无穷小阶的比较课件

1、无穷小阶的比较无穷小阶的比较一一. .无穷小阶的比较无穷小阶的比较二二. .等价无穷小替换原理等价无穷小替换原理2.6 无穷小阶的比较无穷小阶的比较无穷小阶的比较无穷小阶的比较一一. .无穷小阶的比较无穷小阶的比较 虽然无穷小量都是趋于零的变量，但是不同的无穷小量虽然无穷小量都是趋于零的变量，但是不同的无穷小量趋于零的速度却不一定相同趋于零的速度却不一定相同. 为了反映不同的无穷小趋于零为了反映不同的无穷小趋于零的快慢程度，我们引入无穷小的阶的比较的快慢程度，我们引入无穷小的阶的比较.定义定义2.6.1 设设 ，是在自变量同一变化过程中的两个无是在自变量同一变化过程中的两个无穷小，且穷小，且

2、0，则，则( )o lim0 (1) 如果如果 ,则称则称 是是 的的高阶无穷小高阶无穷小, 记做记做 无穷小阶的比较无穷小阶的比较(2)如果如果 , 则称则称 是是 的的低阶无穷小低阶无穷小. lim (3) 如果如果 , 则称则称 与与 是是同阶无穷小同阶无穷小. lim0c 特别地特别地, 当当c = 1时时, 则称则称 是是 的的等价无穷小等价无穷小, 记做记做 (4) 如果如果 则称则称 是是 的的k阶无穷小阶无穷小. lim0,0kck 无穷小阶的比较无穷小阶的比较例例122000sinlim0, lim, lim1因为xxxxxxxxx 201cos1 lim2xxx 因因为为所

3、以所以, 当当x0时时, 与与 是同阶无穷小是同阶无穷小. 1cos x 2x 例例2 所以当所以当 x0时时, 是是x的高阶无穷小；的高阶无穷小； x是是 的低阶无的低阶无2 x2 x穷小；穷小；sin x 与与 x 是等阶无穷小是等阶无穷小.无穷小阶的比较无穷小阶的比较所以当所以当 x0时时, ln(1+x) x.0ln(1) limxxx 因因为为 10lim ln(1)ln1xxxe 又又01limxxex 01 limln(1)xtttet 令令101lim1ln(1)ttt 所以当所以当 x0时时, 1 .xex 例例3无穷小阶的比较无穷小阶的比较二二. . 等价无穷小替换原理等价

4、无穷小替换原理( )o 证明证明 必要性必要性 设设, 则则limlim(1)lim10 因此因此( ),( )oo 即即充分性充分性 ( ),o 设设则则( )( )limlimlim(1)1oo 即即定理定理2.6.1 与与 是等价无穷小的充分必要条件为是等价无穷小的充分必要条件为无穷小阶的比较无穷小阶的比较limlim 则则 定理定理2.6.2 (等价替换原理等价替换原理) 设设 为同一极限过为同一极限过, , , 证明证明 根据极限运算法则根据极限运算法则limlim limlimlimlim lim 程中无穷小量程中无穷小量, 且且,若若存在存在, 无穷小阶的比较无穷小阶的比较1.

5、sin x x ; 2. tan x x ;6. 1 ln ,xaxa 27. 1cos ;2xx 18. (1)1 .naaxxn 1 ;xex 5. arctan x x ;3. ln(1+x) x ; 4. arcsin x x ; 0 x 当当时时, , 请记住以下几个常用的等价无穷小量请记住以下几个常用的等价无穷小量:注注 由此定理可知由此定理可知,求两个无穷小量商的极限时求两个无穷小量商的极限时, 如果分子如果分子, 来代换原来的分子和来代换原来的分子和 分母分母, 使得计算简化使得计算简化. 分母的等价无穷小量存在分母的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无穷小则就可用它们

6、各自的等价无穷小量量无穷小阶的比较无穷小阶的比较 例例4 求求0sin 5 lim.tan 3xxx0, x 因因为为当当时时解解0sin5limtan3xxx所所以以 sin5 5 ,tan33xxxx 05lim3xxx 53 无穷小阶的比较无穷小阶的比较0cos1lim.1xxxe 解解 0, x 因因为为当当时时21cos, 12xxxex 0cos1lim1xxxe 所以所以202limxxx 0lim()02xx 例例5 求求无穷小阶的比较无穷小阶的比较运用等价无穷小的代换运用等价无穷小的代换, 有有sin222200cos (1)sinlimlim cos1tanxxxx exx

7、xxsin220cos (1)lim.tanxxx ex 例例6 求求sin221sin ,tanxexxx 解解 因为，当因为，当 ，有，有sinx0, 且且0 x 无穷小阶的比较无穷小阶的比较30tansin lim.xxxx 30tansinlimxxxx 220lim2cosxxxx 01lim2cosxx 解解20sin(1cos )limcosxxxxxx 301sin (1)coslimxxxx 12 例例7 求求3300tansinlimlim.xxxxxxxx 注注无穷小阶的比较无穷小阶的比较121 cos0lim(1sin).xxx 201 limsin1cosxxx 因因为为 1221 cos0lim(1sin)xxxe 则则 解解220lim22xxx注注 使用无穷小量的等价替换使用无穷