高中数学-基本不等式

1、整理人：王洪跃 首先，基本不等式有它的标志性特点，比如a,b为正数，或a,b0等，基本不等式要满足“一正”的条件，有了上述条件再加上题目要求求出最大或最小值，就基本上可以确定为基本不等式问题了。 好，下面我们来探讨下，对于基本不等式该如何解答。 1.消元法 2.“1”的代换 3.轮换式 消元法就是利用所给的条件将要求的两个元中的一个元换成另一个元，以达到消元的目的，再根据不等式或函数知识，进行求解。 例：若a0,b0,1/(2a+b)+1/(b+1)=1,则a+2b的最小值为_。 解：1/(2a+b)=1-1/(b+1), a=1/2(1-b+1/b), a+2b=1/2(1+3b+1/b)=

2、1/2(2根3+1) 1的代换是一个统称，一般指条件给出的等式一边为常数，这样就可以直接与要求的式子相乘，然后利用基本不等式，“1”的代换又分整体代换，与局部代换。 整体代换 整体代换就是上面提到的条件式与整个结论式相乘。 局部代换 局部代换是把结论式中的某一部分用条件式代换。 例1：(整体代换)若a,b为正数，,且a+2b=1， 求1/(2a)+1/b的最小值。 解：1/(2a)+1/b=1/(2a)+1/b*1 =1/(2a)+1/b*(a+2b) =5/2+a/b+b/a=9/2 例2：(局部代换)若a,b为正数，且a+2b=1， 求的a/b+1/a最小值。 解：a/b+1/a=a/b+

3、(a+2b)/a =1+a/b+(2b)/a=2根2+1 如果题目给的数值不是1，比如是2，你可以另外再乘以1/2。 轮换式是一个比较神奇而且很好用的方法，当我们在使用基本不等式的时候，最终要满足“三相等”，如果我们能在做题以先就令它们相等，就会事半功倍，轮换式就是从这一点出发而达到简化的目的。 当题目中给出的两个元无论是在条件式还是问题式中，交换后与原式无任何变化（如a+b=1交换后为b+a=1与原式相同），就称ab“地位相同”，也称“具有对称性”，就可以令这两个元相等进行计算，最后求出来的结果就是题目中要求的最值。 而轮换式的精髓就在于找出谁与谁是可以交换的。 例1：x,y为正数，求x/(

4、2x+y)+y/(x+2y)的最 大值。 解：如果用一般解法，这一题很麻烦，但使用轮换式就很简单，从题目上看，如果x，y交换，就变为y/(x+2y)+x/(2x+y)与原式完全相同，就可以令x=y，得到的结果是2/3这题的答案就是2/3。 例2（08江苏）：设x,y,z为正数，满足x-2y+3z=0,则y2/(xz)的最小值。 解：首先我们观察题目中的两个式子，y前的系数与xz正负不同，交换后一定会改变原式，所以一定是x与z的关系，不难发现，当x与3z交换后两个式子都不改变，所以令x=3z，得到答案3。 如果能熟练掌握轮换式，对付基本不等式就会减少很多时间，一般来说，基本不等式出题时偏后，有时

5、用一般方法会狠麻烦，而使用基本不等式有时不单是节省时间，有时甚至能解决自己无法解决的问题。 当然，任何方法都不是万能的，不同的题目有着它所适用的方法，做题时应该善于观察，注意选择。 下面我们来看一道题。 例：x,y为正数，且(x+1)*(y-1)=16，求x+y的最小值。 解1(消元)：y=16/(x+1)+1 x+y=16/(x+1)+(x+1) =8 解2(轮换式)：x+y=(x+1)+(y-1),对于这两个式子，当(x+1)与(y-1)交换时与原式相同，则令(x+1)=(y-1)=4,得到答案8. 对于这一题可以换元和使用轮换式，就不可以使用“1”代换，希望大家做题时不要死搬硬套。 这类

6、题的基本解法有 1.消元 2.轮换式 3.拆 这类题不常考，掌握了之前的方法之后，我再用一道题解答这类题型基本上就可以了。 例：a,b,c为正数，求(a2+b2+c2)/(ab+bc)的最小值。 解1(消元)：原式=(a/b)2+(c/b)2+1/(a/b+c/b) =(a/b)2+(c/b)2+1/根2(a/b)2+(c/b)2 =1/根2根(a/b)2+(c/b)2)+ 1/(根(a/b)2+(c/b)2) =根2 解2(轮换式)：观察题目不难看出，a，c互换后与原式完全相同，则令a=c，得出答案根2。 解3(拆)：原式=(a2+1/2b2+1/2b2+c2)/ (ab+bc) =2根(1/2)*(ab+bc)/(ab+bc) =根2 留一道思考题：a,b,c为正数，求(a2+b2+c2)/(ab+3bc)的最小值。 与上题不一样喽，记住用什么样的方法要学会选择，网上有答案，注意体会为什么是1:9,从步骤上你会找到答案。 怎么样，以后遇到基本不等式问题是不是都能迎刃而解了，数学就在于一个归纳与总结，只要做