考研数学真题答案数一新

1、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题 :1 8 小题，每小题4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .1、设函数f ( x) （-,+ ）2 阶导函数f (x)的图形如下图所示，则曲线yf ( x)的拐点个在连续，其数为（）（ A）0（B）1（ C）2（D）3【答案】 (C)【考点】拐点的定义【难易度】【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由 f ( x) 的图形可知，曲线yf ( x) 存在两个拐点，故选(C).2、设 y1 e2

2、xx1 ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by cex 的一个特解，则（）23（ A） a3,b1,c1.（ B） a3,b2, c1.（ C） a3,b2, c1.（D） a3,b2, c1.【答案】 (A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】【 详 解 】 1 e2 x,1 ex 为 齐 次 方 程 的 解 ， 所 以 2 、 1 为 特 征 方 程2 + a b0的根，从而23a1 23,b 1 2 2, 再将特解 yxex 代入方程 y 3 y 2ycex 得： c1.3、若级数an 条件收敛，则 x3 与 x 3 依次为幂级数nan x 1n的：n 1n1（

3、A）收敛点，收敛点（ B）收敛点，发散点（ C）发散点，收敛点（ D）发散点，发散点【答案】 (B)【考点】级数的敛散性【难易度】an 条件收敛， 故 xnann【详解】 因为2 为幂级数an x 1的条件收敛点， 进而得x 1 的收n 1n 1n1敛半径为 1，收敛区间为0,2 ，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故nan x1n的收敛区间n 1仍为 0,2，因而 x3 与 x3 依次为幂级数nan x 1n的收敛点、发散点 .n 14、设 D 是第一象限中曲线 2xy1,4xy 1与直线 y x, y3x 围成的平面区域， 函数 f ( x, y) 在 D 上连续，则f ( x, y)d

4、xdyD1（ A）2dsin2142sin 21（ C）3dsin2142sin 21f (r cos, r sin)rdr（ B）2 dsin2142sin 21f ( r cos, r sin)dr（ D）3 dsin 2142sin 2f (r cos , r sin )rdrf (r cos , r sin)dr【答案】 (D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】【详解】由 yx 得，4；由 y3x 得，3由 2xy1得， 2r 2 cossin1, r1sin 2由 4xy1得， 4r 2 cossin1, r12sin 21所以f ( x, y)dxdy3dsin2f ( r c

5、os, r sin)rdr1D42sin 211115、设矩阵 A12a， bd，若集合1,2 ，则线性方程组Ax b 有无穷多个解的充分14a2d 2必要条件为（ A） a, d（ B） a, d（ C） a, d（ D） a, d【答案】 (D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】11111111【详解】A,b12ad01a 1d11 4 a2d 20 0 a 1 a 2d 1 d 2Ax b 有无穷多解R( A)R( A,b) 3a 1或 a2 且 d1 或 d 26、设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换 xPy 下的标准形为 2y12y22y32 ，其中P (e

6、1 ,e2 , e3 ) ，若 Q(e1, e3 ,e2 ) ，则 f ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换xQy 下的标准形为（ A） 2y12y22y32（B） 2y12y22y32（ C） 2y12y22y32（D） 2y12y22y32【答案】 (A)【考点】二次型【难易度】200【详解】由 xPy，故 fxT AxyT (PT AP) y2 y12y22y32 且： PT AP 010001所以 fxT Ax yT (QT AA) y 2 y12y22y32，故选 (A)7、若 A, B 为任意两个随机事件，则（ A） P( AB)P(A)P(B)（ B） P( AB)P(

7、A) P(B)（ C） P( AB)P(A) P(B)（ D） P( AB)P( A)P(B)22【答案】 (C)【考点】【难易度】【详解】P(A) P(AB), P(B)P(AB)P(A)P(B)P(AB)故选（ C）28、设随机变量 X,Y 不相关，且 EX2, EY1,DX3,则EXX Y 2（ A）-3（B）3（C）-5（D） 5【答案】 (D)【考点】【难易度】【详解】二、填空题：9 14 小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 . 请将答案写在答题纸指定位置上 .ln cos x9、 limx2x 0【答案】12【考点】极限的计算【难易度】ln cos xln(1 cos x

8、1)cos x 11 x21【详解】 limlimlim2x2limx2x2x22x0x 0x 0x 02 (sin xx )dx10、 -1cos x22【答案】4【考点】积分的计算【难易度】sin x2【详解】 2 (2 xdxx )dx 2-1cosx04211、若函数 zz( x, y ) 由方程 ezxyz+x cos x 2 确定，则 dz (0,1).【答案】【考点】隐函数求导【难易度】【 详 解 】 令 F (x, y, z)ezxyzxcos x2 ， 则 Fxyz1sin x， Fyxz ， Fzxy ， 又 当x 0, y1时， z0zFx1zFy0 ，因而 dz (0,

9、1) dx，所以，Fzx (0,1)Fzy (0,1)12、设是由平面 xy z 1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则【答案】 14【考点】三重积分的计算【难易度】【详解】 由轮换对称性，得其中 D为平面 z= z截空间区域W所得的截面，其面积为11 - z2.所以)z20022(-1202002213、n 阶行列式 00-12【答案】 2n 12【考点】行列式的计算【难易度】【详解】 按第一行展开得14、设二维随机变量( X ,Y ) 服从正态分布N (1,0,1,1,0) ，则 P( XYY0).【答案】12【考点】【难易度】【详解】( X , Y) N (1,0,1,1,0)X N (

10、1,1),Y N (0,1),且X ,Y独立，X 1 N(0,1)， P XYY 0P(X 1)Y 0三、解答题：1523 小题 , 共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .15、（本题满分10 分）设函数 f (x)x a ln(1 x)bx sin x ， g( x) kx3 ，若 f ( x) 与 g ( x) 在 x0 是等价无穷小，求a ，b ， k 值。【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】【详解】 f (x) x a ln(1x) bx sin xf ( x)与 g(x) kx3 是等价无穷小16、（本题满分 10 分）设

11、函数在 f (x) 定义域 I 上的导数大于零，若对任意的x0I ，曲线 yf ( x) 在点 (x0 , f ( x0 ) 处的切线与直线 x x0 及 x 轴所围成的区域的面积为4，且 f(0) 2，求 f ( x) 的表达式.【考点】微分方程【难易度】【详解】如下图：xx0 处的切线方程为l ： y f ( x0 )( x x0 )f (x0 )l与 x轴的交点为： y0 时， x x0f ( x0 )，则 ABf ( x0 )x x0 ，f ( x0 )f ( x0 )因此， S1AB f ( x0 )1f ( x0 )22f (x0 )又因 y(0)2，所以 c1，故 y2f (x0

12、 ) 4 .即满足微分方程：y1，解得：11 x c.y 28y88.4x17、（本题满分 10 分）已知函数 f ( x, y) x yxy ，曲线 C : x2y 2xy 3 ，求 f (x, y) 在曲线 C 上的最大方向导数 .【考点】方向导数，条件极值【难易度】【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故故 f ( x, y) 在曲线 C 上的最大方向导数为1y 2(1x) 2 ，其中 x, y 满足 x 2y2xy 3 ，即就求函数 z(1 y) 2(1x)2 在约束条件 x2y 2xy30下的最值 .构造拉格朗日函数F ( x, y,)

13、(1 y) 2(1x)2( x2y 2xy 3)F2(1x)2xy0x令F2(1y)2yx0 可得 (1,1), (1,1) , (2,2), (1,2)yFx 2y2xy30其中 z(1,1) 4, z(1,1)0, z(2, 1) 9z(1,2)综上根据题意可知f ( x, y) 在曲线 C 上的最大方向导数为3.18、（本题满分10 分）( )设函数 u( x), v( x) 可导，利用导数定义证明( )设函数 u1 (x), u2 (x).un ( x) 可导，f (x)u1 ( x)u2 (x).un ( x), 写出 f ( x) 的求导公式 .【考点】导数定义【难易度】【详解】1

14、9、（本题满分 10 分）已知曲线 L 的方程为z2x2y2 , 起点为 A(0,2 , 0)，终点为 B(0,2,0) ，计算曲线积分zx,I( y z) dx ( z2x2y)dy ( x2y 2 )dzL【考点】曲线积分的计算【难易度】xcos,【详解】曲线L 的参数方程为y2 sin ,从到22zcos ,20、（本题满分11 分）设向量组 1, 2 ,3 是 3 维向量空间3 的一个基，12 12k3 ， 2 2 2 ， 31(k1) 3。（）证明向量组1, 2, 3是3 的一个基；（）当 k 为何值时，存在非零向量在基 1, 2,3 与基1, 2,3 下的坐标相同，并求出所有的。【

15、考点】线性无关，基下的坐标【难易度】201【详解】（） (1,2,3 )(1,2, 3)0202k0k 120121因为020240 ，2kk12k0k1所以1 ,2 ,3 线性无关，1,2 ,3 是3 的一个基。201（）设 P020，P为从基 1,2,3 到基1 , 2 , 3 的过渡矩阵，又设在基1, 2, 3下2k0k1的坐标为x( x1, x2 , x3 )T ，则在基 1,2 ,3 下的坐标为 P 1x ，由 xP1x ，得 Pxx ，即(P E) x010111由 PE0110 ，得 k0 ，并解得 x c0 , c 为任意常数。0k2k02kk1k从而c1c 3, c为任意常数

16、。21、（本题满分 11 分）02-31-20设矩阵 A-133 相似于矩阵 B0b0 .1-2a031（）求 a,b 的值 .（）求可逆矩阵P ，使得 P 1AP 为对角阵 .【考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】023120【详解】由 A133相似于 B0b012a0310 3a1b1023120则330b, 解得 a 4,b 51012a031123123当 121,( E A)12 30 0 012300023特征向量 11, 20，01523123101当 35,(EA)1231210111215230001231100则特征向量31,所以 P( 1 ,2, 3)101,得P1AP010101100522、（本题满分11 分）设随机变量 X 的概率密度为对 X 进行独立重复的观测，直到第2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y 为观测次数 .（）求 Y 的概率分布；（）求 EY .【考点】【难易度】【详解】 Px32 x ln 2 dx1381 (1)2 ( 7) k 21)(1 )2 ( 7 )k（） P YkCk1( k2,