高等数学竞赛辅导

1、 试卷总分为150分， 题型：计算题、证明题 考试内容：一、 函数极限和连续性 二、导数及其应用 三、不定积分、定积分竞赛时间：12月6日（周六）上午8：3011：30第二节、函数的极限 第一节、数列的极限 第一部分、 函数极限和连续性1 1 数列的极限数列的极限第一节、第一节、数列的极限数列的极限 2. 2.数列极限存在定理数列极限存在定理单调数列单调数列 如果数列如果数列nu对于每一个正整数对于每一个正整数 n，都，都有有1nnuu，则称数列，则称数列nu为单调递增数列；类似地，如为单调递增数列；类似地，如果数列果数列nu对于每一个正整数对于每一个正整数 n，都有，都有1nnuu，则称数，

2、则称数列列nu为单调递减数列为单调递减数列 有有界界数数列列 如如果果对对于于数数列列 nu，存存在在一一个个正正常常数数 m， 使使得得对对于于每每一一项项 nu， 都都有有|num， 则则称称数数列列 nu为为有有界界数数列列 !1 2 3(1)1 21:0111111!lim0,lim0nnnnnnnnnnn nn nn nnnnnnnn解而由夹逼准则得 邻域的邻域的概念：开区间（概念：开区间（x，x）称为以）称为以 x为中为中心，以心，以 （）为半径）为半径的邻域的邻域， 简称为点， 简称为点 x的邻域的邻域，记为记为n（x，） 用） 用0(, )n x表示表示 0 x的的空心邻域空心

3、邻域，即，即0000(,) ( ,)(0)xxx x 0 xx时函数时函数( )f x的极限的极限 000lim ( )()( )().xxf xaf xaf xa xx，或定义定义 3 3 设函数设函数)(xf在在 0 x的左半邻域的左半邻域),(00 xx内内有定义，当自变量有定义，当自变量 x在此半邻域内无限接近于在此半邻域内无限接近于 0 x时，时，相应的函数值相应的函数值)(xf 无限接近于常数无限接近于常数 a，则称，则称 a为函数为函数)(xf在在 0 x处的左极限，记为处的左极限，记为，axfxx)(lim0或或axf)(0或或).()(0 xxaxf 3 3 0 xx时时函函

4、数数)(xf的的极极限限 定定理理 1 1 axfxx)(lim0的的充充要要条条件件是是 .)(lim)(lim00axfxfxxxxy o 1 -1 x 1 图图 3 3 4 4 x时时函函数数)(xf的的极极限限 定定义义 4 4 设设函函数数)(xf在在ax |时时有有定定义义( ( a为为某某个个正正实实数数) )，如如果果当当自自变变量量 x的的绝绝对对值值无无限限增增大大时时，相相应应的的函函数数值值)(xf无无限限接接近近于于常常数数 a，则则称称 a为为 x时时函函数数 )(xf的的极极限限，记记为为axfx)(lim或或)()(xaxf. . 5 5 x时时函函数数)(xf

5、的的极极限限 定定义义 5 5 设设函函数数)(xf在在),(a内内有有定定义义( ( a为为某某个个正正实实数数) )，当当自自变变量量x无无限限增增大大时时，相相应应的的函函数数值值 )(xf无无限限接接近近于于常常数数a，则则称称a为为x时时函函数数 )(xf的的极极限限，记记为为axfx)(lim或或 )()(xaxf 定定义义 6 6 设设函函数数)(xf在在),(a内内有有定定义义( ( a为为某某个个实实数数) )，当当自自变变量量无无限限变变小小( (或或x无无限限变变大大) )时时，相相应应的的函函数数值值)(xf无无限限接接近近于于常常数数 a，则则称称 a为为x时时函函数

6、数)(xf的的极极限限，记记axfx)(lim或或)()(xaxf 定定理理 2 2 lim( )xf xa的的充充要要条条件件是是 )(limxfx =axfx)(lim 6 6x时时函函数数)(xf的的极极限限 图图5 5 o x y x e y o x y x y 1 图图6 6 由图由图 6 6 可知可知 0elimxx 00limxxxxccxx0lim0sinlim0 xx0lim20 xx1lim0 xxe0loglim1xax01limxxccxlim0limxxe0limxxe10lim0 xxe 性性质质 1 1 ( (惟惟一一性性) ) 若若axfxx)(lim0，bxf

7、xx)(lim0，则则ba . . 性质性质 2 2 ( (有界性有界性) ) 若若axfxx)(lim0，则存在，则存在 0 x的的某一某一空心邻域空心邻域),(0 xn，在，在),(0 xn内函数内函数)(xf有界有界 性质性质 3 3 ( (保号性保号性) ) 若若axfxx)(lim0且且 0a( (或或 0a) )，则存在某个，则存在某个空心邻域空心邻域),(0 xn，在，在),(0 xn内内0)(xf ( (或或0)(xf) ) 解解 因因为为0lim20 xx，所所以以 2x为为x时时的的无无穷穷小小量量，又又因因为为x1sin1 1，所所以以xx1sin2仍仍为为0 x时时的的

8、无无穷穷小小量量，所所以以 01sinlim20 xxx. . 设设)(limxf及及)(limxg都都存存在在（假假定定x在在同同一一变变化化过过程程中中） ，则则有有下下列列运运算算法法则则： 法法则则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法法则则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法则法则 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf ).0)(limxg 例例 求求) 143(lim22xxx 解解 514lim3lim) 143(lim22222xxxxxxx 例例 求求2342lim221xxxx 解解 因 为因 为05)23(lim21xx

9、, , 所 以所 以 .53)23(lim)42(lim2342lim2121221xxxxxxxxx 330 xxlim325xxlim330025xxxlim解3243xxxlim例330025xxxlim解：323xxxlim 解解 当当4x时，分子分母都为，故可约去公因式时，分子分母都为，故可约去公因式 （4x） .3113lim)4)(1()4)(3(lim45127lim44224xxxxxxxxxxxxx71723xxxlim156 2723649xxxlim例272349xxxlim解：例例 4 4 求求2332lim22xxxxx. . 解解 32213312lim2332l

10、im2222xxxxxxxxxx 一一般般地地 ., 0,lim00110110nmnmbanmbxbxbaxaxammmnnnx当当当例例 5 5 求求下下列列函函数数极极限限： ( (1 1) ) )1113(lim31xxx；( (2 2) ) xxx11lim0； ( (3 3) )31coslimxxxx. . 解解 (1) (1) 当当1x时时, ,上式两项极限均为不存在上式两项极限均为不存在( (呈现呈现形式形式),),我们可以先通分我们可以先通分, ,再求极限再求极限. . . 112lim)1)(1 ()1)(2(lim)1)(1 ()1 (3lim)1113(lim2121

11、22131xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.21111lim) 11(lim) 11() 11)(11(lim11lim0000 xxxxxxxxxxxxxx(3) (3) 因为当因为当x时时, , xxcos极限不存在极限不存在, ,也不能直也不能直接用极限法则接用极限法则, ,注意到注意到xcos有界有界( (因为因为|cos|x1 1),),又又 , 01lim1lim23xxxxxxxx(2) (2) 当当0 x时时, ,分子分母极限均为零分子分母极限均为零( (呈现呈现 00形形式式),),不能直接用商的极限法则不能直接用商的极限法则, ,这时这时, ,可先对分子有理可先对分子

12、有理化化, ,然后再求极限然后再求极限. . 根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质, ,得得 . 01coslim1coslim33xxxxxxxx小结：小结： (1 (1) )运用极限法则时运用极限法则时, ,必须注意只有各项必须注意只有各项极限存在极限存在( (除式除式, ,还要分母极限不为零还要分母极限不为零) )才能适用；才能适用； ( (2 2) )如如果果所所求求极极限限呈呈现现 00, ,等等形形式式不不能能直直接接用用极极限限法法则则, ,必必须须先先对对原原式式进进行行恒恒等等变变形形( (约约分分, ,通通分分, ,有有理理化化，变变量量代代换换

13、等等) )，然然后后再再求求极极限限 ( (3 3) )利利用用无无穷穷小小的的运运算算性性质质求求极极限限. . 1. 1. 1sinlim0 xxx 说明： （说明： （1 1）这个重要极限主要解决含有三角函数）这个重要极限主要解决含有三角函数的的00型极限型极限 （2 2）为了强调其一般形式）为了强调其一般形式, ,我们把它形象地写成我们把它形象地写成1sinlim0口口口 ( (方框代表同一变量方框代表同一变量) ) 例例 7 7 求求20cos1limxxx. . 解解 2122sinlim212sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx 解解2 2. . e11

14、limxxx 22222lim 1lim1e .xxxxxx 解解 所所求求极极限限类类型型是是 1型型, ,令令uxx1132, ,解解得得3 ux. .当当x时时, , u. .于于是是 例如，例如，1sinlim0 xxx即即)0(sinxxx； 12cos1lim20 xxx即即)0(2cos12xxx 常常用用的的几几个个等等价价无无穷穷小小代代换换 解解 当当0 x时，时，xx22tan, ,xx55sin, ,所以所以 .5252lim5sin2tanlim00 xxxxxx223300tan2sin323limlim6.xxxxxxxx解解解 因因为为当当0 x时时, ,xx

15、sin, ,221cos1xx, ,所所以以 3330002301sin1tansinsin (1 cos )coslimlimlimcos112lim.cos2xxxxxxxxxxxxxxxxxx说说明明：函函数数)(xf在在点点 0 x连连续续，必必须须同同时时满满足足以以下下三三个个条条件件： ( (1 1) ) )(xf在在点点 0 x的的一一个个邻邻域域内内有有定定义义； ( (2 2) ) )(lim0 xfxx存存在在； (3)(3)上述极限值等于函数值上述极限值等于函数值)(0 xf 如如果果上上述述条条件件中中至至少少有有一一个个不不满满足足，则则点点 0 x就就是是函函数数

16、)(xf的的间间断断点点 连续函数的复合函数仍是连续函数.连续增(减)函数的反函数xf -1(y) 是连续增(减)函数.定理定理4 4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的 ( (1 1) )当当)(lim0 xfxx与与)(lim0 xfxx均均存存在在，但但不不相相等等时时，称称 0 x为为)(xf的的跳跳跃跃间间断断点点； ( (2 2) )当当)(lim0 xfxx存存在在， 但但不不等等于于)(xf在在 0 x处处的的函函数数值值时时，称称0 x为为)(xf的的可可去去间间断断点点 若若)(lim0 xfxx，则则称称 0 x为为)(xf的的无无穷穷间间断断点点，无无穷穷间间断断点点属属第第二二类类间间断断点点 o x y 2 1 1 图图7 7 o x 1