2021年高考数学解答题专项练习立体几何一教师版

1、2021年高考数学解答题专项练习立体几何一一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母f，g，h标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面beg与平面ach的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线df平面beg【答案解析】解：(1)点f，g，h的位置如图所示(2)平面beg平面ach，证明如下：因为abcdefgh为正方体，所以bcfg，bc=fg，又fgeh，fg=eh，所以bceh，bc=eh，于是四边形bche为平行四边形，所以bech又ch平面ach，be平面ach，所以be平面ach同理bg平面ach又bebg=b，所以平面beg平面ach

2、(3)证明：连接fh因为abcdefgh为正方体，所以dh平面efgh因为eg平面efgh，所以dheg又egfh，dhfh=h，所以eg平面bfhd又df平面bfhd，所以dfeg同理dfbg又egbg=g，所以df平面beg如图，在四棱锥pabcd中，abcd，且bap=cdp=90(1)证明：平面pab平面pad；(2)若pa=pd=ab=dc，apd=90，且四棱锥pabcd的体积为，求该四棱锥的侧面积【答案解析】解：(1)证明：由已知bap=cdp=90，得abap，cdpd由于abcd，故abpd，又appd=p，从而ab平面pad又ab平面pab，所以平面pab平面pad(2)如

3、图，在平面pad内作pead，垂足为e由(1)知，ab平面pad，故abpe，abad，abad=a，可得pe平面abcd设ab=x，则由已知可得ad=x，pe=x故四棱锥pabcd的体积vpabcd=abadpe=x3由题设得x3=，故x=2从而结合已知可得pa=pd=ab=dc=2，ad=bc=2，pb=pc=2可得四棱锥pabcd的侧面积为papdpaabpddcbc2sin60=62已知bcd中，bcd=90,bc=cd=1,ab平面bcd,adb=60,e，f分别是ac，ad上的动点，且 (01).（1）求证：不论为何值，总有平面bef平面abc;（2）当为何值时，平面bef平面ac

4、d?【答案解析】（1）ab平面bcd,abcd,cdbc且abbc=b,cd平面abc.又 (01),不论为何值，恒有efcd,ef平面abc,又ef平面bef,不论为何值恒有平面bef平面abc.(2)由（1）知，beef,又平面bef平面acd,be平面acd,beac.bc=cd=1,bcd=90,adb=60,bd=,ab=tan60=由ab2=aeac,得故当时，平面bef平面acd.如图，三棱锥p-abc中，pa平面abc，pa=1，ab=1，ac=2，bac=60.(1)求三棱锥p-abc的体积；(2)证明：在线段pc上存在点m，使得acbm，并求pm:mc的值.【答案解析】（1

5、） （2）如图，ab为圆o的直径，点e，f在圆o上，abef，矩形abcd所在的平面与圆o所在的平面互相垂直已知ab=2，ef=1.(1)求证：平面daf平面cbf；(2)求直线ab与平面cbf所成角的大小；(3)当ad的长为何值时，平面dfc与平面fcb所成的锐二面角的大小为60？【答案解析】如图，三棱柱abc-a1b1c1中，acb=90，ac=bc=cc1=2，a1bb1c.（）证明：a1c1cc1；（）若，在棱cc1上是否存在点e，使得二面角e-ab1-c的大小为30，若存在，求ce的长，若不存在，说明理由.【答案解析】如图，在四面体abcd中，平面abc平面acd，e,f,g分别为a

6、b,ad,ac的中点，ac=bc,acd=90.（1）求证：ab平面edc；（2）若p为fg上任一点，证明ep/平面bcd.【答案解析】解：（1）因为平面平面，即，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，为的中点，所以，又，平面，平面，所以平面.（2）连，因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，且，平面，平面，所以平面平面，又为上任一点，所以平面，所以平面.如图，三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直，pd=pc=4，ab=6，bc=3.(1)证明：bc/平面pda；(2)证明：bcpd；(3)求点c到平面pda的距离【答案解析】如图，四棱锥pab

7、cd的底面是矩形，pa平面abcd，e，f分别是ab，pd的中点，且pa=ad.(1)求证：af平面pec；(2)求证：平面pec平面pcd.【答案解析】证明：(1)取pc的中点g，连接fg、eg，f为pd的中点，g为pc的中点，fg为cdp的中位线，fgcd，fg=cd.四边形abcd为矩形，e为ab的中点，aecd，ae=cd.fg=ae，fgae，四边形aegf是平行四边形，afeg，又eg平面pec，af平面pec，af平面pec.(2)pa=ad，f为pd中点，afpd，pa平面abcd，cd平面abcd，pacd，又cdad，adpa=a，cd平面pad，af平面pad，cdaf，

8、又pdcd=d，af平面pcd，由(1)知egaf，eg平面pcd，又eg平面pec，平面pec平面pcd.如图，在各棱长均为2的三棱柱abca1b1c1中，侧面a1acc1底面abc，a1ac=60(1)求侧棱aa1与平面ab1c所成角的正弦值的大小；(2)已知点d满足b=bb，在直线aa1上是否存在点p，使dp平面ab1c？若存在，请确定点p的位置；若不存在，请说明理由【答案解析】解：(1)因为侧面a1acc1底面abc，作a1oac于点o，所以a1o平面abc又abc=a1ac=60，且各棱长均为2，所以ao=1，oa1=ob=，boac故以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系ox

9、yz，则a(0，1，0)，b(，0，0)，a1(0，0，)，c(0，1，0)，b1(，1，)，所以=(0，1，)，=(，2，)，=(0，2，0)设平面ab1c的一个法向量为n=(x，y，1)，则解得n=(1，0，1)由cos，n=而侧棱aa1与平面ab1c所成角，即是向量与平面ab1c的法向量所成锐角的余角，所以侧棱aa1与平面ab1c所成角的正弦值的大小为(2)因为b=bb，而b=(，1，0)，b=(，1，0)，所以b=(2，0，0)又因为b(，0，0)，所以点d的坐标为(，0，0)假设存在点p符合题意，则其坐标可设为p(0，y，z)，所以d=(，y，z)因为dp平面ab1c，n=(1，0，

10、1)为平面ab1c的一个法向量，所以dn=0，即z=因为a=(0，y1，z)，则由a=得所以y=0又dp平面ab1c，故存在点p，使dp平面ab1c，其坐标为(0，0，)，即恰好为点a1如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，d，e分别为ab，bc的中点，点f在侧棱b1b上，且，.求证：（1）直线de平面a1c1f；（2）平面b1de平面a1c1f.【答案解析】如图，三棱柱abc-a1b1c1的各棱长均相等，aa1底面abc，e，f分别为棱aa1,bc的中点（1）过fa1作平面，使得直线be/平面，若平面与直线bb1交于点h，指出点h所在的位置，并说明理由；（2）求二面角b-fh-a1的余弦值 【答案解析】解：如图，三棱柱abca1b1c1中，各棱长均为2，d，e，f分别为棱ab，bc，a1c1的中点（1）证明ef平面a1cd；（2）若三棱柱abca1b1c1为直棱柱，求三棱锥的体积【答案解析】如图，三棱台defabc中，ab=2de，g，h分别为ac，bc的中点.（1）求证