船舶流体力学第5章(打印)

1、第五章 旋涡理论本章主要研究：旋涡运动，不涉及力，属于运动学范畴。 由于旋涡场的特性不同于一般流场，在这里我们专门对其进行分析研究。旋涡与船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。旋涡运动理论广泛地应用于工程实际，比如 机翼、螺旋桨理论等。旋涡的产生：与压力差、质量力和粘性力等因素有关。根据边界层理论，流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动。图片：5.1 旋涡运动的基本概念流体微团：由大量流体质点所组成的，具有线性尺度效应的微小流体团。 刚体的运动是由于平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成。 流体微团的运动一般除了平移和绕某瞬时轴的转动之外，还有线

2、变形运动和角变形运动。一. 速度分解定理： 设t时刻流场中任一流体微团中某点A(x,y,z)的速度为Vx、Vy、Vz，则与点A相邻的点M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度为： 引入符号： 同理： 上式称为海姆霍茨（Helmholtz）速度分解定理。二.流体微团的运动形式：这里仅分析正交微小六面体流体微团的一个平面的运动情况（其它平面的情况可按同样的原则类推）。设t时刻矩形ABCD上A(x,y)点的速度分量为 Vx 、Vy ，则B(x+dx,y)点的速度分量为： D(x,y+dy)点的速度分量为： t+dt时刻，矩形ABCD变形运动至ABCD，如图所示。 A、B和D的移动距离如图所示。1.

3、Vx、Vy (及Vz )分别是流体微团在x,y (及z)方向的平移速度。 如上图，沿x方向的绝对变形量为： 对于不可压缩连续流体，有： 称为流体的体积变形率。 事实上，这是不可压缩流体的连续性微分方程。 定义：角变形量的一半对时间的变化率为角变形速度。故，流体微团在xoy平面上的角变形率为： 同理，流体微团在yoz及zox平面上的角变形速度分别为： xzy记忆法则角变形又称为剪切变形，角变形率也称为剪切变形率。 同理，流体微团绕x、y轴的旋转角速度分别为： 定义角速度矢量为： 在圆柱坐标系中，旋转角速度的三个分量表示为： 旋转角速度矢量的正方向按右手螺旋法则确定。总之，流体微团的运动一般包括：

4、平移，线变形运动，角变形运动和绕某瞬时轴的转动。三.有旋流动和无旋流动：每一流体微团的旋转角速度都等于零的流动，称为无旋流（无涡流）。 这时：最后说明一下：1.流动是有旋流或无旋流取决于流体微团本身是否旋转，与其运动轨迹无关。运动轨迹为圆，但为无旋流。 运动轨迹为直线，却为有旋流。2.无旋流一般存在于理想流体之中，而有旋流一般存在于粘性流体之中。（由于内摩擦切应力使流体微团转动。）例1：已知流体流动的流速场为: Vx = ax ,Vy = by , Vz = 0，试判断该流动是无旋流还是有旋流？解： 故流体流动是无旋流。四.旋涡强度：1.涡量：涡量速度矢量的旋度。 即旋转角速度的两倍值，称为涡

5、量。 由矢量运算规则，有： 这是涡矢量的一个重要特性。 2.涡通量（涡管强度）：面积S上的涡通量 - 旋转角速度在S上法向分量的积分。若S为涡管截面也称为涡管强度(或涡强)。常用J表示。 五.涡线、涡面和涡管：1.涡线：.涡线的定义：某瞬时, 如果流场中的某一条曲线上每一点的切线都与该点的流体微团的旋转角速度方向相同, 则称此曲线为该瞬时的一条涡线。涡线就是沿该曲线上各流体微团的瞬时转动轴线。 .涡线的特征：1）.只有当流体的流动为有旋流动时，才存在涡线。2）.涡线具有瞬时性，在不同的瞬时，涡线的形状一般不同。定常流动时涡线的形状保持不变。3）.一般情况下，涡线与流线不是重合而是相交。.涡线微

6、分方程：设涡线微段为： 该点流体微团的旋转角速度为： 若已知x、y、z，积分上式可得涡线。与流线的积分一样，将看成参数。取定值就得到该瞬时的涡线。2.涡面、涡管：某瞬时通过给定曲线（不是涡线）C上的每一点的涡线所构成的曲面称为涡面。在涡量场中任意绘一条非涡线的封闭曲线，在该曲线上的每一点作涡线，这些涡线所围成的管状面称为涡管（vortex tube）。涡管横截面积上的旋涡强度也称为涡管强度。涡管中充满着作旋转运动的流体，称为涡束。截面积为无限小的涡束称为涡索（或涡丝vortex filament）。也有的教材把上述概念用张量表示为： 例2：设流场的速度分布为Vr， V= r，const.，求涡

7、线方程。解： 容易验证： xy。 积分得: =1 ， =2 垂直于xoy平面的直线。5.2 速度环量和斯托克斯定理一. 速度环量：1.定义：速度矢量在积分路径方向的分量沿该路径的线积分称为沿该曲线的速度环量。 速度环量是一个标量，可为正值，亦可为负值。当速度方向和曲线方向同向（或成锐角）时，速度环量为正值；异向（或成钝角）时，速度环量为负值。线积分方向相反的速度环量，相差一个负号。 沿封闭曲线的速度环量： L 注意：积分路线的方向为曲线边界的正方向。即，使曲线所围的区域D永远保持在它的左侧。2.速度环量的计算：1)已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量。对于无旋流场：对于有旋流场：2）已知速度场

8、，求沿一条闭曲线的速度环量。对于无旋场： 对于有旋场： 此式称为斯托克斯定理。二.斯托克斯定理：由高等数学知： 沿任意闭曲线的速度环量等于以该曲线为边界的曲面内的旋涡强度的两倍,即 J。 现将斯托克斯定理证明如下：如图，在流场中取微元矩形abcd。0cdabdxxydy微矩形面积dS上的速度环量： 将C所围区域分为若干个微矩形, 对各微分面积求dG。两相邻矩形公共边积分路线相反,速度环量的和为零。 故，内部线段环量相互抵消，只剩外部边界的环量。 斯托克斯定理将速度环量与旋涡强度通过线积分与面积分联系起来了。封闭曲线C上的速度环量与 C所围单连通区域S上的旋涡强度之间具有数量关系。 斯托克斯定理

9、中的S可以是空间曲面面积，而不一定要求是平面面积。 注意：上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”。单连通区域： C所包围的区域S内全部是流体，没有固体或空洞。复连通域(多连通域)：C的内部有空洞或者包含其他的物体。CSC区域在走向的左侧如图用AB线将S切开，则沿周线ABBAEA前进所围的区域为单连通域。由斯托克斯定理有： ：沿外边界逆时针的环量。 L：沿内边界顺时针的环量。 积分路线相反，抵消掉了。这就是双连通域的斯托克斯定理。推论一：单连域内的无旋运动，流场中处处为零，则沿任意封闭周线的速度环量为零。反之，若沿任意封闭周线的速度环量都等于零，可得流场中处处为零的结论。但若沿某封闭周线的速度环

10、量为零，则并不一定无旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。推论二：对于包含一固体在内的双连通域，若流动无旋，则沿包含固体在内的任意两个封闭周线的环量彼此相等。则 有：C。 当积分路径方向一致时，则：C。例3：对于平面流动，设面积A外的区域是无旋流动区。试证明包围A的任一条封闭曲线L上的速度环量等于区域的边界曲线L上的速度环量。证： 如图所示，作割线并记割线两侧为ab和ab。 显然，封闭曲线abcbada所围的区域是无旋流动区域，其速度环量应为零，即： 由于ab和ba 是同一割线的两侧，而且积分方向相反，故： 例4：在大圆内包含了A、B、C、D四个旋涡,其强度分别为：A =B =， C = D

11、=。 求：沿周线S的速度环量。解：由斯托克斯定理： 故，S所围区域内速度环量为零，但该区域内并非处处无旋。例5：已知速度场： 求：绕圆心的速度环量。解：在极坐标下：5.3 汤姆逊定理汤姆逊（Thomson）定理又称为开尔文（Kelvin）定理。 流体线的定义： 由相同流体质点组成的连续曲线称为流体线。基本假设：（1）理想流体； （2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）。正压流体：流体的密度只是当地压强的单值函数，这种流体称为正压流体。即 =（p）。不可压缩均质流体、等熵流动的均质气体等都是正压流体。对于正压流体，引入压力函数PF（x，y，z）： 汤姆逊定理:沿流体质点组成的

12、任一封闭流体周线的速度环量不随时间而变。 考察封闭流体线 L 上的速度环量： 将 这里， 以及 代入理想流体的运动微分方程，即： 并代入上式，可得：这表明，理想、正压流体在有势质量力的作用下运动时，沿任意封闭流体线的速度环量在运动过程中不随时间变化。 这个结论称为汤姆逊定理（也称为开尔文定理）。 5.4 拉格朗日定理拉格朗日定理: 理想正压流体在有势力场中可以持续地作无旋运动。 现简单证明如下： （复习）斯托克斯定理：沿任意闭曲线的速度环量等于以该曲线为边界的曲面内的旋涡强度的两倍,即 J。斯托克斯定理表述了封闭曲线L上的速度环量与L所围单连通区域S上的旋涡强度之间所具有数量关系。 故，当理想

13、、正压流体在有势质量力的作用下运动时，如果在某一时刻流体的运动无旋，则在此前和此后的所有时刻流体的运动也必定无旋。因此，如果理想、正压流体在有势质量力的作用下从静止状态开始运动，则流动将始终无旋。例如，从静止开始的波浪运动，由于流体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波浪运动是无旋运动。总之，由汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：1) 在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。 2) 推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。 比如绕流物体的流动，远前方流动对物体无扰动，该处流动无旋，接近物体时

14、流动不再是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理，则流动仍将保持为无旋运动。注意：贴近物体表面的极薄一层流体（即边界层内的流体）要除外，由于粘性的存在，边界层内的流体的流动为有旋运动。因此： 拉格朗日定理也可表述为：在理想、正压流体、质量力有势的条件下，涡量不生不灭。由汤姆逊定理（或开尔文定理）和斯托克斯定理还可以得出如下结论：流体具有粘性，流体是非正压的或在非有势的质量力的作用下运动是生成旋涡运动的原因。 下面举例说明：(1) 粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；(2) 非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡；(3) 非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；(4) 流场的间断

15、（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。 5.5 海姆霍兹定理海姆霍茨（Helmholtz）有三个关于涡管的定理。海姆霍兹第一定理 涡管强度守恒定理。 即：在同一瞬时，沿涡管长度各截面的涡通量保持不变。 证明：如图所示： 得证。若涡量在截面S1、S2上均匀分布，记为1、2，得： 可见，涡量与截面积S成反比，S大则涡量小，S小则涡量大。若S缩为零，则涡量或角速度将增至无穷大。这在物理上是不可能的。 因此，涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始，否则S时有。 不可能的情况涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。也就是说涡管不可能在流体中开始或终止，它只能自成封闭形，或开始、终

16、止于边界面或伸展到无穷远。比如烟圈成呈环形、龙卷风开始和终止于地面与云层。 图片：海姆霍兹第二定理涡管保持定理。 即：理想、正压流体在有势质量力作用下运动时，涡管永远由相同的流体质点所组成。证明：涡管在涡管表面上取封闭流体周线C。由斯托克斯定理知沿周线C的G=0，由汤姆逊定理该速度环量永远为零。 即C所围的区域永远没有涡线通过。也就是说：涡管永远由相同的流体质点所组成。但涡管的形状和位置可能随时间变化。海姆霍兹第三定理涡管旋涡强度不随时间而变。 即：理想、正压流体在有势质量力作用下运动时，涡管的旋涡强度不随时间而变化。由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡管的旋涡强度，又由汤姆逊定理知该速度环

17、量不随时间而变化，因而涡管的旋涡强度不随时间而变化。海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于粘性流体。海姆霍兹第二、第三定理只适用于理想流体。因为流体的粘性将导致流体微团的剪切变形、速度等参数的脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时间而衰减。综上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律：若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动将永远无旋，有旋运动将永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持性。若不满足其中任一条件，则流体在运动过程中会产生新的旋涡，使无旋变成有旋，不具备保持性。图片：5.6 旋涡的诱导速度问题：由5.2知，如果

18、已知速度场可通过求偏导来确定旋涡场。现若已知旋涡场，能否反过来确定速度场？ 这是本节要讨论的问题。问题的前提：流场中只存在一部分旋涡，其它区域全为无旋区。例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度场称为旋涡诱导速度场。涡丝的诱导速度：水电比拟: 物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。电流诱导磁场强度 旋涡诱导流体速度。 电磁场 流场 方程磁场强度 H v 流体速度 磁场势 V 速度势 电流面密度 涡量 电流强度 i 速度环量 涡丝诱导的速度场的计算:为了求涡丝（或涡索）诱导的速度场，现将电磁场中的毕奥沙伐尔定理引用过来。诱导速度场与电磁场的类比磁 场

19、诱导速度场带电导线 涡丝(涡索)电流强度 旋涡强度G诱导磁场强度 诱导速度场场点电磁学中，电流强度为的导线，其微元段ds对场点所产生的磁场强度由毕奥沙伐尔公式得： ： ds离场点P的矢径， ：是ds与的夹角。dH的方向： 垂直于ds和所在的平面，按右手法则确定。下面对应地可写出流体力学中的毕奥沙伐尔（BiotSavart）公式。流体力学中毕奥沙伐尔公式的形式：旋涡强度为（环量2）的ds段涡丝对于点所产生的诱导速度：流场中单一有限长涡丝在P点的诱导速度沿整个涡丝积分：该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场。流场中多条涡丝可组成一涡面, 每条涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可求得整个涡面上的诱

20、导速度。流体力学中速度场可以看成是涡丝诱导出来的。典型实例：无限长直涡丝直涡丝如图，dx段对点的诱导速度是： 由图可见： 故，段对点的诱导速度为： 方向垂直于纸面向外。1.对于无限长直涡丝：=， =180。 2.对于半无限长直涡丝：=90，=180。在垂直于无限长直涡丝的任何平面内, 流动都是相同的，可视为二维流动, 相当于一个平面点涡。如环量为，则在平面极坐标内的诱导速度为： R为场点至点涡的距离。可以证明平面点涡诱导的速度场除点 R = 0 外处处无旋 V = 0。尽管涡丝本身是有旋的，它诱导的速度场却是无旋的（见书 P70）。例6：如图为强度相等的两点涡的初始位置，试就(a)和(b)两种情况分析此两点涡的运动。解:(a)：在(a)中，两点涡大小相等，方向相反。由BS定律：点： B点： 积分得： 令时： 代入方程得：1=，2=， 3=-，4=。故，两点的运动方程为： 点： 点： 由于在(a)中，两点涡大小相等，方向相反。故，在运动中两点涡相对位置会保持不变。它们同时沿方向等速向下移动。对于情况( b )：点： B点： 开始时点向上，点向下运动，形成围绕坐标原点，沿半径为的圆周的等速转动。转动的角速度为： 旋涡中心点和点的运动方程为： 对于： 对于： 5.7 兰 金 涡兰金（Rankine）涡是有核旋涡的一个简化模型。兰金提出的旋涡模型是：涡核是半径为R的