线性代数综合考试试卷

1、最新线性代数复习试题 （原二教文印中心）现在搬迁至学生活动中心楼下 最新线性代数复习资料 （原二教文印中心）现在已搬迁至学生活动中心楼下线订装线考试试卷20132014学年度第 一 学期 线性代数 试卷（a卷）适用年级专业：2013级理工本科考 试 形 式：（ ）开卷、（ ）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。题号一二三四五六七八总分统分人得分得分阅卷人一、选择题（每小题 3 分，共 15分。请将答案填在下面的表格内）1、下列行列式中，等于零的是（ ）。（a） （b） （c）（d）2、设三

2、阶矩阵a,，则=（ ）。 （a）（b）（c）（d）3、设矩阵，下列结果不是阶方阵的是（ ）。（a）（b）（c） （d）4、n个向量线性无关，去掉一个向量，则剩下的n1个向量（ ）。 （a）线性相关 （b）线性无关 （c）和原向量组等价 （d）无法确定其线性关系5、设矩阵且的特征值为，则=（ ）。（a）4（b）3（c）2（d）1得分阅卷人二、填空题（每题3分，共15分）1、排列453162的逆序数为 。2、设a、b均为3阶方阵，且，则= 。3、设=（2，0，1），b=（2，1），则= 。4、向量组的秩为 。5、3阶方阵的特征值为则= 。得分阅卷人三、计算行列式或矩阵（每题8分，共 24 分）1、

3、计算行列式 2、解矩阵方程3、设，求。得分阅卷人4、 计算题（本题共12分）已知矩阵求的列向量组的秩及其一个最大无关组，并将不属于该最大无关组的向量用最大无关组线性表示。得分阅卷人五、计算题（本题共12分）求非齐次线性方程组的通解。得分阅卷人六、计算题（本题共14分）已知矩阵,（1）求矩阵特征值与特征向量；（2）求正交阵，使得为对角阵，并写出相应的对角阵。得分阅卷人七、计算题（本题共8分）设二次型,求二次型的矩阵及二次型的秩.20132014学年度第 一 学期 线性代数 试卷（a卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2013级理工本科考 试 形 式：（ ）开卷、（ ）闭卷得分阅卷人一、教师答题时

4、间： 5 分钟 选择题（每小题 3 分，共15分）1、三基类c 2、三基类 b 3、三基类a 4、三基类b 5、三基类d得分阅卷人二、教师答题时间： 5 分钟填空题（每题 3 分，共 15 分）1、三基类 2、三基类 3、三基类 4、三基类 5、三基类 得分阅卷人三、计算题 （每题 8分，共 24分）1、三基类教师答题时间： 3 分钟答： （3分） （5分）2、三基类教师答题时间： 3 分钟 答：设显然矩阵可逆，故 （2分）又因为 （4分）所以 （2分）3、三基类教师答题时间： 3 分钟答： （8分）得分阅卷人四、计算题（本题共12分）一般综合型教师答题时间： 6 分钟 答：记 （1分）则 （

5、6分）所以的列向量组的秩为3 （1分）的列向量组的一个最大无关组为 （2分）并且； （2分）得分阅卷人五、计算题（本题共12分）一般综合型教师答题时间： 6 分钟 解：记非齐次线性方程组的系数矩阵为，常数项为，则 （1分） （6分）所以对应的齐次方程组的基础解系为； （2分）非齐次线性方程组的一个特解为 （2分）所以方程组的通解为： （1分）得分阅卷人六、计算题（本题共14分）综合型教师答题时间： 10 分钟 答：（1）的特征多项式为所以的特征值为 （3分）当时，解方程。由得基础解系，所以是对应于的全部特征向量。 （2分）当时，解方程。由得基础解系，所以是对应于的全部特征向量。 （2分）当时，

6、解方程，即。由得基础解系，所以是对应于的全部特征向量。 （2分）（2）因为是矩阵的不同的特征值的特征向量，所以为正交向量组。 对它们进行单位化：令，则为正交阵 （3分）且。 （2分）得分阅卷人七、计算题（本题共8分）三基类教师答题时间： 5 分钟解: 由 , （2分）可得二次型的矩阵为: . （2分）又由, （2分）得,故二次型的秩为3. （2分）攀枝花学院考试试卷20132014学年度第 一 学期 线性代数 试卷（b卷）适用年级专业：2013级理工本科考 试 形 式：（ ）开卷、（ ）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整

7、、准确填写，填写不清者，成绩不计。题号一二三四五六七总分统分人得分得分阅卷人一、选择题（每小题 3 分，共 15分。请将答案填在相应括号内）1、设为阶方阵，且，则矩阵的行列式=（ ）。a、6b、-6c、d、2、行列式，则=（ ）。a、0b、1c、2d、33、个维向量构成的向量组线性相关的充分必要条件（ ）。a、中都不是零向量b、不都是零向量c、中任一个向量均可用该组的其余向量线性表示d、中至少有一个向量可用该组的其余向量线性表示4、使 ，都是线性方程组的解，只要系数矩阵为（ ）。a、 b、 c、 d、5、阶方阵有个不同特征值是能相似对角化的（ ）条件。a、充分非必要b、必要非充分c、充分必要d

8、、既非充分也非必要得分阅卷人二、填空题（每题3分，共15分）1、5阶行列式展开式中项的符号是 。2、设矩阵，则=。3、若向量组可由向量组线性表示，则。4、已知线性方程组有唯一解，则= 。5、3阶方阵的特征值为则= 。得分阅卷人三、计算行列式或矩阵（每题8分，共 24 分）1、求 2、已知，求3、设，向量满足，求向量。得分阅卷人四、计算题（本题共12分）已知矩阵求的列向量组的秩及其一个最大无关组，并将不属于该最大无关组的向量用最大无关组线性表示。得分阅卷人五、计算题（本题共12分）设线性方程组，若增广矩阵问满足什么条件时：（1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；（3）方程组有无穷多解，并求方程组

9、有无穷多解时的通解。得分阅卷人六、计算题（本题共14分）已知矩阵（1）求矩阵特征值与特征向量；（2）求正交阵，使得为对角阵，并写出相应的对角阵。得分阅卷人七、计算题（本题共8分）设二次型,求二次型的矩阵及其秩。20132014学年度第 一 学期 线性代数 试卷（b卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2013级理工本科考 试 形 式：（ ）开卷、（ ）闭卷得分阅卷人一、教师答题时间： 5 分钟 选择题（每小题 3 分，共15分。请将答案填在相应括号内）1、三基类c 2、三基类b 3、三基类d 4、三基类a 5、三基类a得分阅卷人二、教师答题时间： 5 分钟填空题（每题 3 分，共 15 分）1、

10、三基类 负号 2、三基类 3、三基类 4、三基类35、三基类 24得分阅卷人三、计算题 （每题 8分，共 24分）1、三基类教师答题时间： 3 分钟答： （4分） （4分）2、三基类教师答题时间： 3 分钟 答： （3分） （3分）所以 （2分）3、三基类教师答题时间： 3 分钟答：由得 （3分）所以 （5分）得分阅卷人四、计算题（本题共12分）一般综合型教师答题时间： 6 分钟 答：记 （1分）则 （6分）所以的列向量组的秩为3； （1分）的列向量组的一个最大无关组为； （2分）并且； 。 （2分）得分阅卷人五、计算题（本题共12分）一般综合型教师答题时间： 6 分钟 解：当时,，此时方程组

11、有唯一解； （2分）当且时，此时方程组无解； （2分） 且时，此时方程组有无穷多解。 （2分） （4分）所以方程组的通解为： （2分）得分阅卷人六、计算题（本题共14分）综合型教师答题时间： 10 分钟 答：（1）的特征多项式为所以的特征值为 （3分）当时，解方程。由得基础解系，所以是对应于的全部特征向量； （2分）当时，解方程。由得基础解系，所以是对应于的全部特征向量； （2分）当时，解方程。由得基础解系，所以是对应于的全部特征向量。 （2分）（2）因为是矩阵的不同的特征值的特征向量，所以为正交向量组。对它们进行单位化：令 （3分），则为正交阵 （1分）且。 （1分）得分阅卷人七、计算题（本

12、题共8分）三基类教师答题时间： 5 分钟 解: 将原二次型化为 （2分）可得二次型的矩阵 . （2分）又由 , （2分）得,故二次型的秩为3. （2分）线订装线攀枝花学院考试试卷20122013 学年度第 二 学期线性代数试卷（ a 卷）适用年级专业：2012级理工经管类本科教学班考 试 形 式：（ ）开卷、（ ）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。题号一二三四五六七八总分统分人得分得分阅卷人一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）：1、排列5173642的逆序数为_.2、已知四阶行列式

13、的第二行元素分别为 ，他们的代数余子式分别为，则行列式=.3、设为4阶方阵，且，则 .4、设是矩阵，且线性方程组有唯一解，则的列向量组线性 .5、如果一个二次型的标准型为，则此二次型的秩为 .得分阅卷人二、选择题（每题 2分，共 10 分，每题只有一个正确答案）：1、若阶矩阵互换第一, 二行后得矩阵, 则必有（ ）.； ； ； .2、设为同阶方阵，为单位矩阵，若，则下列各式中总成立的是（ ）.； ； ； .3、 设是非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组，那么下列叙述正确的是（ ）.如果只有零解，那么有唯一解;如果有非零解，那么有无穷多个解;如果有无穷多个解, 那么只有零解; 如果有无穷多个解,

14、 那么有非零解.4、设4阶矩阵的特征值为2、2、3、-1，则（ ）. 6； -6； 12； -12.5、设矩阵为正交阵，下列说法错误的是（ ）.； ； 的列向量为单位向量；.得分阅卷人三、计算题（每题8分，共 32分）：1、计算行列式 .2、已知, 求.3、已知，求矩阵.4、已知齐次线性方程组有非零解, 其中, 求的值.得分阅卷人四、证明题（共8分）已知向量组线性无关，若向量组满足： ， ， ；判断向量组的线性相关性.得分阅卷人五、（共 10分）求矩阵对应的列向量组的秩，并求一个最大无关组 .得分阅卷人六、（共 10分）设三元非齐次线性方程组,若,且是两个已知解向量,求的通解.得分阅卷人七、（

15、共 10分）已知方阵的特征值为1）求的值；2）判断是否可以对角化.得分阅卷人八、（共 10分）已知二次型： ，用正交变换化此二次型为标准型，并求正交变换矩阵.20122013 学年度第 二 学期线性代数试卷（ a 卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2012级理工经管类本科教学班考 试 形 式：（ ）开卷、（ ）闭卷得分阅卷人一、填空题三基类 教师答题时间： 2分钟（每小题 2分，共 10 分）1、12; 2、1; 3、8; 4、无关; 5、3.得分阅卷人二、选择题三基类 教师答题时间： 2分钟（每题2分，共 10分）1、c； 2、a; 3、d； 4、d； 5、a；得分阅卷人三、计算题三基类教

16、师答题时间： 15 分钟（每题8分，共32分），1、解：由= （2分）. （6分）2、解： （3分） . （5分）3、解： （3分） （3分）. （2分）4、解： 由 , （5分）即 , （2分）得 . （1分）得分阅卷人四、证明题三基类 教师答题时间： 5分钟（8分）证明：由， （2分）由，可逆，故两个向量组可相互线性表出,因此两个向量组等价. （3分）由向量组线性无关，得,有, （2分）故向量组线性无关 . （1分） 得分阅卷人五、 一般综合型 教师答题时间： 5分钟（10分）解：由，（4分）故向量组的秩为2， （3分）最大无关组为和. （3分） 得分阅卷人六、 一般综合型 教师答题时间：

17、 5分钟（10分） 解: 由得的基础解系含一个非零向量, .（4分）故 为的基础解系. .（4分）从而的通解: ,为任意常数. .（2分） 得分阅卷人七、 一般综合型 教师答题时间： 5分钟（10分） 解：1）由已知, （3分） 得 (2分) 2）当时，由， （2分）得 ，故对应两个线性无关的特征向量，(2分)故 可以对角化. （1分）得分阅卷人八、 综合型 教师答题时间：10分钟（10分）解: 由(2分)令得。 (2分)对应特征向量为,. (3分)单位化，得令()= (2分)由正交变换，将二次型化为标准形，为。 (1分)线订装线攀枝花学院考试试卷20122013学年度第 二 学期线性代数试卷

18、（ b 卷）适用年级专业：2012级理工经管类本科教学班考 试 形 式：（ ）开卷、（ ）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。题号一二三四五六七八总分统分人得分得分阅卷人一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）：1、已知行列式，交换的第1,2两行后得，则 .2、三阶方阵的行列式，则 .3、设,若有无穷多解，则= .4、设矩阵，则该矩阵对应的列向量组一定线性 .5、若向量与向量的内积为2，则_.得分阅卷人二、选择题（每题 2分，共 10 分，每题只有一个正确答案）：1、设二阶矩阵，则的逆矩

19、阵（ ）. ； ；.2、若阶矩阵、满足，则（ ）. ； ； ； .3、元齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）. ; ;；.4、向量组线性相关的充要条件是（ ）.中至少有一个零向量；中至少有两个向量成比例；中每个向量都能由其余向量线性表出；中至少有一个向量能由其余向量线性表出.5、若矩阵与相似，则正确的结论是（ ）. 与的特征值不相同; 与特征值不完全相同;与有相同的特征值; 与的特征值没有关系.得分阅卷人三、计算题（每题8分，共 32分）：1、计算行列式：.2、已知，求.3、已知可逆,求.4、设向量组,线性相关，求.得分阅卷人四、证明题（8分）已知向量组和满足： ， ， ；证明：向量组线性

20、相关. 得分阅卷人五、（10分）已知：向量组， ，；求向量组的秩,并求一个极大无关组.得分阅卷人六、（10分）已知矩阵及满足: ,且,若,求线性方程组的通解.得分阅卷人七、（10分）已知矩阵 ，求的特征值及.得分阅卷人八、（10分）设二次型 ，用正交变换化此二次型为标准型，并求正交变换矩阵.20122013 学年度第 二 学期线性代数试卷（ b 卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2012级理工经管类本科教学班考 试 形 式：（ ）开卷、（ ）闭卷得分阅卷人一、填空题三基类 教师答题时间： 2分钟（每小题 2分，共 10分）1、-2; 2、-4; 3、6; 4、2; 5、相关.得分阅卷人二、选

21、择题三基类 教师答题时间： 2分钟（每题2分，共 10分）1、d； 2、c; 3、b； 4、d； 5、c；得分阅卷人三、计算题三基类教师答题时间： 15 分钟（每题8分，共32分），1、解: （4分）.（4分）2、解: （4分）.（4分）3、解:由 （2分）（3分）故 （3分）4、解：令 ， （4分）得，故. （4分）得分阅卷人四、证明题三基类 教师答题时间： 5分钟 （8分）证明：由,令（4分）由,得向量组线性相关. （4分）得分阅卷人五、 一般综合型 教师答题时间： 5分钟（10分）解：由； (2分) (3分)得向量组的秩为2； (2分)可选取为一个极大无关组。. (3分)得分阅卷人六、

22、一般综合型 教师答题时间： 5分钟（10分）解: 由已知是方程组的一个解向量, （3分）是方程组的一个解向量, （3分）又由,得的基础解系只含一个非零解向量, （3分）方程组的通解为: ,为任意常数. （1分） 得分阅卷人七、 一般综合型 教师答题时间： 5分钟（10分） 解：由. (4分)故特征值:；. (2分)=10. . (4分)得分阅卷人八、 综合型 教师答题时间：10分钟（10分）解：由 ， (2分) 令 得特征值1，2，5. . (2分)对应特征向量，。. (2分)单位化后，可得正交矩阵，. (2分) 由正交变换，得标准型为：。 (2分) 2011-2012 a一、选择题（每小题

23、3 分，共 15 分。请将答案填在下面的表格内）1、设a为n阶方阵，且，则=（ ）.a 、 b 、 c、 d、 2、设为阶矩阵，则下列不正确的是（ ）. a、 b 、若，则或c、 d 、3、向量组线性相关的充要条件是（ ）. a、 中至少有一个零向量 b、中至少有两个向量成比例 c、中至少一个向量可由其余向量线性表示d、中每一个向量可由其余向量线性表示4、设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（ ）. 、的列向量线性无关 、的列向量线性相关、的行向量线性无关 、的行向量线性相关5、设且a 的特征值为，则=（ ）. a、 1 b、 2 c、 3 d、 4二、填空题（每题 3 分，共 15

24、分）1、若三阶方阵的特征值为，则的值为 .2、矩阵 则 = .3、已知向量组线性无关，若向量组的线性相关性为 . 4、设a b均为3阶方阵，且，则| . 5、矩阵对应的二次型是_.三、求解下列行列式或矩阵（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）1、 . 2、若矩阵，求.3、已知a=，又，求.四、证明题（每题 8 分，共 8 分）已知是齐次线性方程组的两个线性无关的解，是非齐次线性方程组的解，求证,线性无关.五、求解下列方程组（每题 10 分，共 20 分）1、求非齐次线性方程组的通解.2、设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，,是非齐次线性方程组的三个解向量，且 求该方程组的通解六

25、、综合计算题（每题 8 分，共 16 分）1、设向量组为：求该向量组的秩及其一个最大无关组，并将不属于最大线性无关组的向量用最大线性无关组线性表示.2、已知二次型 求一正交变换，把二次型化为标准形. 2011-2012 a 答案一、选择题（每小题 3 分，共 15分。请将答案填在下面的表格内）1、 2、 3、 4、 5、 二、填空题（每题3分，共 15分）1、 2、 3、线性相关 4、 5、三、求解下列行列式或矩阵（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）1、 解：利用行列式的性质：（2分）按第一列展开：（4分）再按第二列展开：（2分）2、解：因为(4分)（4分）3、 解：（1分） （2

26、分）（5分）故（2分）四、证明题（8分） 已知是齐次线性方程组的两个线性无关的解，是非齐次线性方程组的解，求证,线性无关.证明： 设 （2分）方程两边左乘以矩阵因为是齐次线性方程组的两个线性无关的解，是非齐次线性方程组的解，所以： （2分） 固有：（2分）线性无关，所以 即：所以,线性无关。（2分）五、求解下列方程组（每题10分，共20分）1、解：（2分）（4分）故通解为：（4分）2、解：利用已知可知：为的一个解（4分）由题意可知：可作为的基础解系（3分）故通解为：（3分）六、综合计算题（每题8分，共16分）1、 解：构造矩阵（4分）得到：秩（t）=3，为一个最大无关组（2分）（2分）2、解：

27、（1分）,令（2分）当时，,则单位化：（1分）当时，,则 ，（1分）当时，,则 ，（1分）故正交阵故做正交变换，使得：（2分）2011-2012b 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分。请将答案填在下面的表格内）1、由五个四维向量组成的向量组的线性相关性（ ）.a: 线性相关b: 线性无关 c : 无法确定2、5、设三阶矩阵，判断二次型的正定性（ ）.a: 负定b: 半正定 c: 正定 d: 无法确定3、的充要条件是（ ）.a: b: 零不是的特征值c: 为行满秩矩阵d: 为列满秩矩阵4、设a是3阶方阵，aj是a的第列（j1，2，3），矩阵b=；若，则=（ ）.a: b: 2 c.: d: 5、设是阶实对称矩阵，则下列说法正确的是（ ）.a: 的任意两个不同的特征值所对应的特征向量一定是正交的. b: 的特征值一定为正.c: 不一定有个线性无关的特征向量.d: 一定有个不同的特征值二、填空题（每题 3