数列与极限课件

1、数列与极限第二节第二节 数列的极限数列的极限一、数列极限的概念一、数列极限的概念二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质三、小结三、小结数列与极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.1.割圆术：割圆术：播放播放刘徽刘徽一、数列极限的概念一、数列极限的概念数列与极限R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS数列与极限2.2.截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”11;2X

2、第第一一天天截截下下的的杖杖长长为为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 1数列与极限按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1) 称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数列其中的每个数称为数列的的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx. 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n数列与极限注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴

3、上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 数列与极限.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放数列与极限问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近

4、无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:数列与极限,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有数列与极限定义定义1 设有数列设有数列 ，如果，如果 时，时， 无限接近于无限接近于某个确定的常数某个确定的常数 ，那么就称数列，那么就称数列 收敛，称收敛，称是数列是数列 的极限。或者称数列的极限。或者称数列

5、收敛于收敛于 ，记为，记为 nx nnxa nxa nx nxa naxaxnnn或或者者lim 如果这样的常数如果这样的常数 不存在，就称数列不存在，就称数列 没有极没有极限，或者称数列限，或者称数列 发散，习惯上也常常表达为发散，习惯上也常常表达为不存在不存在a nx nxnnx lim数列与极限例例1 给出数列的一般项如下，观察它们的变化趋势，判断哪些数列收敛，哪些数列发散；如果收敛，指出其极限： ;111nnxnn ;212222nnnnxn ;11)3(1 nnx.)4(2nxn 解解 （1）因为 ，而当 时， 无限接近于0，从而 无限接近于1，所以 nnnxnnn11111 n n

6、n 11 nx 11lim1 nnnn数列与极限（2）因为 nnnnnnnnnnxn2121121212122222 当 时， 无限接近于 。所以 nn2121;2121lim222 nnnnn（3）因为数列是 2，0，2，0，, , 111 n在 时， 始终轮流地取得值2与0，并不接近于任何一个确定的常数，所以 nnx数列与极限 ;11lim1不存在不存在 nn（4） 因为当 时，这个数列的一般项 的值无限地增大，也不接近于任何一个确定的常数，所以 nnx.lim2不存在不存在nn 数列与极限1.唯一性唯一性定理定理1 1 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .二、二、收

7、敛数列的性质收敛数列的性质数列与极限2.有界性有界性定定义义: 对对数数列列nx, 若若存存在在正正数数M, 使使得得一一切切自自然然数数n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 则则称称数数列列nx有有界界,否否则则, 称称为为无无界界.例如例如,1nnxn 数数列列2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界;无界无界.数列与极限定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .数列与极限例例2.)1(1是

8、是发发散散的的证证明明数数列列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.1,1,nx 而而无无休休止止地地反反复复取取两两个个数数不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx数列与极限3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性定理定理3（收敛数列的保号性）（收敛数列的保号性） 如果如果(或或 N，都有，都有0,lim aaxnn且且a0 nx 0 nx或或这个性质的一个直接推论是：如果从某一项起数列这个性质的一个直接推论是：如果从某一项起数列 的各项都非负（或都非正），且的各项都非负（或都非正），且