 相同。但它们的几何意义却不数解相同尽管这三个方程组的代曲面曲线及其方程最新2. 空间曲线的参数方程 3上的任意一点中的曲线来表示空间用参数Rt : ),(的坐标zyxM , )( txx

15、, )( tyy , )( tzz , bta 的参数方程。线则称该方程组为空间曲曲面曲线及其方程最新Oxy例例解解 222上以角速度在圆柱面若点ayxP , 轴正向作匀速沿平行于同时又以速度轴匀速旋转绕zvz ,的运动方程。求点直线运动PtzaAPP , 处开始运动轴上点由设点AxP ),( 处。时运动到点在时刻zyxPt )0 ,( 。平面上的投影为在点yxPxyP) ( , 转动则tPAO ) ( , |上升tvPP , sin , cos 。故tvztaytaxOxy )0 ,(yxP tAayx曲面曲线及其方程最新Oxy例例解解 , 轴正向作匀速沿平行于同时又以速度轴匀速旋转绕zvz

16、 ,的运动方程。求点直线运动PtzaAPP 的运动方程可表示为点P 螺旋线。该方程表示的曲线称为, costax , sintay 。tvz )0, t 222上以角速度在圆柱面若点ayxP曲面曲线及其方程最新3. 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 , , xyz轴的柱面作母线平行于为准线以空间曲线 平面上的投影。在平面的交线为曲线与称柱面xyxyxy ,称为投影柱面。称柱面此时yxzo曲面曲线及其方程最新 3的方程为中曲线设R , 0),(1zyxF , 0),(2zyxF 的方程轴的柱面便得到母线平行于由方程组消去变量xyzz 0),(。yxF , 。即为投影柱面柱面上位于

17、柱面曲线xyxy 坐标面在的交线就是曲线与坐标面投影柱面xyxyxy :上的投影 , 0),(yxF 0。zyxzo曲面曲线及其方程最新 由方程组 0),(1zyxF 0),(2zyxF , 坐可得往消去变量yzx 的方程标面上的投影柱面zy , 0),(zyF 坐标面上的投影为在则曲线yz , 0),(zyF 0。x , 同理曲面曲线及其方程最新 由方程组 0),(1zyxF 0),(2zyxF , 坐可得往消去变量xzy 的方程标面上的投影柱面zx , 0),(zyF 坐标面上的投影为在则曲线zx , 0),(zxF 0。y , 同理曲面曲线及其方程最新例例解解 1) 1() 1( 1 :

18、222222的交线与求球面zyxzyx 。在三个坐标面上的投影 . 1坐标面上的投影在 xy 由 1222zyx1) 1() 1(222zyx : )( 两式相减消去变量 z , 0) 1() 1(2222zzyy 1 。即 zy , 1 得一个中代入两个球面方程的任以yz 022 : 22。投影柱面方程yyxyx , 所求投影为从而 , 02222yyx 0。z) (平面上的椭圆xy曲面曲线及其方程最新例例解解 1) 1() 1( 1 :222222的交线与求球面zyxzyx 。在三个坐标面上的投影 . 2坐标面上的投影在 xz 由 1222zyx1) 1() 1(222zyx : )( 两

19、式相减消去变量 y , 0) 1() 1(2222zzyy 1 。即 zy , 1 得一个中代入两个球面方程的任以zy 022 : 22。投影柱面方程zzxzx , 所求投影为从而 , 02222zzx 0。y) (平面上的椭圆xz曲面曲线及其方程最新例例解解 1) 1() 1( 1 :222222的交线与求球面zyxzyx 。在三个坐标面上的投影 . 3坐标面上的投影在 yz 由 1222zyx1) 1() 1(222zyx : )( 两式相减消去变量 x , 0) 1() 1(2222zzyy 1 。即 zy 1 : 。投影柱面方程zyzy , 所求投影为从而 , 1 zy 0。x) (平

20、面上的直线段yzyzO曲面曲线及其方程最新请注意：一条曲线在一个坐标面上的投影是唯一的。坐标面上的一条曲线可以是无穷多条曲线的投影。 曲面曲线及其方程最新半球面与锥面的交线为)(34:2222yxzyxzC由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1yxzOx2 + y2 1于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2 + y2 = 1z = 0这是xoy面上的一个圆.求上半球面 和锥面224yxz)(322yxz的交线在xoy面上的投影曲线.练习练习圆柱面)(解解:曲面曲线及其方程最新1、椭球面2、 抛物面3、双曲面第六节第六节 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程曲面曲线及其方程最新 :曲面的

21、对称性 , ),(),( . 1zyxFzyxF若 )( 其余类推对称。则曲面关于坐标面 xy , ),(),( . 2zyxFzyxF若)( 其余类推轴对称。则曲面关于坐标轴 x , ),(),( . 3zyxFzyxF若 称。则曲面关于坐标原点对曲面曲线及其方程最新研究方法是采用平面截割法.二次曲面二次曲面由x, y, z的二次方程:ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, , i, j 为常数且a, b, 不全为零.c, d,e, f曲面曲线及其方程最新几种常见二次曲面几种常

22、见二次曲面.(1) 椭球面椭球面zoxyO1222222Czbyax对称性有界性czbyax| | ,|曲面曲线及其方程最新oxyOz2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆kzckbyax2222221当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.1 用平面z = 0去截割, 得椭圆012222zbyaxkzkccbykccax1)()(2222222222即曲面曲线及其方程最新3 类似地, 依次用平面x = 0, 平面 y = 0截割, 得椭圆:,012222xczby.012222yczaxzoxyO曲面曲线及其方程最新椭球

23、面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别122222 czayx方程可写为方程可写为,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可写为方程可写为曲面曲线及其方程最新（2 2）双曲抛物面）双曲抛物面zbyax2222zxy曲面曲线及其方程最新002222zbyaxzxy022yzax022xzby交线为：双曲抛物面与坐标面xy(1)交线为：与坐标面双曲抛物面xz交线为：双曲抛物面与坐标面yzzb

24、yax2222曲面曲线及其方程最新kzkbyax2222的交线为：双曲抛物面与平面kz )2(0k0kkzkbykax1)()(2222kzkaxkby1)()(2222zxyzbyax2222曲面曲线及其方程最新kybakzax222)(的交线为：双曲抛物面与平面ky zxykxabkzby222)(的交线为：平面双曲抛物面与kx zbyax2222曲面曲线及其方程最新(3) 椭圆抛物面椭圆抛物面: zbyax22221 平面 z = k ,(k 0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆.kzkbyax2222k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.zyxo2

25、用平面 y = k去截割, 截线是抛物线,2222kyzbkax. ,022axzk为时当曲面曲线及其方程最新3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.kxzbyak2222. ,022byzk为时当zyxozbyax2222曲面曲线及其方程最新（4 4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222czbyax(a, b, c均大于0)以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为,12202222czbyax.0zz 椭圆曲面曲线及其方程最新以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为,12202222byczax.0yy 双曲线以平行于 yz 面的平面x=x0

26、截曲面，所得截线方程为：,12202222axczby.0 xx 双曲线1222222czbyax曲面曲线及其方程最新（5 5）双叶双曲面）双叶双曲面1222222czbyax(a, b, c均大于0)以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为, 12202222czbyax.0zz 椭圆0zxy曲面曲线及其方程最新以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为,12202222byaxcz.0yy 双曲线以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,12202222axbycz.0 xx 双曲线0zxy1222222czbyax曲面曲线及其方程最新椭球面

27、、抛物面、双曲面、椭球面、抛物面、双曲面、截割法截割法.（熟知这几个常见曲面的特性）（熟知这几个常见曲面的特性）小结曲面曲线及其方程最新思考题思考题方程方程 3254222xzyx表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？思考题解答思考题解答 3254222xzyx.316422 xzy表示双曲线表示双曲线.曲面曲线及其方程最新思考题解答思考题解答 3254222xzyx.316422 xzy表示双曲线表示双曲线.曲面曲线及其方程最新三三、 画画出出下下列列各各曲曲面面所所围围成成的的立立体体的的图图形形：1 1、4,2,1,0,0yzyxzx ；2 2、222,0,0,0Ryxzyx , ,222Rz

28、y ( (在在第第一一卦卦限限内内) ) . .练练 习习 题题曲面曲线及其方程最新练习题答案练习题答案一一、 0922zxy, ,位位于于平平面面3 z上上的的抛抛物物线线. .xyzooxyz二、二、. 1. 2曲面曲线及其方程最新. 2. 1三、三、x1yzo2xyzoRRR曲面曲线及其方程最新1 1共共面面且且，使使，求求一一单单位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbia,22,2000 2 2.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx3 3.1243:,12:)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxy

29、LM都都相相交交的的直直线线且且与与两两直直线线求求过过点点 曲面曲线及其方程最新4 4.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL5 5.,1101:求求旋旋转转曲曲面面的的方方程程轴轴旋旋转转一一周周绕绕直直线线zzyxL 曲面曲线及其方程最新典型例题典型例题例例1 1解解共共面面且且，使使，求求一一单单位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得1|0ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 曲面曲线及其方程最新例例2 2解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即由题设知由题设知114sinnnnn222222)1 (5)1 ()8()4(1)8()1 ()4(51)1 ( ,2723222 即即由此解得由此解得