重庆大学硕士课程——齿轮啮合原理

1、硕士学位课程考试试卷考试科目： 齿轮啮合原理 考生姓名： 考生学号： 学 院： 专 业： 考 生 成 绩： 任课老师 (签名) 考试日期：2012 年 6月 日 至 月 日齿轮啮合原理一、 基本概念（每题4分，共计32分）1 解释齿轮的瞬心线？答：两个构件1和2相对于一个固定参考标架f做平面运动（如图1），在固定坐标系中，两构件在某点的相对速度等于零，该点就是瞬时回转中心I，而瞬时回转中心I在坐标系 Si（i =1,2）中的轨迹就是齿轮的瞬心线。 图1.1即Si绕Oi转动时，点I（它沿O1O2运动，或处于静止状态）会描绘出瞬心线传动比m21=(2)1，当m21是常数时，两瞬心线是半径分别为1

2、和2的两个圆，当m21不是常数时，瞬心线是非圆形曲线，成封闭的或不封闭的。2 解释齿轮的瞬时回转轴？ 答：瞬时回转轴是齿轮对另一齿轮相对运动中的角速度的作用线。如图1.2所示瞬时回转轴（OI）是齿轮1对齿轮2（或齿轮2对齿轮1）相对运动中的角速度(12)的作用线，有(12)=(1)-(2)同理(21)=(2)-(1)图1.23 解释齿轮的瞬轴面？ 答：齿轮的瞬轴面是指瞬时回转轴在与回转齿轮刚性固接的动参考标架中的轨迹。在两相交轴之间的回转运动进行传递的情况下，瞬轴面是两个顶角为1和2的圆锥（如图1.3）.这两个圆锥称作节锥，它们的切触线是OI，并且其相对运动是纯滚动绕OI运动。当节锥2处于静止

3、时，角速度(12)=(1)-(2)表示绕OI转动的节锥1的角速度。图1.34 解释平面曲线的曲率？答：如图1.4，在平面曲线上的两点M、N，当点N趋近于点M时，比值/s的极限称为平面曲线在点M处的曲率（记为K）。即K=lims。图1.45 解释共轭齿形？ 答：共轭齿形是两齿轮在接触点处的公法线与回转中心线O1O2相交(如图1.5)，并且该线分为O1I和O2I两线段有如下的关系式：O2IO1I=(1)(2)=m12 (O1I+O2I=E)这里，m12=m12()；（1）对于非圆齿形是规定的齿轮传动比函数，（2）对于圆形齿轮是常数。图1.5常用共轭齿形是渐开线齿形。6 解释啮合面？ 答：啮合面是表

4、示在与机架刚性固接的固定坐标系Sf中的瞬时接触线族。啮合面用如下方程表示：rf=rfu, fu,=0式中rf=Mf1r1，Mf1描述从S1到Sf的坐标变换。7 解释齿廓渐屈线？ 答：如图1.6所示，假定平面曲线I是给定的。各线段MiNi（i=1,2，n）是曲线I在点Mi的曲率半径，而点Ni是曲率中心。曲率中心Ni的轨迹是曲线I的渐屈线E。图1.68 写出Euler的方程式？答：Euler方程式为：Kn=Kcos2q+Ksin2q式中q是由矢量MN和单位矢量e构成的夹角（如图5）。矢量MN表示曲面的切面上选取的方向，而Kn是曲面在这个方向上的法曲率。单位矢量e和e沿着这两个主方向，而K和K是主曲

5、率。 Euler方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系。图1.5二、 采用数学软件推导微分的方法（16分）要求：举实例详细说明，并作图及列出程序。MATLAB是许多学科的解题工具，将MATLAB融入其它课程的学习中，可以大大提高运算效率和准确性。随着计算机的普及和国民整体素质的提高，科学计算将会更加的普及。MATLAB在矩阵及数值计算、多项式和线形代数、符号数学的基本方法等方面都有较好的应用，下面的例子为运用MATLAB求解微分方程。实例：已知一个二阶线性系统的微分方程为： 其中a=2，绘制系统的时间响应曲线和相平面图。解：令x2=x,x1=x ，则得到系统的状态方程： 建立一个函数文件sy

6、s.m： function xdot=sys(t,x) %建立函数文件xdot=-2*x(2);x(1); % xdot的表达式取t0=0,tf=20,求微分方程;t0=0;tf=20; %确定t的值t,x=ode45(sys,t0,tf,1,0); %求数值解t,x %输出结果subplot(1,2,1);plot(t,x(:,2); %以子图形式绘出解的曲线 subplot(1,2,2);plot(x(:,2),x(:,1); %以子图形式绘出相平面曲线 axis equal运行结果为：ans = 0 1.0000 0 0.0001 1.0000 0.0001 0.0001 1.0000

7、0.0001 0.0002 1.0000 0.0002 0.0002 1.0000 0.0002 0.0005 1.0000 0.0005 0.0007 1.0000 0.0007 0.0010 1.0000 0.00100.0012 1.0000 0.0012 19.1332 -0.3498 0.661819.2670 -0.5196 0.603619.4007 -0.6708 0.523819.5344 -0.7980 0.425319.6681 -0.8968 0.311619.7511 -0.9422 0.235219.8340 -0.9747 0.155619.9170 -0.993

8、7 0.073820.0000 -0.9991 -0.0090方程的时间相应及相平面曲线如图2.1所示。三、 推导方程（1题8分，2题12分，共计20分）1. 坐标系S1(x1,y1,z1)和S2(x2,y2,z2) 刚性固接到齿轮1和齿轮2，两齿轮传递平行轴之间的回转运动（图1）。齿轮的两回转角1和2 用方程:21=12 联系着，式中1和2是两瞬线的半径。E是两转动轴线之间的最短距离。固定坐标系Sf 刚性固接到齿轮箱体上。Sp 是辅助坐标系，它也刚性固接到齿轮箱体上。 图3.1推导：1) 从S2到S1的坐标变换方程。2) 从S1到S2的坐标变换方程。解：1）从S2到S1的坐标变换从S2到S1

9、的坐标变换基于矩阵方程r1=M12r2=M1fMfpMp2r2 (3.1.1)式中M1f和Mp2是转动矩阵，而Mfp是移动矩阵。 r2=x2y2z21 Mp2=cos2sin2-sin2cos200000 00 01001r1=x1y1z11 M1f=cos1sin1-sin1cos100000 00 01001 （3.1.2） Mfp=1001000E00001001从方程（3.1.2）可导出 M12=cos(1+2)sin(1+2)-sin(1+2cos(1+2)0Esin10Ecos10 00 01 00 1 (3.1.3)利用方程（3.1.1）和（3.1.2），则可以得到x1=x2co

10、s1+2+y2sin1+2+Esin1 y1=-x2sin1+2+y2cos1+2+Ecos1 z1=z22) 从S1到S2的坐标变换方程逆矩阵M21=M12-1可以通过M12的各元素表达如下M21=cos(1+2)-sin(1+2)sin(1+2cos(1+2)0Esin10-Ecos10 00 01 00 1 (3.1.4)逆坐标变换基于矩阵方程r2=M21r1从该方程可导出x2=x1cos1+2-y1sin1+2+Esin1y1=x1sin1+2+y1cos1+2-Ecos1 z2=z12. 坐标系 S1 , S2 和 Sf分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接（图2）。齿条刀

11、具的齿形是直线，该直线用方程x1=usina y1=ucosa （ -u1u0 ；对于点M，u0）。瞬时回转中心为 。齿轮的瞬心线是半径为r的圆，而齿条刀具的瞬心线与x1 轴重合（图2）。齿条刀具的位移 和齿轮的转角 有如下关系式s=r 图3.2求： 1）推导啮合方程。2）导出齿条刀具和被加工齿轮在啮合中的啮合线方程。3）导出被加工齿轮的齿形方程。4）确定齿条刀具的极限安装位置，这种安装位置将使齿轮的被加工齿形避免根切，并作图说明。解：（1）由于曲面1和2在其切触点处的公法线通过瞬时回转轴线，则有方程：X1-x1Nx1-Y1-y1Ny1=0 （3.2.1）式中，X1=r Y1=0 是表示在S1

12、中的I的坐标。N1=T1k1=cos-sin0T （3.2.2）式中T1和N1是产形齿形的切线矢量和法线矢量，k1是z1轴的单位矢量。由式3.2.1和3.2.2可以导出啮合方程的下列表达式fu,= u-rsin=0 (3.2.3)（2）由（1）的条件可得，啮合线方程rf=Mf1r1 fu,= u-rsin=0 (3.2.4)表示。这样可以得到xf=usin -r yf=ucos +r u-rsin=0 (3.2.5)从方程(3.2.5)可导出 xf=-rcos2 yf=r+rsincos (3.2.6)啮合线LK（如图3.2.2）是通过I的一条直线，并且与xf轴构成夹角（-）。线段IK上的个高

13、点对应于0；线段IL上的各个点对应于0。图3.2.1（3）利用（1）的条件，利用微分几何中提出的方法导出被加工尺形的方程利用矩阵方程r2=M21r1 (3.2.7)将被加工齿形族的方程表示在坐标系S2中。从方程（3.2.7）和题中条件可以导出x2=usin+r(sin-cos) (3.2.8)y2=ucos (+)+r(cos+sin)导出啮合方程r2uk2r2=0 (3.2.9)矢积r2uk2表示S2中的产形齿形的法线矢量，并且r2与v2（12）共线。经变换后，方程（3.2.8）和（3.2.9）将给出啮合方程fu,= u-rsin=0被加工齿形方程 x2=usin+r(sin-cos) y2

14、=ucos (+)+r(cos+sin) （3.2.10） fu,= u-rsin=0（4）齿条刀具齿形的界限点在齿轮的齿形上形成奇异点。齿条刀具的界限点可以用啮合方程fu,= u-rsin=0 （3.2.11）和根切方程Fu,=0 （3.2.12）确定，后一方方程可以用方程x1uvx1(12)fufddt=y1uvy1(12)fufddt=0 (3.2.13)由题中条件和方程(3.2.11)、(3.2.13)可以导出 x1uvx1(12)fufddt=sinucos1-rsin=0 （3.2.14）则可以得到u的界限值为u=-rtansin （3.2.15）同理可得y1uvy1(12)fuf

15、ddt=cos(-usin+r)1-rsin=0 （3.2.16）图3.2.2图解说明了齿条刀具的极限安装位置，此时点F形成齿轮齿形上的奇异点。图3.2.2四、综述及分析？（16分）采用齿轮啮合原理的基本理论和方法，结合工程实际或列举实例，综合、分析齿轮啮合原理的应用及说明其意义。答：齿轮机构是在各种机构中应用最为广泛的一种传动机构。它依靠齿轮齿廓直接传递空间任意两轴间的运动和动力，并具有传递功率范围大、传动效率高、使用寿命长、工作可靠，那么采用齿轮啮合原理的基本理论和方法对其研究有着实际的意义，下面以生成面齿轮齿面为例说明齿轮啮合的运用及其意义。 面齿轮传动是一种新型齿轮传动，具有许多独特的

16、优点： 1)小齿轮为渐开线齿轮时，其轴向移动产生的误差对传动性能几乎没有影响。2)面齿轮传动比普通锥齿轮传动具有较大的重合度。3)小齿轮为直齿圆柱齿轮时，小齿轮上无轴向力作用。4)对于点接触面齿轮传动，在理论上仍然能保证定传动比传动。5)面齿轮用于传动装置时传动振动小和噪音低。 生成面齿轮齿面首先要建立坐标系（如图4.1、4.2）图4.1图4.2在推导面齿轮齿面时，选择了四个坐标系:两个固定坐标系Sm(xm，ym，zm)和Sp(xp，yp，zp，两个动坐标系Ss(xs，ys，zs)和S2(x2，y2，z2)。固定坐标系Sm和Sp分别建立在刀具齿轮支架和面齿轮支架上，它们的坐标原点重合在刀具轴线

17、和面齿轮轴线的交点上，如图4.1所示为固定坐标系之间的位置关系，它们的x轴重合。动坐标系Ss和S2分别与刀具齿轮和面齿轮固连，它们坐标原点也在两轴线的交点上，如图4.2所示(xm和(xp轴重合，图中分开为便于表示)，zm和zp轴交角为m=180-，初始时坐标系Ss和Sm、S2和Sp，重合，动坐标系Ss，S2各绕其:轴转动，转角分别为s,2。面齿轮和刀具齿轮的传动比为：i12=21=NsN2.(4.1)图4.3如图4.3所示面齿轮齿面可以分为两部分，工作齿面和齿根过渡区域，它们中间的交线为过渡曲线，下面介绍如何得出这样一个完整的齿面 设面齿轮和传动直齿轮啮合时啮合点为P，在刀具坐标系Ss中，点P

18、的矢量为rs(s)，刀具的回转角速度矢为s(s)，因此点P在Ss中的速度矢为vs(s)=s(s)rs(s) (4.2)设s(s)为 s(s)= 00sT (4.3)同样在面齿轮坐标系Ss中，点P的矢量为rs(s)，面齿轮的回转角速度矢为2(2)，点P在Ss中的速度矢为v2(2)=2(2)r2(2) (4.4)设2(2)为 2(2)= 002T (4.5)其中2=i2ss （4.6）将 22)转换到刀具坐标系Ss中为 2(s)= Ms22(2)=s i2ssinmsinsi2ssinmcossi2scosmT （4.7）其中Ms2为从面齿轮坐标系S2到刀具坐标系Ss的转换矩阵，为Ms2=coss

19、cos2+cosmsinssin2-cosssin2+cosmsinscos2-sinscos2+cosmcosssin2sinssin2+cosmcosscos2sinmsin20sinmcos20-sinmsin2-sinmcos200cosm 00 1 （4.8）并且2=i2ss （4.9）因此可得在刀具坐标系Ss中啮合点P处两齿面的相对运动速度为vs2(2)=(ss-22)rss=s-ys1-i2scosm-zsi2ssinmcossxs1-i2scosm+zsi2ssinmsins-i2ssinm(coss-yssins)（4.10）其中xs，ys:和zs分别为刀具齿面在刀具坐标系S

20、s中的各坐标分量。根据啮合原理在啮合点处齿面相对运动速度矢在公法线上的投影为零，得到啮合方程为 fus,s,s=vs22nss=rbs1-i2scosm-usi2ssinmcos(s+Os+s) （4.11）由此得到了啮合方程，再根据坐标变换，将啮合点从刀具坐标系Ss转换到面齿轮坐标系S2中，得到面齿轮工作齿面方程为fus,s,s=Or22us,s,s=M2s(s)rssus,s (4.12)五、学习心得体会？（16分）学习本门课程的具体详细收获及体会。答：尽管齿轮啮合原理课程即将要结束，但它带给了我很多的收获与思考。（一）、本门课程给予的收获。（1）齿轮传动是机器和仪器中用得最广的一种机械传动。齿轮机构可以传递平行轴、相交轴和相错轴之间的回转运动，换句话说，它可以传递机器设计中已经应用的、任意配置的、两轴间的回转运动。正因为齿轮传动的应用的广泛性，研究齿轮啮合具有重要的意义。（2）齿轮啮合原理这门课主要内容有：坐标、曲面和曲线的曲率的详细研究；齿轮运动学、齿轮分析和研究；各种齿轮的啮合分析和加工研究；飞刀的设计加工；利用计算机数控机床加工齿面的研究；滚针（滚珠）测量法；齿轮实际齿面的坐标测量和偏差的最小化。（3）齿轮啮合原理是一门对数学要求很高的课，在学习好数学方面的知识的同时，也应努力掌握一两款数学分析软件才能提高数学分析能力，解决问题的能力。因