拉压的应力和变形课件

1、拉压的应力和变形拉压的应力和变形 41 工程实际中的轴向受拉和受压杆工程实际中的轴向受拉和受压杆 42轴向受拉和受压杆的内力轴向受拉和受压杆的内力 截面法截面法 43轴向受拉和受压杆横截面上的应力轴向受拉和受压杆横截面上的应力 44轴向拉压杆斜截面上的应力轴向拉压杆斜截面上的应力 45轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定理胡克定理第第4章章 轴向拉压时杆件的应力和轴向拉压时杆件的应力和变形计算变形计算拉压的应力和变形拉压的应力和变形1. 1. 工程实例工程实例41 工程实际中的轴向受拉和受压杆工程实际中的轴向受拉和受压杆工程中有大量的受拉和受压的杆工程中有大量的受拉和受压的杆件

2、，例如件，例如（1）门柱因屋顶重量而）门柱因屋顶重量而受压受压（图（图4.1-1）（2）吊杆因桥身重量而）吊杆因桥身重量而受受拉伸拉伸（图（图4.1-2）图图4.1-1图图4.1-2拉压的应力和变形拉压的应力和变形（3）简化为）简化为桁架的桥梁构架桁架的桥梁构架,各杆受拉或压各杆受拉或压（图（图4.1-3）图图4.1-3拉压的应力和变形拉压的应力和变形（4）起重机的吊缆起重机的吊缆拉压的应力和变形拉压的应力和变形（5）内燃机的推拉杆）内燃机的推拉杆拉压的应力和变形拉压的应力和变形图图4.1-43.3.外力特征外力特征： 外力合力作用线与杆轴重合外力合力作用线与杆轴重合4.4.变形特征变形特征：

3、杆件受力后，杆件受力后，轴线轴线变长变长，称为，称为拉伸拉伸（图（图4.1-4a）轴线轴线变短变短，称为，称为压缩压缩（图（图4.1-4b）发生拉伸和压缩的前提条件是发生拉伸和压缩的前提条件是: （1） 杆轴为直线杆轴为直线 （2） 外力合力作用线与杆轴重合外力合力作用线与杆轴重合2. 2. 杆件特征杆件特征：杆轴为直线杆轴为直线 拉压的应力和变形拉压的应力和变形图图4.1-55.5.计算模型计算模型 图图4.1-54.1-5表示拉杆的计算模型表示拉杆的计算模型，在进行计算时，在进行计算时，杆轴表示实际的杆件杆轴表示实际的杆件拉压的应力和变形拉压的应力和变形思考题思考题拉压的应力和变形拉压的应

4、力和变形42轴向受拉和受压杆的内力轴向受拉和受压杆的内力 截面法截面法图图4.2-12. 2. 截面法求内力（轴力截面法求内力（轴力) )1.1.内力内力：因外力作用而引起的杆内部质点间相互作用力的改变因外力作用而引起的杆内部质点间相互作用力的改变一一. . 轴力轴力c)c)取杆的左边或右边为脱离体取杆的左边或右边为脱离体体，由平衡方程得到相同的轴体，由平衡方程得到相同的轴力力 N N: : S S X = 0, X = 0, N = P N = Pb)b)代以约束内力（反力）代以约束内力（反力）N N, ,因为此因为此力通过横截面形心（力通过横截面形心（CentroidCentroid），）

5、，且沿杆的轴线方向，故称且沿杆的轴线方向，故称N N为为轴力轴力（Axial forceAxial force）（）（图图4.2-14.2-1）。）。 a）解除内部约束，即用假想横截解除内部约束，即用假想横截 面面m-m将杆分为两部份将杆分为两部份拉压的应力和变形拉压的应力和变形图图4.2-2轴力轴力N的方向以的方向以箭头背离横截面者为正，称为拉力箭头背离横截面者为正，称为拉力（图（图4.2-1），），反之为负，称为压力反之为负，称为压力（图（图4.2-2）。3. 3. 符号规定：符号规定：拉压的应力和变形拉压的应力和变形图图4.2-3二二. . 画轴力图画轴力图（Axial force di

6、agram）表示轴力沿杆轴的变化的图形称为轴力图表示轴力沿杆轴的变化的图形称为轴力图 。拉力表以正号，画在坐标轴正向；拉力表以正号，画在坐标轴正向；压力表以负号。压力表以负号。 平行杆轴的直线为坐标平行杆轴的直线为坐标x x，代表横截面位置；代表横截面位置；垂直杆的直线为坐标垂直杆的直线为坐标N N，表示轴力的大小与正负。表示轴力的大小与正负。 为画轴力图方便，为画轴力图方便，求内力时常设拉力求内力时常设拉力，如求出为正值，则画在坐标轴正向；如求出为正值，则画在坐标轴正向；如求出为负值，则画在坐标轴负向如求出为负值，则画在坐标轴负向。拉压的应力和变形拉压的应力和变形图图4.2-4图示多力杆，在

7、自由端图示多力杆，在自由端A受载荷受载荷P，而在截面而在截面B受中间载荷受中间载荷2P，试求多力杆的轴力，并画轴力图。试求多力杆的轴力，并画轴力图。例题例题1 1解：解：1.分别使用截面法于第一段（图分别使用截面法于第一段（图b）和第二段（图和第二段（图c），），保留左边为自由保留左边为自由体，并体，并假定轴力均为拉力假定轴力均为拉力2.由平衡条件由平衡条件 S S X = 0 X = 0 即：即： N N1 1-P=0 -P=0 及及 N N2 2-P+2P=0-P+2P=0，得得 N1=P 及及 N2=-P。 3.画轴力图，拉力画在坐标轴正向，画轴力图，拉力画在坐标轴正向，压力画在坐标轴负

8、向（图压力画在坐标轴负向（图4.2-4d）拉压的应力和变形拉压的应力和变形图图4.2-5图示杆受自重，已知单位杆长图示杆受自重，已知单位杆长L L，自重为自重为r r，试画轴力图。试画轴力图。 例题例题2 2解：（解：（1 1）由总体平衡方程：得支反由总体平衡方程：得支反 R =R =r rL L（2 2）由截面法无论保留自由体由截面法无论保留自由体或自由体平衡，均得相同的轴力或自由体平衡，均得相同的轴力N N： 对自由体，可得对自由体，可得 S SX = 0,X = 0, N = - N = -r rx x 对自由体，可得对自由体，可得 S SX = 0,X = 0, N =N = (L-x

9、)- R=-(L-x)- R=-r rx x （3 3）按比例画轴力图按比例画轴力图。拉压的应力和变形拉压的应力和变形自由体的选取以方便为原则自由体的选取以方便为原则，用用截面法截面法将杆将杆截开后，无论截开后，无论保留杆的哪部份平衡，均可得到相同的结果保留杆的哪部份平衡，均可得到相同的结果。支反力属于外力，没有符号设定支反力属于外力，没有符号设定，其方向可以任设。如计，其方向可以任设。如计算结果为正，只说明假设方向与实际相同，如计算结果为算结果为正，只说明假设方向与实际相同，如计算结果为负，只说明假设方向与实际相反。负，只说明假设方向与实际相反。要点：要点：拉压的应力和变形拉压的应力和变形例

10、例3 3 图示杆的图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方的力，方向如图，试画出杆的轴力图。向如图，试画出杆的轴力图。1234ABCDPAPBPCPDO1234轴力图Nx2P3P5PP+拉压的应力和变形拉压的应力和变形例例4 4 试求图示的各杆试求图示的各杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力，并作轴力图。截面上的轴力，并作轴力图。112332kN40kN20kN30(a)132(b)123FFFF112233(c)4FF拉压的应力和变形拉压的应力和变形112332kN40kN20kN30kN40kN20kN30n(a)kN50(a1)kN50k

11、N20kN10NFox-+解解 (a) 由截面法得杆由截面法得杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为作轴力图截面上的轴力分别为作轴力图如图(a1)所示。kNFN5011kNFN1022kNFN2033,拉压的应力和变形拉压的应力和变形132(b)123FFFFFPPF(b1)nNFoxFF+ (b) 由截面法得杆由截面法得杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为截面上的轴力分别为作轴力图如图作轴力图如图(b1)所示所示。FFN11022NFFFN33,拉压的应力和变形拉压的应力和变形(c) 由截面法得杆由截面法得杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力分别为截面上的轴力分别为作轴力图如图作轴

12、力图如图(c1)所示。所示。011NFFFN422FFN333,112233(c)4FF4FF3Fn(c1)NFox4F3F+拉压的应力和变形拉压的应力和变形qq LxO201121d)(kxxkxxNx2max21)(kLxN例例5 5 图示杆长为图示杆长为L，受分布力受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。杆的轴力图。Lq(x)解：解：x 坐标向右为正，坐标原点在坐标向右为正，坐标原点在 自由端。自由端。取左侧取左侧x x 段为对象，内力段为对象，内力N( (x) )为：为：Nxxq(x)NxO22kL拉压的应力和变形拉压的应力和变形43轴向受拉和

13、受压杆横截面上的应力轴向受拉和受压杆横截面上的应力1.1.横截面上的应力横截面上的应力 如何得出拉杆正应力的计算公式？如何得出拉杆正应力的计算公式？因因为应力组成内力，所以首先要借助如下三为应力组成内力，所以首先要借助如下三个静力学方程：个静力学方程：杆的横截面上有无限多个微面杆的横截面上有无限多个微面dA。每一微面每一微面dA上的正应力上的正应力 均为未知量均为未知量,因此有因此有无限多个未知量。然而目前只有三个静力无限多个未知量。然而目前只有三个静力学学方程，顾方程，顾应力分布的性质是静不定应力分布的性质是静不定的的。需要建立补充方程需要建立补充方程。因为变形与应力密切相关，于是可首先因为

14、变形与应力密切相关，于是可首先观察观察杆件表面杆件表面的变形规律，进而对内部的变形作出的变形规律，进而对内部的变形作出假设假设，得出正应力均匀分布的，得出正应力均匀分布的结论结论。图图4.31NydAycAAdANzdAzcA4-3-14-3-24-3-3判断杆在外力作用下是否会破坏，不但要知道内力大小，还要知道内力在横截面上的分布规律和分布内力的集度。内力集度（应力）的最大值是判断杆是否破坏的重要因素。拉压的应力和变形拉压的应力和变形 平面假设平面假设 研究一根研究一根均匀材料均匀材料的的受拉杆件受拉杆件, ,为了看清为了看清其变形规律，可用一根橡皮条演示。拉伸其变形规律，可用一根橡皮条演示

15、。拉伸前在橡皮条上沿轴向和横向划出网格线前在橡皮条上沿轴向和横向划出网格线（图（图4.3-24.3-2），其拉伸过程），其拉伸过程及及拉伸后形状拉伸后形状见图见图动画。动画。图图4.32a）实验观察：）实验观察：横向网格线保持直线，只有相对移动。横向网格线保持直线，只有相对移动。 b）假设：）假设：根据表面变形情况，可以由表及里的做出假设，即根据表面变形情况，可以由表及里的做出假设，即横截面间只有横截面间只有 相对移动，相邻横截面间纵线伸长相同，横截面保持平面，相对移动，相邻横截面间纵线伸长相同，横截面保持平面，此假此假 设称为设称为平面假设平面假设 c）推论：）推论：横截面上正应力均匀分布横

16、截面上正应力均匀分布，其数学表达式为：其数学表达式为：常数拉压的应力和变形拉压的应力和变形 应力公式及其适用范围应力公式及其适用范围 由于横截面上的正应力是均匀分布的由于横截面上的正应力是均匀分布的, ,故故: : AAdAdAAN得得NA4.3-4公式公式4.3-4即为拉压杆横截面的正应力公式即为拉压杆横截面的正应力公式 拉压的应力和变形拉压的应力和变形 公式公式4.3-44.3-4的适用范围的适用范围：1） 等直杆等直杆2） 均匀材料均匀材料3） 轴向加载轴向加载 4） 杆上距力作用点较远处杆上距力作用点较远处应力集中应力集中圣维南原理圣维南原理拉压的应力和变形拉压的应力和变形2. 2.

17、应力集中的概念应力集中的概念 在局部区域应力突然增大的现象，称为在局部区域应力突然增大的现象，称为应力集中应力集中。m max横截面上的最大应力横截面上的最大应力 max与与平均应力平均应力 m 的比值称为的比值称为应应力集中系数力集中系数，以，以 表示。表示。拉压的应力和变形拉压的应力和变形 3. 3. 圣维南原理圣维南原理 实践证明：杆件在加力点附近，应力实践证明：杆件在加力点附近，应力分布十分复杂，很大程度上受到加力分布十分复杂，很大程度上受到加力方式的影响，所以公式（方式的影响，所以公式（4.3-4）不能）不能使用，除非所加的外力是分布力，而使用，除非所加的外力是分布力，而且是且是均匀

18、分布的。均匀分布的。如图压杆，其附近如图压杆，其附近的横截面的横截面1-1和和2-2，应力是非均匀分布，应力是非均匀分布的，但是，距离外力作用稍远的横截的，但是，距离外力作用稍远的横截面面3-3，应力很快趋于均匀（图，应力很快趋于均匀（图4.3-4b），），公式（公式（4.3-4）即可使用，）即可使用，其影其影响范围约等于截面高度响范围约等于截面高度h。以上概念称。以上概念称之为之为圣维南原理（圣维南原理（Saint_Venants Principle）。需要说明的是，在材料力需要说明的是，在材料力学中，一般假定外力均匀地施加在作学中，一般假定外力均匀地施加在作用处，所以公式（用处，所以公式（

19、4.3-4）对整个杆件）对整个杆件都适用。都适用。图图4.3-4 圣维南原理圣维南原理拉压的应力和变形拉压的应力和变形？思考题（1）图示的曲杆，问）图示的曲杆，问公式（公式（4.3-4） 是否适用？是否适用？（2）图示杆由钢的）图示杆由钢的和铝牢固粘接和铝牢固粘接 而成，问公式（而成，问公式（4.3-4）是否适用？）是否适用？（3）图示有凹槽的杆，问）图示有凹槽的杆，问公式公式 （4.3-4）对）对凹槽段凹槽段是否适用？是否适用？拉压的应力和变形拉压的应力和变形44轴向拉压杆斜截面上的应力轴向拉压杆斜截面上的应力前面分析了拉压杆横截面上的正应力，前面分析了拉压杆横截面上的正应力，由由平面假设可

20、知，此应力均匀分布平面假设可知，此应力均匀分布。为了分。为了分析构件的破坏规律以建立更为完善的强度析构件的破坏规律以建立更为完善的强度理论，需要研究更为一般的情况，即分析理论，需要研究更为一般的情况，即分析直杆任一斜截面上的应力。直杆任一斜截面上的应力。图图4.4-1（a）所示拉杆，仿照分析横截所示拉杆，仿照分析横截面上应力均匀分布的过程，同样可以得面上应力均匀分布的过程，同样可以得出出任一斜截面上的应力任一斜截面上的应力 也是均匀分布的也是均匀分布的结论结论（图（图4.4-1b）。一般来说，。一般来说， 可分解可分解为垂直于斜截面的正应力为垂直于斜截面的正应力 和平行于斜和平行于斜截面的剪应

21、力截面的剪应力（图（图4.4-1c）图图4.4-1拉压的应力和变形拉压的应力和变形图图4.4-21）采用截面法）采用截面法由平衡方程：由平衡方程：N =P则：则：ANp A ：斜截面面积；斜截面面积；N ：斜截面上内力。斜截面上内力。由几何关系由几何关系：cos cosAAAA代入上式，得：代入上式，得：coscos0APANp斜截面上全应力斜截面上全应力：cos0p式中式中0是横截面上得正应力是横截面上得正应力20coscos p2sin2sincossin00p拉压的应力和变形拉压的应力和变形图图4.4-3PPmmPmmP 20coscos p2sin2sincossin00p反映：通过构

22、件上一点不同截反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。面上应力变化情况。当 = 90时，0)(min当 = 0,90时，0| min当 = 0时， )(0max当 = 45时，2|0max拉压的应力和变形拉压的应力和变形图图4.4-3PPmmPmmP 2）剪应力的符号规定）剪应力的符号规定:使脱离体顺时针转向为正使脱离体顺时针转向为正;使脱离体逆时针转向为负使脱离体逆时针转向为负;拉压的应力和变形拉压的应力和变形1.概述概述 4-5 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形研究直杆的轴向变形，目的有：研究直杆的轴向变形，目的有：（1）分析杆件的）分析杆件的拉压刚度问题拉压刚度问题。以限

23、制其变形或位移不得超过规以限制其变形或位移不得超过规定的数值，即：定的数值，即： 。 为为变形或位移的允许值，它由设计变形或位移的允许值，它由设计要求而定。要求而定。 （2）为解决）为解决静不定问题静不定问题准备必要准备必要的知识的知识。因为静不定问题必须借。因为静不定问题必须借助于结构的变形协调关系才能求助于结构的变形协调关系才能求出全部未知力出全部未知力 拉压的应力和变形拉压的应力和变形2.2.纵向变形与横向变形纵向变形与横向变形 图图4.5-1图图4.5-1所示的拉杆所示的拉杆,变形前长为变形前长为L,直径为直径为d；变形后长为变形后长为L ，直径为直径为d ，定义定义如下符号：如下符号

24、：LLL 2）横向变形）横向变形 ddd 纵向应变和横向应变都是正应变纵向应变和横向应变都是正应变（Normal Strain），），仅度量方向不同，仅度量方向不同，前者沿轴力方向，后者垂直于轴力方向前者沿轴力方向，后者垂直于轴力方向。LLe 4.5-1dde 4.5-2纵向应变（Longitudinal Strain）横向应变（Transverse Strain）1）纵向变形拉压的应力和变形拉压的应力和变形3.3.虎克定律和泊松比虎克定律和泊松比 实验表明：实验表明：当应力小于比例极限时，应力与应变成正比。当应力小于比例极限时，应力与应变成正比。这就是虎克定律虎克定律 （Hookes Law

25、）。其中其中 E - 弹性弹性模量或杨氏模量（模量或杨氏模量（Youngs modulus），），量纲是量纲是力力/长度长度2， 国际单位制中用国际单位制中用GPa表示，表示，GPa=103MPa=109Pa实验表明：当应力小于比例极限时，横向应变与纵向应变成正比。实验表明：当应力小于比例极限时，横向应变与纵向应变成正比。 比例常数比例常数 称称 为为泊松比。弹性泊松比。弹性模量模量 E与泊松比与泊松比 都是材料的都是材料的弹性弹性常数，常数，对于对于各向同性材料，各向同性材料， E和和 之值均与方向无关之值均与方向无关。Eep , eme .4.5-34.5-4拉压的应力和变形拉压的应力和变

26、形如用如用N 代表杆中轴力，代表杆中轴力，A 代表杆的截面面积，并将式（代表杆的截面面积，并将式（4.5-1）和式（）和式（4.5-3）联合，则有联合，则有上式为上式为虎克定律虎克定律的又一表达式。它表明杆的轴向变形与轴力和的又一表达式。它表明杆的轴向变形与轴力和杆长成正比，而与乘积杆长成正比，而与乘积EAEA成反比，成反比，EAEA称为杆截面的抗拉压刚度称为杆截面的抗拉压刚度。显然，在一定的轴向载荷下，截面刚度愈大，轴向变形愈小。显然，在一定的轴向载荷下，截面刚度愈大，轴向变形愈小。NLLEA 4.5-5拉压的应力和变形拉压的应力和变形4.4.计算多力杆变形的方法计算多力杆变形的方法 （1）

27、变形累加法）变形累加法（method of Deformation Accumulation）根据各段的轴力，先分段计算变形，然后再求代数和根据各段的轴力，先分段计算变形，然后再求代数和（设定伸长为正，缩（设定伸长为正，缩短为负）短为负）。如图。如图4.5-2的杆同时受到的杆同时受到P1和和P2的作用，试求总变形。的作用，试求总变形。第一段：图图4.5-211N LPLLEAEA第二段：222N LPLLEAEA伸长伸长总变形：1223PLPLPLLLLEAEAEA 伸长拉压的应力和变形拉压的应力和变形（2）叠加法（叠加法（ Superposition method）如图如图4.5-2所示的杆

28、件，现分别计算所示的杆件，现分别计算P1和和P2单个作用时杆的轴向变形单个作用时杆的轴向变形 ，然后，然后叠加（图叠加（图4.5-3a,b）。）。在2P的作用下：图图4.5-32224NLPLPLLEAEAEA在P的作用下：缩短总变形：43PLPLPLLLLEAEAEA 伸长伸长NLPLLEAEA 若干载荷同时作用时产生的变形，等于单个载荷分别作用时产生的变形之和，若干载荷同时作用时产生的变形，等于单个载荷分别作用时产生的变形之和，这就是叠加原理。这就是叠加原理。只有当因变量与自变量成线性关系时只有当因变量与自变量成线性关系时，叠加原理才成立。，叠加原理才成立。由于由于 本课程主要研究的问题是

29、属于线弹性问题，即杆的内力、应力及变形均本课程主要研究的问题是属于线弹性问题，即杆的内力、应力及变形均与外载荷成线性关系，通常均可使用叠加原理进行分析计算与外载荷成线性关系，通常均可使用叠加原理进行分析计算 ，此方法称为叠，此方法称为叠加法。加法。拉压的应力和变形拉压的应力和变形例题例题1 1 图示空心圆管，在轴力图示空心圆管，在轴力P作用下，测得纵向应变为作用下，测得纵向应变为 ,已知材料已知材料的弹性模量和泊松比，试求圆管截面面积以及壁厚的弹性模量和泊松比，试求圆管截面面积以及壁厚t和外径和外径D的的改变量。改变量。e解：解：（1）用应力公式和虎克定律：用应力公式和虎克定律：PEAe则PA

30、Ee(2)(2)壁厚方向的改变（即横向应变）为壁厚方向的改变（即横向应变）为图图4.5-4ttttemem e ，得：（3 3）外径改变量可由周向应变（即横向应变），求得：）外径改变量可由周向应变（即横向应变），求得：1DDDDDeme ，得：DDme 1 （D 为变形后的外径）拉压的应力和变形拉压的应力和变形图示杆受均布载荷图示杆受均布载荷p，试求杆的变形。试求杆的变形。例题例题2 2解：由于每一截面的轴力均不相同，故将杆件分解：由于每一截面的轴力均不相同，故将杆件分为无限多个无限短的杆元，计算每一杆元变形，为无限多个无限短的杆元，计算每一杆元变形，然后利用定积分法确定杆件的总伸长。然后利用

31、定积分法确定杆件的总伸长。轴力轴力 N xpx杆元的伸长杆元的伸长图图4.5-5 N xdxdxEA总伸长总伸长 20012LLN xp LLdxN x dxEAEAEA 拉压的应力和变形拉压的应力和变形切线代圆弧方法切线代圆弧方法-切线法切线法 附附: : 桁架的节点位移桁架的节点位移桁架变形通常用节点的位移表示，我们以桁架变形通常用节点的位移表示，我们以图图4.5-6a所示的桁架为例，介绍用切线代所示的桁架为例，介绍用切线代圆弧的方法求节点位移。圆弧的方法求节点位移。解：（解：（1）绘制受力图（图）绘制受力图（图4.5-6b），），求求出各杆轴力出各杆轴力（2）计算各杆变形）计算各杆变形（3）绘制变形图（想一想变形后的节点）绘制变形图（想一想变形后的节点A应在何处？）应在何处？）图图4.5-6拉压的应力和变形拉压的应力和变形A就是变形后节点就是变形后节点A的新位置。事的新位置。事实上，由于实上，由于A位置的确定是一个位置的确定是一个复杂的非线性问题，加之杆件变形复杂的非线性问题，加之杆件变形很小，只是原长的千分之几，所以很小，只是原长的千分之几，所以工程上往