机械测试技术数学基础复数与复变函数课件

1、机械测试技术数学基础复数与复变函数1第一章 复数与复变函数1.11.1复数复数定义两复数相等两复数的实部和虚部对应相等zxiy与zxiy互为共轭复数注意：两复数不能比较大小一一 复数的基本概念复数的基本概念二 复数的四则运算 111zxiy222zxiy设1 加（减）法：121212()()zzxxi yy2 乘法：12112212121221()() ()()z zxiyxiyx xy yi x yx y21.i 的数称为复数，i为虚单位，zxiy形如机械测试技术数学基础复数与复变函数23 除法：112122112222222222zx xy yx yx yizxyxy三三 复平面复平面实轴

2、虚轴.x轴oy轴z=x+iyxyz 在复平面上，复数的加减法和向量的加减法之间保持一致。机械测试技术数学基础复数与复变函数31.2复数的三角表示复数的三角表示一一 复数的模和辐角复数的模和辐角1 模模定义 复数z所对应的向量的长度叫做z的模，记作 .| z22| zxy关于复数模的不等式：| |,| |,| |xzyzzxy1212| |zzzz1212| |zzzz22121212|()()zzxxyy机械测试技术数学基础复数与复变函数42 辐角辐角定义 非零复数z对应向量的方向角称为z的辐角，记作argz其中在内的辐角称为z的主辐角，记作argz.复数z主辐角的计算：arg zarctan

3、,0,yxyx任意,0,02xy,0,02xyarctan,0,0yxyxarctan,0,0yxyx2argargzkz机械测试技术数学基础复数与复变函数5121122,iizrezr e设，则12()121 2,iz zrr e zxiy代数形式二二 复数的三角表示复数的三角表示1 复数的三种形式复数的三种形式三角形式 (cossin )zri指数形式izre例 写出复数z=-1-i的三角形式和指数形式。2 用指数形式表示复数的乘除法用指数形式表示复数的乘除法12()11222 (0)izrezzr欧拉公式cossiniei机械测试技术数学基础复数与复变函数6因此有 1122|,|zzzz

4、例 用指数表示计算(13 )(3)ii1 212| |, z zzz1|212arg(z)zargzargz1122argzargzargzz3 共轭复数的相关公式共轭复数的相关公式(2);zz1212(3);zzzz1212;zzzz1122;zzzz(1)| |, zzargzargz 机械测试技术数学基础复数与复变函数72(4)| ;z zz(5)re,im.22zzzzzzi(6) ( , , ,)( , , ,)r a b cr a b c四四 乘方与开方运算乘方与开方运算1 乘方乘方cossinnninnzr erninde moivre 公式： cossincossinninin

5、机械测试技术数学基础复数与复变函数82 开方开方:若满足，则称w为z的n次方根，nwz记为 .nwz几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径 的圆的内接正n边形的n个顶点。设i, zreiweniniere由定义有2, (0,1,2,1)nrkknn推得所以22arg|, (0,1,2,1)kkziinnnnwrez ekn 机械测试技术数学基础复数与复变函数91.3 平面点集的一般概念一一 开集与闭集开集与闭集去心邻域：00 |zz内点：开集：聚点：孤立点：边界点：边界：邻域：复平面上以为半径的开圆的点集，记为0z0|zz为中心，有界集：无界集：机械测试技术数学基础复数与

6、复变函数10二二 区域区域定义闭域闭域1) d是一个开集开集;2) d是连通连通的， 就是说d中任何两点都可以用完全属于d的一条折线连接起来区域加上它的边界.ddc记为平面点集d称为一个区域区域, 如果它满足下列两个条件:常见的区域：带形区域；圆形区域；环形区域；半平面等oxyoxyoxyoxy12imyzyoxy| zr|rzrre0z 12arg z例 下列各式所表示的点集是怎样的图形，是不是区域。1) z+z0 2)|z+2-i|1 3)0argz3机械测试技术数学基础复数与复变函数11圆 ：re (02 )iz或| |r (02 )z线段：121() (0t1)zzt zz 简单曲线：

7、简单曲线：z=x(t)+iy(t), (atb)连续曲线三三 平面曲线平面曲线对于满足 at1b, at2b 的 t1与 t2, 设c: z=z(t) (atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为c的起点与终点.当 t1t2而有z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 c的重点重点.曲线 c,称为简单曲线简单曲线或若尔当若尔当(jardan)曲线曲线. 没有重点的连续abcab(c)机械测试技术数学基础复数与复变函数12若尔当定理：若尔当定理： 任意一条简单闭曲线 c 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去 c 外, 一个是有界区域,称为 c 的内部内部, 另

8、一个是无界区域, 称为 c 的外部外部,c 为它们的公共边界. 定义 复平面上的一个区域 d, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于d, 就称为单连通域单连通域, 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域多连通域. 如果简单曲线 c的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 c 称为简单闭曲线简单闭曲线.a(b)单连通区域多连通区域机械测试技术数学基础复数与复变函数131.4 1.4 无穷大与复球面无穷大与复球面一一 无穷远点无穷远点四则运算：加减法：)(aaa乘法：)0( aaa除法：),0(0aa),(0aa)(aa复平面与扩充复平面机械测试技术数学基础复数与复

9、变函数14二二 复球面复球面nzzxyoc机械测试技术数学基础复数与复变函数151.5 1.5 复变函数复变函数一一 复变函数的概念复变函数的概念定义 设 g 是复平面上的一个点集, 如果zg 复变函数的表示形式：( )wf z例 将复变函数2wz化为其它两种形式。 ( , )( , )u x yiv x y ( , )( , )p riq r(或多个）有确定的一个复数w与它对应，( )wf z记为则说在g上定义了一个单值函数.（或多值）机械测试技术数学基础复数与复变函数16二二 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性极限的运算性质：000(1)lim( ( )( )lim( )lim(

10、 )zzzzzzf zg zf zg z000(2)lim( ) ( )lim( )lim( )zzzzzzf z g zf zg z1.函数的极限函数的极限设函数 w = f (z) 在0z的去心邻域00 |zz内有定义. 如果有一确定的复数a存在, 对于0, 总0, 使得当00 |zz时，则称a为函数( )f z当z趋向0z时的极限. 记为azfzz)(lim0或记作 f (z)a0().zz定义|( )|,f za有机械测试技术数学基础复数与复变函数170000lim( )( )(3)limlim( )0( )lim( )zzzzzzzzf zf zg zg zg z0000000lim

11、( ,)lim( ).lim( ,)xxyyzzxxyyu x yuf zav x yv例 证明函数( )zf zz当 z0 时的极限不存在。定理u(x,y) + iv(x,y) , 设 f (z) =00000+,auiv zxiy则机械测试技术数学基础复数与复变函数182. 函数的连续性函数的连续性00lim( )(),zzf zf z如果 如果 f (z) 在区域d内处处连续, 定理 函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续.连续函数的性质 ：(1)(1)连续函数的四则运算仍然连续； (2)(2)连续函数的复合函数仍然连续； (3