高中数学课程标准修订对初中数学教学的启示

1、我国高中数学课程标准修订我国高中数学课程标准修订对初中数学教学的几点启示对初中数学教学的几点启示华东师范大学数学系华东师范大学数学系 鲍建生鲍建生欢迎投稿编辑部电子信箱：编辑部电子信箱： 在线视频介绍（忻重义）：在线视频介绍（忻重义）：http:/ (性质、需求、衔接性质、需求、衔接) )目标目标( (知识、素养、能力知识、素养、能力) )结构结构( (多样性、选择性多样性、选择性) )难度难度( (深度、广度、容量深度、广度、容量) )体系体系( (核心、顺序、关联核心、顺序、关联) )教学教学( (课时、教法、负担课时、教法、负担) )教材教材( (编排、例习题编排、例习题) )师资师资(

2、 (环境、培训环境、培训) )区分区分( (定性、定量、定位定性、定量、定位) )考试考试( (高考、会考高考、会考) )科学性科学性可行性可行性一致性一致性存在存在问题问题修订修订建议建议需要初中老师关注的几个调查结果需要初中老师关注的几个调查结果高中生和大学新生的高中生和大学新生的“运算能力运算能力”“空间想象能力空间想象能力”和和“推理论证能力推理论证能力”有明显的下降有明显的下降。初高中衔接初高中衔接存在存在问题：学生的知识技能储备不足，缺少问题：学生的知识技能储备不足，缺少良好的学习和思考习惯良好的学习和思考习惯。具体表现在乘法公式、二次函具体表现在乘法公式、二次函数、几何、十字相乘

3、、韦达定理、因式分解、不等式、数、几何、十字相乘、韦达定理、因式分解、不等式、函数、符号运算等内容上存在不衔接函数、符号运算等内容上存在不衔接螺旋上升的总体设想很好，但螺旋上升的总体设想很好，但目前模块的划分使得目前模块的划分使得有些有些联系紧密的数学内容分散在不同系列或模块中，造成割联系紧密的数学内容分散在不同系列或模块中，造成割裂和遗忘，也增加了教学所需时间裂和遗忘，也增加了教学所需时间存在重技能轻素养现象：教师普遍肯定建模、探究、研存在重技能轻素养现象：教师普遍肯定建模、探究、研究性学习在培养学生数学素养过程中所起的作用，了解究性学习在培养学生数学素养过程中所起的作用，了解数学素养的重要

4、性，但是目前的评价方式还是停留在知数学素养的重要性，但是目前的评价方式还是停留在知识与技能上。识与技能上。部分数学家的观点（1）我觉得基础教育要少而精，学到真正好的东西要少而精，少我觉得基础教育要少而精，学到真正好的东西要少而精，少而精的东西真正学好了，打好基础，真正学高深的东西到大而精的东西真正学好了，打好基础，真正学高深的东西到大学里学。学里学。数学实际应该是提高人的素质、能力的。数学给你知识，但数学实际应该是提高人的素质、能力的。数学给你知识，但是没有学到数学方法，数学素质，就是没有开窍的话，你这是没有学到数学方法，数学素质，就是没有开窍的话，你这个数学学了也没有作用的。个数学学了也没有

5、作用的。比如说数学的逻辑思维，证明，反演啊，但是实际上逻辑思比如说数学的逻辑思维，证明，反演啊，但是实际上逻辑思维好的人，将来做事情、讲话比较有条理。维好的人，将来做事情、讲话比较有条理。基本数学思想，一个是抽象，一个是模型，一个是推理基本数学思想，一个是抽象，一个是模型，一个是推理，是是吧。大体和那个数学的内容意义和方法就俄国出的那套吧。大体和那个数学的内容意义和方法就俄国出的那套书，他那个说的数学的基本三条性质，第一个是运用的广泛书，他那个说的数学的基本三条性质，第一个是运用的广泛性，第二个是抽象性，第三个是严格性。性，第二个是抽象性，第三个是严格性。数学是系统完整的科学，把系统完整的科学

6、数学是系统完整的科学，把系统完整的科学/知识体系分成若知识体系分成若干个知识点，比如干个知识点，比如100个知识点，重点个知识点，重点50个知识点比较重要，个知识点比较重要，讲课就讲这几个知识点，这个是非常错误的做法讲课就讲这几个知识点，这个是非常错误的做法，对数学对数学没没有整体的把握，数学是个整体有整体的把握，数学是个整体部分数学家的观点（2）程序化的东西最后的结果是适得其反，真的。你让程序化的东西最后的结果是适得其反，真的。你让学生厌恶这个东西，他只有通过证明了一个题目他学生厌恶这个东西，他只有通过证明了一个题目他才能获得快乐，我们自己想想嘛，我们学过来的时才能获得快乐，我们自己想想嘛，

7、我们学过来的时候，对吧，你证明了一个几何难题你很高兴，你没候，对吧，你证明了一个几何难题你很高兴，你没有说是通过我怎么教你怎么证明的来说有说是通过我怎么教你怎么证明的来说。我认为还是强调数学学科内部有机的联系。数学无我认为还是强调数学学科内部有机的联系。数学无非数与形，数与形，数用形来表示，你这个中学里非数与形，数与形，数用形来表示，你这个中学里强调这个矛盾，数与形的矛盾，他们之间的相互关强调这个矛盾，数与形的矛盾，他们之间的相互关系，这样大家学得才有兴趣么！系，这样大家学得才有兴趣么！代数和几何的交融，不要把让代数控制和取代几何代数和几何的交融，不要把让代数控制和取代几何。几何思想、直观不是

8、代数能取代的。几何思想、直观不是代数能取代的。我们要强调数学是严格地循序渐进的科学，我们是我们要强调数学是严格地循序渐进的科学，我们是很注重这个学者的思维的这样的学科很注重这个学者的思维的这样的学科。部分数学家的观点（3） 学算术的时候觉得很难，鸡兔同笼问题难，而代学算术的时候觉得很难，鸡兔同笼问题难，而代数出来了以后，觉得容易，豁然开朗，所以每学数出来了以后，觉得容易，豁然开朗，所以每学高一层次以后，数学进步以后，人类认识事物的高一层次以后，数学进步以后，人类认识事物的能力又提高一步。自己也有这种感悟，有这种想能力又提高一步。自己也有这种感悟，有这种想学好数学的愿望。学好数学的愿望。 现在就

9、是大学内容的下放高中。其实有一定底线现在就是大学内容的下放高中。其实有一定底线，不要抢跑道，在你规定的范围内发挥最大的主，不要抢跑道，在你规定的范围内发挥最大的主观能动性，上一层次有上一层的任务，抢跑道以观能动性，上一层次有上一层的任务，抢跑道以后可能会造成很大的误解。后可能会造成很大的误解。大学里有新的大学里有新的数学数学概念出现，但高等数学里每一概念出现，但高等数学里每一步运行的拐杖每一步都是初等数学，概念看起来步运行的拐杖每一步都是初等数学，概念看起来是高等数学，初等数学弄好，没什么问题。现在是高等数学，初等数学弄好，没什么问题。现在知识弄得有很多漏洞，很多重要的东西没学知识弄得有很多漏

10、洞，很多重要的东西没学。二、聚焦数学核心素养二、聚焦数学核心素养 本次高中课程修订的一条主线是学科核心本次高中课程修订的一条主线是学科核心素养素养 未来高中阶段的课程、教学与评价都将聚未来高中阶段的课程、教学与评价都将聚焦学科的核心素养焦学科的核心素养 强调学科素养是国际教育发展的共同趋势强调学科素养是国际教育发展的共同趋势 理清数学素养与知识、技能和能力之间的理清数学素养与知识、技能和能力之间的关系关系 如何评价素养是未来教育评价的一个关键如何评价素养是未来教育评价的一个关键问题问题 1. 数学抽象数学抽象要点要点具体描述具体描述内涵内涵数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象并

11、数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象并进行研究的思维过程。数学抽象主要包括：从数量与数量关系、进行研究的思维过程。数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征及研究学术语予以表征及研究学科学科价值价值数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程

12、映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统有序多级的系统教育教育价值价值通过数学抽象核心素养的培养，学生能够更好地理解数学的概通过数学抽象核心素养的培养，学生能够更好地理解数学的概念、命题、方法和体系，形成一般性思考问题的习惯；能够在念、命题、方法和体系，形成一般性思考问题的习惯；能够在其他学科的学习中化繁为简，理解该学科的知识结构和本质特其他学科的学习中化繁为简，理解该学科的知识结构和本质特征。征。行为行为表现表现形成数学概念和规则；形成数学命题与模型；形成数

13、学方法与形成数学概念和规则；形成数学命题与模型；形成数学方法与思想；形成数学结构与体系思想；形成数学结构与体系2. 逻辑推理逻辑推理要点要点具体描述具体描述内涵内涵 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从小范出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推形式主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，推理形式主要有演绎推理。断

14、小范围内也成立的推理，推理形式主要有演绎推理。学科学科价值价值逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证。逻辑推理是数学交流的基本是数学严谨性的基本保证。逻辑推理是数学交流的基本品质，使数学交流具有逻辑性品质，使数学交流具有逻辑性教育教育价值价值通过逻辑推理核心素养的培养，学生能够发现和提出命通过逻辑推理核心素养的培养，学生能够发现和提出命题，掌握推理的基本形式，表述论证的过程，理解数学题，掌握推理的基本形式，表述论证的过程，理解数学知识之间的联系；能够理解一般结论的来龙去脉、形成知识之间的联系；能够理解一般结论的来龙

15、去脉、形成举一反三的能力；能够形成有论据、有条理、合乎逻辑举一反三的能力；能够形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力。的思维习惯和交流能力。行为行为表现表现发现和提出命题发现和提出命题；掌握推理的基本形式掌握推理的基本形式；探索和表述论探索和表述论证的过程证的过程；构建命题体系构建命题体系；交流探索交流探索3. 数学建模数学建模要点要点具体描述具体描述内涵内涵 数学建模是对现实问题进行（抽象）简化和量化，建立数学建模是对现实问题进行（抽象）简化和量化，建立模型，用数学语言表达和解决问题的过程。数学建模具模型，用数学语言表达和解决问题的过程。数学建模具体表现为：在实际情境中，从数学的视

16、角提出问题、分体表现为：在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果改进模型，最终得到符合实际的结果。学科学科价值价值数学模型（构）搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学数学模型（构）搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，是推动数学发展的外部驱动力基本手段，是推动数学发展的外部驱动力。教育教育价值价值通过数学建模核心素养的培养，学生能够掌握数学建模通过数学建模核心素养的培养，学

17、生能够掌握数学建模的过程，积累用数学（的）语言表达实际问题的经验，的过程，积累用数学（的）语言表达实际问题的经验，提升应用能力和创新意识提升应用能力和创新意识行为行为表现表现发现和提出问题发现和提出问题；建立模型建立模型；求解模型求解模型；检验结果和完检验结果和完善模型善模型4. 数学运算数学运算要点要点具体描述具体描述内涵内涵 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题（加上解决数学问题（加上“的过程的过程”）。数学运算主要包括：）。数学运算主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运理解运算对象，掌握运算法则，

18、探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果算方法，设计运算程序，求得运算结果学科学科价值价值运算是构成数学抽象结构的基本要素，是演绎推理的重运算是构成数学抽象结构的基本要素，是演绎推理的重要形式，是得到数学结果的重要手段。数学运算是计算要形式，是得到数学结果的重要手段。数学运算是计算机解决问题的基础机解决问题的基础教育教育价值价值通过数学运算核心素养的培养，学生能够提高解决实际通过数学运算核心素养的培养，学生能够提高解决实际问题和数学问题的能力，提升逻辑推理的能力，形成程问题和数学问题的能力，提升逻辑推理的能力，形成程序化思考问题的习惯，养成实事求是、一丝不苟的科学序化思考问题的习

19、惯，养成实事求是、一丝不苟的科学精神精神行为行为表现表现理解运算对象理解运算对象；掌握运算法则掌握运算法则；探索运算思路探索运算思路；设计运设计运算程式算程式5. 直观想象直观想象要点要点具体描述具体描述内涵内涵 直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题。主要包括：利用图形用几何图形理解和解决数学问题。主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路观模型，探索解决问题的思路学科学科价值价值直观想象是发现和提出数学命题、

20、分析和理解数学命题、直观想象是发现和提出数学命题、分析和理解数学命题、探索和形成论证思路的重要手段，是构建抽象结构和进探索和形成论证思路的重要手段，是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础，是培养创新思维的基本要素行逻辑推理的思维基础，是培养创新思维的基本要素教育教育价值价值通过直观想象核心素养的培养，学生能够养成运用图形通过直观想象核心素养的培养，学生能够养成运用图形和空间想象思考问题的习惯，提升数形结合的能力，建和空间想象思考问题的习惯，提升数形结合的能力，建立良好的数学直觉，理解事物本质和发展规律立良好的数学直觉，理解事物本质和发展规律行为行为表现表现利用图形描述数学问题利用图形描述数学问

21、题；利用图形理解数学问题利用图形理解数学问题；利用利用图形探索和解决数学问题图形探索和解决数学问题；构建数学问题的直观模型构建数学问题的直观模型6. 数据分析数据分析要点要点具体描述具体描述内涵内涵 数据分析是指从数据中获得有用信息，形成知识的过程。数据分析是指从数据中获得有用信息，形成知识的过程。主要包括：收集数据提取信息，利用图表展示数据，构主要包括：收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据蕴含的结论建模型分析数据，解释数据蕴含的结论学科学科价值价值数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生活和科学研究

22、的各个方面。数据分析是现到现代社会生活和科学研究的各个方面。数据分析是现代公民应当具备的基本素质代公民应当具备的基本素质教育教育价值价值通过数据分析核心素养的培养，学生能够养成基于数据通过数据分析核心素养的培养，学生能够养成基于数据思考问题的习惯，提升基于数据表达现实问题的能力，思考问题的习惯，提升基于数据表达现实问题的能力，积累在错综复杂的情境中探索事物本质、关联和规律的积累在错综复杂的情境中探索事物本质、关联和规律的经验经验行为行为表现表现数据获取数据获取；数据分析数据分析；知识构建知识构建从三大能力到四基四能再到核心素养从三大能力到四基四能再到核心素养三大三大能力能力四基四基四能四能六个

23、核六个核心素养心素养基本假设：基本假设： 数学教学是数学活动的教学；数学教学是数学活动的教学； 数学素养是在掌握数学知识的基础上在数学活动中数学素养是在掌握数学知识的基础上在数学活动中逐步形成；逐步形成； 数学素养贯穿在所有（小学到大学）数学活动中；数学素养贯穿在所有（小学到大学）数学活动中； 数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、开放数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、开放性的数学任务是培养数学素养的有效途径；性的数学任务是培养数学素养的有效途径； 数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在数学数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在数学素养上也有不同的特点；素养上也有不同的特点；1.

24、对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。对数学素养的评价需要改进评价工具和方式。其它的数学素养评价框架 l概念理解：理解数学概念、概念理解：理解数学概念、运算及关系运算及关系l流畅的运算能力：灵活地、流畅的运算能力：灵活地、准确地、有效地及适当地实准确地、有效地及适当地实施数学程序施数学程序l选择策略的能力：能形成、选择策略的能力：能形成、表征及解决数学问题表征及解决数学问题l适当的推理能力：逻辑思维适当的推理能力：逻辑思维、反思、解释及辩证的能力、反思、解释及辩证的能力l数学的鉴赏力：相信数学是数学的鉴赏力：相信数学是合理的、有用的和有价值的合理的、有用的和有价值的美国2061计划：五种核心

25、数学能力PISA數學素養評量（2012）20情境脈絡個人：購物、飲食職業：試算表使用社會：選舉、經濟科學：醫學、天氣內容領域改變與關係：函數、代數、方程式空間與形狀：座標系統、幾何測量數量：數與單位、四則計算、百分比不確定性：抽樣、機率、資料變異性溝通建模表徵推論策略發展符號的使用與運算工具使用中小学生数学能力结构 1. 获得数学信息。获得数学信息。 对于数学材料形式化感知的能力；对问题形对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。式结构的掌握能力。2. 数学信息加工数学信息加工在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数

26、学符号进行思维的能力。力；对数学符号进行思维的能力。B. 迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。C. 缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。结构进行思维的能力。D. 在数学活动中心理过程的灵活性。在数学活动中心理过程的灵活性。E. 力求解答的清晰、简明、经济与合理。力求解答的清晰、简明、经济与合理。F. 迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）一个相反思路的能力（数

27、学推理中心理过程的可逆性）3. 数学信息保持。数学信息保持。数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。4. 一般综合性组成成分。一般综合性组成成分。数学气质。数学气质。青浦实验的目标分类22110F2F1分析分析运用运用领会领会概念概念计算计算数学核心能力的七个成分从数学角度从数学角度提出问题提出问题数学表数学表征征数学符数学符号变换号变换数学推理数学推理与论证与论证数学建模数学建模数学地解决数学地解决问题问题数学交流数学交流经验材料的数学组织数学材料的逻辑组织

28、数学理论的应用三、数学素养的教与学三、数学素养的教与学以逻辑推理为例（一）什么是数学推理？首先你要自己琢磨某件事，看出其中的规律，并首先你要自己琢磨某件事，看出其中的规律，并且确认这种规律是不变的；然后你要找到证据，且确认这种规律是不变的；然后你要找到证据，让那些支持你的想法的人也确信有这个规律；当让那些支持你的想法的人也确信有这个规律；当还有人向你提出质疑时，你要能够说服他们，抵还有人向你提出质疑时，你要能够说服他们，抵制各种可能的反例。制各种可能的反例。从中小学的观点看数学证明的教与学从中小学的观点看数学证明的教与学相关文献从中小学的观点看数从中小学的观点看数学证明的教与学学证明的教与学数

29、学教育数学教育中中的论证的论证与与证明证明思维与推理的剑桥思维与推理的剑桥手册手册初中阶段数学推理的基本活动寻找寻找规律规律空间空间形式形式数量数量关系关系形状相同形状相同/相似相似度量：长度、角度、周长与面积度量：长度、角度、周长与面积守恒与等价（方程的同解）守恒与等价（方程的同解）包含与大小关系包含与大小关系运算规则和运算律运算规则和运算律图形的分类：依据，类别关系图形的分类：依据，类别关系图形的变换：变与不变图形的变换：变与不变函数关系，递归关系函数关系，递归关系相关文献中的数学推理价值相关文献中的数学推理价值l推理是数学的本质特征；推理是数学的本质特征；l推理是一种思维习惯（推理是一种

30、思维习惯（你为什么认为它是正你为什么认为它是正确的？你为什么这样说？确的？你为什么这样说？）；）；l推理是产生猜想和判断真伪的工具；推理是产生猜想和判断真伪的工具；l推理是数学能力的基础（推理是数学能力的基础（美国高中数学课程美国高中数学课程焦点焦点）l推理是一种学习和理解数学的方式。推理是一种学习和理解数学的方式。推理是理解和应用数学的基础推理是理解和应用数学的基础 现在我们已经逐渐认识到：推理是理解和应用现在我们已经逐渐认识到：推理是理解和应用数学的基础。我们应该通过让学生参与数学探究、数学的基础。我们应该通过让学生参与数学探究、表征、猜想、解释和判断等各种数学活动来加强数表征、猜想、解释

31、和判断等各种数学活动来加强数学推理与证明的教学。学推理与证明的教学。 (Baroody, 1998; Clements, Sarama, & DiBiase, 2003; NCTM, 2000; Russell, 1999; Stiff, 1999).（二）关于数学推理的教学活动（二）关于数学推理的教学活动u推理与证明的教学目标推理与证明的教学目标:认识到推理与证明是数学的基本特征认识到推理与证明是数学的基本特征;学会提出和探讨数学猜想学会提出和探讨数学猜想;能够考察和评估数学论证与证明过程能够考察和评估数学论证与证明过程;能够选择和运用各种推理和证明的方法能够选择和运用各种推理和证明的方法.

32、u推理和证明应该成为推理和证明应该成为K-12学生数学经历学生数学经历 的一个重要组成部的一个重要组成部分。数学推理是一种思维方式，就像其它的思维方式一样，分。数学推理是一种思维方式，就像其它的思维方式一样，必必 须在各种背景下、持之以恒的发展。须在各种背景下、持之以恒的发展。u推理与证明必须成为一种自然的、持续不断的课堂讨论形式，推理与证明必须成为一种自然的、持续不断的课堂讨论形式，不管涉及的是什么内容。在一个富有成效的数学课堂环境中，不管涉及的是什么内容。在一个富有成效的数学课堂环境中，应该要求学生去解应该要求学生去解 释和论证他们得到的结论。释和论证他们得到的结论。美国美国NCTM标准（

33、标准（2000）对数学思维的界定（英国）能够运用一系列的数学问题解决策略能够运用一系列的数学问题解决策略;能够灵活地、创造性地运用数学能够灵活地、创造性地运用数学;理解数学工具在什么时候运用是合适的，完成某个任务的最理解数学工具在什么时候运用是合适的，完成某个任务的最好的数学工具是什么？好的数学工具是什么？能够探究事物的模式和一般化结果能够探究事物的模式和一般化结果;在数学问题解决过程中能够进行系统的、逻辑地推理在数学问题解决过程中能够进行系统的、逻辑地推理;有能力用口头（用自己的语言和数学语言）和书面（图片、有能力用口头（用自己的语言和数学语言）和书面（图片、表格或符号）为别人作出解释或评价

34、表格或符号）为别人作出解释或评价;以团队的形式合作解决数学问题，其中，每个人不只是发表以团队的形式合作解决数学问题，其中，每个人不只是发表观点，还要学会倾听、提问以及学习别人的长处观点，还要学会倾听、提问以及学习别人的长处;在数学学习中具有较高的自信心和坚持不懈的精神在数学学习中具有较高的自信心和坚持不懈的精神;构建广泛的数学联系，不仅是数学内部的联系，也包括数学构建广泛的数学联系，不仅是数学内部的联系，也包括数学与其它学科的联系；不仅是学校数学的联系，也包括学校内与其它学科的联系；不仅是学校数学的联系，也包括学校内外的联系外的联系;通过评价自己的数学学习过程不断提高自己的数学成就。通过评价自

35、己的数学学习过程不断提高自己的数学成就。Doreen Drews and Alice Hansen，2007关于推理的教学活动Hsieh,F. et al.(2002). From Exploration to Proof Production. G. Hanna and M. de Villiers (eds.), Proof and Proving in Mathematics Education, New ICMI Study Series 15, DOI 10.1007/978-94-007-2129-6_12, Springer Science+Business Media B.V.

36、 活动活动探究猜想非正式解释判断论据证明与论证进行推理进行推理表示论据表示论据寻找论据寻找论据表征利用具体的数字利用例子画图、文字、符号澄清想法澄清想法提炼结论提炼结论确定论据确定论据教师教师建构活动建构活动描述发现描述发现提出猜想提出猜想解释想法解释想法形成论据形成论据学生学生基于数学推理的学习空间（初中）基于数学推理的学习空间（初中）不等式不等式几何与变换几何与变换属性属性1 1：内容：内容数与运算数与运算代数式代数式方程与函数方程与函数数据分析数据分析属性属性4 4：情境：情境数学情境数学情境故事情境故事情境游戏情境游戏情境现实情境现实情境科学情境科学情境理解概念和法则理解概念和法则属性

37、属性3 3：产品：产品形成概念和法则形成概念和法则提出问题和猜想提出问题和猜想养成说理习惯养成说理习惯学习数学的思维方式学习数学的思维方式寻找问题解决的策略寻找问题解决的策略属性属性2 2：过程：过程关关系系推推理理归归纳纳推推理理类类比比推推理理反反例例规规则则推推理理演演绎绎推推理理（三）逻辑推理教学的案例分析（三）逻辑推理教学的案例分析以无理数的教学为例无理数的学习空间无理数的学习空间关键属性关键属性2：背景：背景几几何何方方程程函函数数小小数数极极限限关键属性关键属性4：应用：应用方程问题方程问题不等式问题不等式问题函数问题函数问题关键属性关键属性3：算与证：算与证结构：代数，序，拓扑

38、结构：代数，序，拓扑证明：不能写成整数之比证明：不能写成整数之比性质：封闭性，稠密性性质：封闭性，稠密性算法：加减乘除算法：加减乘除关键属性关键属性1：形式：形式特例：特例：2，无限不循环小数无限不循环小数数轴上的点数轴上的点变式：变式：2+教学路径（1）1. 背景：正方形背景：正方形22a 2. 形式：数轴上的点形式：数轴上的点0 1 a 2 3. 形式：小数估计形式：小数估计12a1.41.5a1.411.42a1.4141.415a1.41431.4144a教学路径（2）4. 算与证：可以写成两个整数之比吗？算与证：可以写成两个整数之比吗？5. 形式：无限不循环小数形式：无限不循环小数2

39、2222222, ,222,2,qqap qappqpqpkpp不可约，则， 是偶数，设q=2k，则4k是偶数，矛盾.对比：有限小数和无限循环小数都可以写成分数对比：有限小数和无限循环小数都可以写成分数6. 形式：根号形式：根号教学路径（3）7. 形式：还有其它这样的数码？形式：还有其它这样的数码？2121, 21qqqpppp 2xx ， 是有理数?2-xx， 是有理数?22,xxx ，是有理数?xx， 是整数？0.1234567891011121314是无理数吗？x.1234567891011121314是无理数吗？0.4143135623730是无理数吗？教学路径（4）8. 算与证：两个

40、无理数的运算结果一定是无理数码？算与证：两个无理数的运算结果一定是无理数码？2xx ， 是无理数?（反例？）22,xxx ，是无理数?（反例？）0.1234567891011121314x.1234567891011121314= 无理数？四、如何处理高考文理不分科四、如何处理高考文理不分科带来的问题带来的问题 1. 高高中中数学课数学课程程的的基基本结构本结构2. 选修选修II介绍（介绍（A课程）课程）微积分（微积分（2.5）关于课程的难度，要充分考虑到中学生接受能力，课程的难度可略关于课程的难度，要充分考虑到中学生接受能力，课程的难度可略高于必修部分与选修一的课程难度，但要远远低于现在的（

41、高于必修部分与选修一的课程难度，但要远远低于现在的（AP）课）课程的难度。程的难度。此课程是中学课程到大学课程的过渡，教学中注重学生数学思维能此课程是中学课程到大学课程的过渡，教学中注重学生数学思维能力的培养，因此要强调概念与推理的教学。力的培养，因此要强调概念与推理的教学。为了使学生易于接受，要重视实际背景与几何直观的教学。为了使学生易于接受，要重视实际背景与几何直观的教学。该课程的目标是：使学生具有初步的抽象能力，简单的推理能力，该课程的目标是：使学生具有初步的抽象能力，简单的推理能力，一定的运算能力。一定的运算能力。三维空间几何与代数（三维空间几何与代数（2）利用立体几何建立空间向量的代

42、数理论，实现几何与代数的融合；利用立体几何建立空间向量的代数理论，实现几何与代数的融合；利用矩阵理论解三元线性方程组，并用空间中点线面的位置关系进利用矩阵理论解三元线性方程组，并用空间中点线面的位置关系进行几何解释；行几何解释；利用直观想象建立平面和空间等距变换理论；利用直观想象建立平面和空间等距变换理论；为大学线性代数课程的学习铺路为大学线性代数课程的学习铺路。统计与概率（统计与概率（1.5）3.英国的A-Level课程 A-level即中学高级水平考试课程即中学高级水平考试课程，全称，全称 GCE A Level（General Certificate of Education Advan

43、ced Level ）。学习此课程。学习此课程的英国学生的年龄通常在的英国学生的年龄通常在16至至18岁之间。岁之间。 A-level课程一般为两年。第一年的课程课程一般为两年。第一年的课程叫叫AS课程，第二年的课程叫做课程，第二年的课程叫做A2课程。课程。考试考试合格的学生获得合格的学生获得普通教育高级水平证书普通教育高级水平证书。A-level课程的考试 AS和和A2结束前都有一次考试。一门结束前都有一次考试。一门AS成绩加成绩加上一门上一门A2成绩等于一门完整的成绩等于一门完整的A-level科目成绩。大科目成绩。大多数学生在第一年的多数学生在第一年的AS阶段选修阶段选修4门课程，在门课

44、程，在A-level的第二年时，在所学的第二年时，在所学AS的的4门课程中选择门课程中选择3门课门课程继续程继续A2阶段的学习。阶段的学习。 AS和和A2的考试时间均在每年五月中至六月底，的考试时间均在每年五月中至六月底，每门科目考试时间约两个半小时。考试成绩分为每门科目考试时间约两个半小时。考试成绩分为A、B、C、D、E五个等级。五个等级。 一般来说，如果三门一般来说，如果三门A-level课程的成绩都在课程的成绩都在C或者以上，就能够考上大学。如果或者以上，就能够考上大学。如果3门课程的成绩在门课程的成绩在B左右，就能够被很好的大学录取。如果左右，就能够被很好的大学录取。如果3门课程都门课

45、程都获得获得A，就能够进入除牛津、剑桥以外的所有名校，就能够进入除牛津、剑桥以外的所有名校，并有资格竞争牛津和剑桥。并有资格竞争牛津和剑桥。A水平考试的结构必必考考卷卷1：Pure Mathematics 1 (P1)各各105分分钟钟,10 道题，道题，各占总成绩各占总成绩30%卷卷3:Pure Mathematics 3 (P3)选考(1)卷4：Mechanics 1 (M1)每卷75分钟,7道题，各占总成绩20%卷6: Probability and Statistics 1 (S1)(2)卷4：Mechanics 1 (M1)卷5：Mechanics 2 (M2)(3)卷6: Prob

46、ability and Statistics 1 (S1)卷7: Probability and Statistics 2 (S2)4. 美国的AP课程美国的美国的AP课程是由美国大学理事会（课程是由美国大学理事会（The College Board）组织的。该理事会成立于）组织的。该理事会成立于1900年，到目前年，到目前为止，其会员单位已经包含全世界为止，其会员单位已经包含全世界5900多所顶尖的多所顶尖的大学。每年有大约大学。每年有大约7百万的学生通过参加其组织的百万的学生通过参加其组织的SAT和和AP课程考试进入大学阶段的学习。课程考试进入大学阶段的学习。AP微积分AP微积分包括微积分微积分包括微积分AB和微积分和微积分BC两门课两门课程。微积分程。微积分AB大约需要一个学年的时间，其大约需要一个学年的